Homogeeninen mosaiikki

Tasainen laatoitus on vertex-transitiivinen laatoitus tasossa, jossa on säännölliset monikulmiopinnat .

Tasainen laatoitus voi olla sekä euklidisella että hyperbolisella tasolla . Tasaiset laatoitukset liittyvät äärellisiin yhtenäisiin polyhedraihin , joita voidaan pitää pallon yhtenäisinä tesellaatioina .

Useimmat yhtenäiset laatoitukset voidaan saada Wytoffin symmetriarakenteella alkaen yhdestä perusalueen sisällä olevasta generointipisteestä . Tasosymmetriaryhmällä on monikulmion perusalue , ja se voidaan esittää peilien järjestyksellä kärkijonossa.

Kolmiomaisella perusalueella on peilijärjestykset ( p q r ), ja suorakaiteen muotoisella kolmioalueella on peilijärjestykset ( p q 2), missä p , q , r ovat kokonaislukuja, jotka ovat suurempia kuin yksi. Kolmio voi olla pallomainen kolmio , euklidinen kolmio tai kolmio hyperbolisessa tasossa, mikä riippuu p :n , q :n ja r :n arvoista .

Tuloksena olevien kuvioiden nimeämiseen on useita symbolisia skeemoja, alkaen perusalueen modifioidusta Schläfli-symbolista suorakulmaisen kolmion muodossa ( p q 2) → { p , q }. Coxeter-Dynkin-kaavio on graafi, jonka reunat on merkitty p , q , r . Jos r = 2, kuvaaja on lineaarinen, koska kertaluvun 2 solmut eivät muodosta heijastuksia. Wythoff-merkki käyttää 3 kokonaislukua, joiden välissä on pystypalkki (|). Jos generoiva piste ei ole peilissä, peiliä vastapäätä olevan kärjen symboli sijoitetaan ennen pystypalkkia.

Lopuksi laatoitukset voidaan kuvata niiden kärkikonfiguraation perusteella , ts. monikulmiojonoja jokaisen kärjen ympärillä.

Kaikki yhtenäiset laatoitukset voidaan rakentaa erilaisilla tavallisissa laatoinnissa sovellettavilla toimenpiteillä . Näiden operaatioiden nimet antoi amerikkalainen matemaatikko Norman Johnson , nämä ovat katkaisu ( katkaisu , kärkien leikkaaminen), oikaisu ( täydellinen katkaisu , kärkien leikkaaminen, kunnes alkuperäiset reunat katoavat kokonaan) ja kantelaatio ( viisto , leikkaussärmät). Omnitruncation ( truncation ) on toiminto, joka yhdistää katkaisun ja viisteen. Snubbing (nenän leikkaaminen) on toimenpide , jossa kaikki katkaistut muodot lyhennetään vuorotellen . (Katso Wythoff-rakennusoperaattorit saadaksesi yksityiskohtaisen selvityksen toiminnasta.)

Coxeter-ryhmät

Coxeter-ryhmät tasossa määrittävät Wythoff-rakenteen ja ne voidaan esittää Coxeter-Dynkin-kaavioilla :

Ryhmät, joissa on kokonaislukujärjestys:

Euklidinen taso

Orbifold symmetria	Coxeter-ryhmä			Huomautuksia
Kompakti
*333	(3 3 3)	${\tilde{A}}_2$	[3 [3] ]	3 peilimuotoa, 1 snub
*442	(4 4 2)	${\tilde {B}}_{2}$	[4,4]	5 peilimuotoa, 1 snub
*632	(6 3 2)	${\tilde{G}}_2$	[6,3]	7 peilimuotoa, 1 snub
*2222	(∞2∞2)	${\tilde{I}}_1$ × ${\tilde{I}}_1$	[∞,2,∞]	3 peilimuotoa, 1 snub
Ei-kompakti ( reunakiveys )
*∞∞	(∞)	${\tilde{I}}_1$	[∞]
*22∞	(2 2∞)	${\tilde{I}}_1$ × ${\tilde{A}}_2$	[∞,2]	2 peilimuotoa, 1 snub

hyperbolinen taso

Orbifold symmetria	Coxeter-ryhmä		Huomautuksia
Kompakti
*pq2	(pq 2)	[p,q]	2(p+q) < pq
*pqr	(pqr)	[(p,q,r)]	pq+pr+qr < pqr
Parakompakti
*∞p2	(p ∞ 2)	[p,∞]	p>=3
*∞pq	(pq∞)	[(p,q,∞)]	p,q>=3, p+q>6
*∞∞s	(p∞∞)	[(p,∞,∞)]	p>=3
*∞∞∞	(∞∞∞)	[(∞,∞,∞)]

Tasaiset laatoitukset euklidisessa tasossa

Euklidisessa tasossa on symmetriaryhmiä, jotka saadaan peruskolmioista (4 4 2), (6 3 2) ja (3 3 3). Jokaista niistä edustaa joukko suoria viivoja (peilejä), jotka jakavat tason peruskolmioihin.

Nämä symmetriaryhmät luovat 3 tavallista laatoitusta ja 7 puolisäännöllistä laatoitusta. Puolisäännöllisten laatoitusten määrä toistetaan erilaisille symmetriarakenteille.

Prismaattinen symmetriaryhmä, jota edustaa symboli (2 2 2 2), saadaan kahdella rinnakkaisten peilien sarjalla, joilla voi yleensä olla suorakaiteen muotoinen perusalue. Ryhmä ei muodosta uusia laattoja.

Lisäksi symbolin (∞ 2 2) edustamalla prismaattisella symmetriaryhmällä on ääretön perusalue. Ryhmä antaa kaksi yhtenäistä laatoitusta, äärettömän kulman prisman ja äärettömän kulman antiprisman .

Yhdistämällä näiden kahden prismaattisen laatoituksen päätypinnat saadaan tasossa ei-Withoff- homogeeninen laatoitus. Sitä kutsutaan isokurnosny kolmioparketiksi ja se koostuu peräkkäisistä neliöiden ja kolmioiden kerroksista.

Suorakulmainen peruskolmio ( p q 2)

( p q 2)	Vanhempi	Katkaistu	Täysin katkaistu	Bicut	Täysin leikattu (kaksi)	viistottu	Katkaistu	tasainen nenä
Wythoff-symboli	q \| p2 _	2 q \| s	2 \| p q	2p \| _ q	p \| q2_ _	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Schläfli-symboli	t { p , q }	t { p , q }	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeterin kaavio
Vertex figuuri	p q	q.2p.2p	(pq) 2	p.2q.2q	qp_ _	p.4.q.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q
Square Mosaic (4 4 2)	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Kuusikulmainen mosaiikki (6 3 2)	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Yleiset peruskolmiot (pqr)

Wythoff-symboli (pqr)	q \| PR	rq \| s	r \| pq	rp \| q	p \| qr	pq \| r	pqr \|	\| pqr
Coxeterin kaavio
Vertex-kokoonpano	(pq) r	r.2p.q.2p	(pr) q	q.2r.p.2r	(qr) s	q.2r.p.2r	r.2q.p.2q	3.r.3.q.3.p
Kolmiomainen (3 3 3)	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Ei-yksinkertaiset perusalueet

Ainoa mahdollinen perusalue euklidisessa avaruudessa, joka ei ole simpleksi , on suorakulmio (∞ 2 ∞ 2) Coxeterin kaaviolla . Tältä alueelta valmistetaan vain neliöparketteja .

Homogeeniset laatoitukset hyperbolisella tasolla

Hyperbolisessa tasossa on äärettömän monta yhtenäistä kuperaa säännöllistä monikulmiota , joista jokainen perustuu eri peilisymmetriaryhmään (pqr).

Tässä esitetyt esimerkit on annettu Poincaren levyprojektiossa .

Coxeter-Dynkin-kaaviot on esitetty lineaarisessa muodossa, vaikka ne ovatkin itse asiassa kolmioita, joissa loppusegmentti r on kytketty ensimmäiseen solmuun.

Lisäksi hyperbolisessa tasossa on (2 2 2 3) alkaen nelikulmaisia perusalueita, jotka voivat muodostaa uusia muotoja. On myös perusalueita, joiden kärjet ovat äärettömässä, kuten (∞ 2 3).

Oikean kulman peruskolmiot ( p q 2)

(pq 2)	Rahoittaa. kolmiot	Vanhempi	katkaistu	Täysin katkaistu	Bicut	Täysin leikattu (kaksi)	viistottu	Katkaistu	tasainen nenä
Wythoff-symboli		q \| p2	2 q \| s	2 \| pq	2p \| q	p \| q2	pq \| 2	pq 2 \|	\| pq 2
Schläfli-symboli		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter-Dynkin-kaavio
Vertex figuuri		p q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(s. 2q.2q)	qp_ _	(s. 4.q.4)	(4,2p.2q)	(3.3.p. 3.q)
(Hyperbolinen taso) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Hyperbolinen taso) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Hyperbolinen taso) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(Hyperbolinen taso) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3} ]	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Yleisen muodon peruskolmiot (pqr).

Wythoff-symboli (pqr)	Fundam. kolmiot	q \| PR	rq \| s	r \| pq	rp \| q	p \| qr	pq \| r	pqr \|	\| pqr
Coxeter-Dynkin-kaavio
Vertex figuuri		(pr) q	(r.2p.q.2p)	(pq) r	(q.2r.p. 2r)	(qr) s	(r.2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
Hyperbolinen (4 3 3)	V6.6.8	(3.4) 3	3.8.3.8	(3.4) 3	3.6.4.6	(3.3) 4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Hyperbolinen (4 4 3)	V6.8.8	(3.4) 4	3.8.4.8	(4.4) 3	3.6.4.6	(3.4) 4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Hyperbolinen (4 4 4)	V8.8.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Laajennettu luettelo yhtenäisistä laatoitusista

Homogeenisten mosaiikkien luetteloa voidaan laajentaa useilla tavoilla:

Vertex-muodoilla voi olla rappeutuneet pinnat ja ne voivat kiertyä kärjen ympärille useammin kuin kerran.
Voit ottaa käyttöön tähtipolygoneja sisältävän laatoituksen .
Apeirogoneja , {∞}, voidaan käyttää laatoituspintoina .
Rajoitus, jonka mukaan laatoituksen pinnat koskettavat reunasta reunaan, voidaan pudottaa, mikä johtaa ylimääräisiin laatoituksiin, kuten Pythagoraan laatoitus .

Symmetriaryhmäkolmiot, joissa on rappeutuneet pinnat, sisältävät:

(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)

Symmetriaryhmän kolmiot, joissa on äärettömiä, sisältävät:

(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

Branko Grünbaum vuoden 1987 kirjan Laatat ja kuviot (Mosaiikit ja kuviot) kohdassa 12.3 listaa 25 yhtenäistä laatoitusta, joista 11 kuperia ja 14 muuta, joita hän kutsuu onteloiksi laatoiksi . Jälkimmäisten joukossa ovat mukana kaksi ensimmäistä edellä mainittua laajennettua laatoitusta, laatoitukset, joissa on stelloituja monikulmiopintoja ja kärkikuvioita.

Harold Coxeter ym. vuoden 1954 paperissa 'Uniform polyhedra' taulukossa 8 Uniform tilings luettelee kolme ensimmäistä laajennusta ja 38 yhtenäistä laatoitusta.

Lopuksi, jos laskemme laatoitukset, joissa on 2 ääretöntä, voimme laskea yhteensä 39 yhtenäistä laatoitusta.

7 uutta laatoitusta, joissa on {∞} -pinnat kärkimuodoilla ja Wythoff-symboleilla :

∞.∞ (kaksi puolitasopintaa, ääretön kaksitaho )
4.4.∞ — ∞ 2 | 2 ( äärettömän kulman prisma )
3.3.3.∞ - | 2 2 ∞ ( äärettömän kulman antiprisma )
4.∞.4/3.∞ - 4/3 4 | ∞ (vuoroteltu neliöparketti)
3.∞.3.∞.3.∞ - 3/2 | 3 ∞ (vaihtoehtoinen kolmioparketti)
6.∞.6/5.∞ - 6/5 6 | ∞ (vaihtoehtoinen kolmikulmainen laatoitus, vain kuusikulmioilla)
∞.3.∞.3/2 - 3/2 3 | ∞ (vaihtuva kolmikulmainen laatoitus, vain kolmioilla)

Jäljellä oleva luettelo sisältää 21 laatoitusta, joissa on 7 {∞}-puolta (ääretön kulmio). Jos laatoitukset piirretään kaavioina, jäljelle jää vain 14 yksilöllistä laatoitusta, joista ensimmäinen on identtinen laatoituksen kanssa 3.4.6.4 .

21 mosaiikkia ryhmiteltynä yleisten kaavioiden mukaan, joissa on osoitus kärkikuviosta ja Wythoff-symbolista:

Tyyppi	Vertex- kokoonpano	Wythoff-symboli
yksi	3/2.12.6.12	3/2 6 \| 6
yksi	4.12.4/3.12/11	2 6 (3/2 3) \|
2	8/3.4.8/3.∞	4∞ \| 4/3
	8/3.8.8/5.8/7	4/3 4 (2∞) \|
	8.4/3.8.∞	4/3∞ \| neljä
3	12/5.6.12/5.∞	6∞ \| 6/5
	12/5.12.12/7.12/11	6/5 6 (3∞) \|
	12.6/5.12.∞	6/5∞ \| 6
neljä	12/5.3.12/5.6/5	3 6 \| 6/5
	12/5.4.12/7.4/3	2 6/5 (3/2 3) \|
	4.3/2.4.6/5	3/2 6 \| 2
5	8.8/3.∞	4/3 4∞ \|
6	12.12/5.∞	6/5 6 ∞ \|
7	8,4/3,8/5	2 4/3 4 \|
kahdeksan	6,4/3,12/7	2 3 6/5 \|
9	12.6/5.12/7	3 6/5 6 \|
kymmenen	4,8/5,8/5	2 4 \| 4/3
yksitoista	12/5.12/5.3/2	2 3 \| 6/5
12	4.4.3/2.3/2.3/2	newiethoff
13	4.3/2.4.3/2.3/2	\| 2 4/3 4/3 (litteä nenä)
neljätoista	3.4.3.4/3.3.∞	\| 4/3 4 ∞ (nuppi)

Itsestään kaksoislaatoitus

Mosaiikit voivat olla kaksoiskappaleita . Neliömäinen parketti, jossa on Schläfli-symboli {4,4}, on itsestään kaksinkertainen. Kuvassa on kaksi neliömäistä parkettia (punainen ja musta) kaksinkertaisesti.

Katso myös

Wythoff-symboli
Luettelo yhtenäisistä laatoista
Tasaiset laatoitukset hyperbolisella tasolla
Tasainen monitahoinen

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Norman Johnson Uniform Polytopes , käsikirjoitus (1991)
- NW Johnson : Yhtenäisten polytooppien ja hunajakennojen teoria , Ph.D. Väitöskirja, Toronton yliopisto, 1966
Grünbaum, Branko , G. C. Shephard. Laatoitukset ja kuviot (rajoittamaton) . - W. H. Freeman and Company, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 . (Tähtilaatat osio 12.3)
HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins, JCP Miller, Uniform polyhedra , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR : [1] (Taulukko 8)

Linkit

Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Uniform Tessellations on the Euclid plane Arkistoitu 4. kesäkuuta 2016 Wayback Machinessa
Tessellations of the Plane Arkistoitu 24. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa
David Bailey's World of Tessellations arkistoitu 2. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa
k-uniform laatat
n-uniform tilings Arkistoitu 21. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa
Richard Klitzing, 4D, Euclidean tilings Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa

Fundamentaaliset kuperat säännölliset ja yhtenäiset kennot mitoiltaan 2–10

Perhe	${\tilde{A}}_{n-1}$	${\tilde{C}}_{n-1}$	${\tilde{B}}_{n-1}$	${\tilde{D}}_{n-1}$	${\tilde{G}}_2$ // _ ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
Homogeeninen mosaiikki	{3 [3] }	δ3 _	hδ 3	qδ 3	Kuusikulmainen
Homogeeniset kuperat hunajakennot	{3 [4] }	δ4 _	hδ 4	qδ 4
yhtenäinen viisiulotteinen hunajakenno	{3 [5] }	δ5 _	hδ 5	qδ 5	24 solun hunajakenno
yhtenäinen kuusiulotteinen hunajakenno	{3 [6] }	δ6 _	hδ 6	qδ 6
yhtenäinen seitsemänulotteinen hunajakenno	{3 [7] }	δ7 _	hδ 7	qδ 7	222 _
yhtenäinen kahdeksanulotteinen hunajakenno	{3 [8] }	δ8 _	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
yhtenäinen yhdeksänulotteinen hunajakenno	{3 [9] }	δ9 _	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
Tasaiset n -ulotteiset hunajakennot	{3 [n] }	δn _	hδn _	qδn _	1 k2 • 2 k1 • k 21

geometriset mosaiikit

Jaksottainen

Pythagoraan
Rombinen
Schwartzin kolmio
Suorakulmainen
- Domino
Viisikulmainen
Homogeeninen mosaiikki
Honeycombs
- Väritys
- Kupera
- Jaettu mosaiikki
Tasainen kristallografinen ryhmä
Wythoffin rakentaminen

jaksoton

Ammann-Binker
Ajoittainen sarja mosaiikkilaattoja
- Lista
Yksi laatta haaste
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
väkkärä
Domed
Jakoiset ja itseliimautuvat sarjat
- Sfinksi
Truche

Muut

Ei -isoedrinen ja isohedraalinen
Arkkitehtoninen ja heijastava
Circle Limit III
Tietokonegrafiikka
hunajakennoja
Reuna transitiivinen
Paketti
Tehtävät
Mosaiikkilaatat
- Conwayn kriteeri
- Girih
Lentokoneen säännöllinen jako
Säännöllinen hila
Korvaukset
Voronoin kaavio
Foderberg

Vertex- konfiguraation mukaan

Pallomainen	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Oikea	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
puoliksi oikein	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2
Hyperbolinen _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2