Domino mosaiikki

Dominolaattojen laatoitus euklidisen tason alueella on  dominolaattojen mosaiikki , jotka muodostuvat kahden reunaa pitkin yhdistetyn yksikköneliön liitosta. Vastaavasti se on sovitus hilagraafissa , joka muodostetaan sijoittamalla kärki alueen kunkin neliön keskelle ja yhdistämällä kaksi kärkeä, jos kaksi vastaavaa neliötä ovat vierekkäin.

Suositulla matemaattisella YouTube - kanavalla Mathologer on video domino-osioista [1] .

Korkeusfunktiot

Joillekin laatoitusluokille säännöllisessä hilassa kaksiulotteisissa tiloissa voidaan määrittää korkeusfunktio, joka määrittää hilan kullekin kärjelle kokonaisluvun. Piirretään esimerkiksi shakkilauta, kiinnitetään piste , jonka korkeus on 0, minkä jälkeen mille tahansa kärjelle on polku siihen. Tällä polulla määritetään kunkin kärjen (eli neliöiden kärjen) korkeudeksi edellisen kärjen korkeus plus yksi, jos neliö on oikealla polulla mustaan , ja miinus yksi muuten.

Tarkempia tietoja löytyy Kenionin ja Okunkovin artikkelista [2] .

Thurston's Height Condition

William Paul Thurston (1990) kuvaa testin sen määrittämiseksi, onko tason yksikköneliöiden liitosta muodostetulla yksinkertaisesti yhdistetyllä alueella domino-testellaatio. Se muodostaa suuntaamattoman graafin , jonka kärkeinä on pisteitä ( x , y , z ) kolmiulotteisessa kokonaislukuhilassa ja jonka jokainen piste on kytketty neljään viereiseen: jos x  +  y on parillinen, niin ( x , y , z ) liittyy ( x  + 1, y , z  + 1), ( x  - 1, y , z  + 1), ( x , y  + 1, z  - 1) ja ( x , y  - 1, z  - 1 ) ), kun taas jos x  +  y ( x , y , z ) on pariton, liittyy ( x  + 1, y , z  - 1), ( x  - 1, y , z  - 1), ( x , y  + 1, z  + 1) ja ( x , y  − 1, z  + 1). Alueen raja, jota pidetään kokonaislukupisteiden sarjana tasossa ( x , y ), nostetaan yksiselitteisesti (annetulla alkukorkeudella) polulle tässä 3D-kaaviossa. Välttämätön ehto alueen laatoituksen olemassaololle dominolaatoilla on polun suljettuus (eli tuloksena olevan polun tulee muodostaa yksinkertainen suljettu käyrä). Tämä ehto ei kuitenkaan ole riittävä. Thurston antoi rajan tarkempaa analysointia käyttäen tarpeellisen ja riittävän kriteerin alueen laatoituksen olemassaololle.

Pinta-alan laatoitusten laskeminen

Temperley ja Fisher [3] ja Castellain [4] laskivat itsenäisesti vuonna 1961, kuinka monta tapaa laatoittaa suorakulmio dominoilla, ja tämä luku on yhtä suuri kuin

Jos m ja n ovat molemmat parittomat, kaava antaa oikein nollamäärän mahdollisia dominolaattoja.

Erikoistapaus on suorakulmion tessellaatio, jossa on n dominoa, jolloin tuloksena on Fibonacci-sekvenssi (sekvenssi A000045 OEIS : ssä ) [5] .

Toinen erikoistapaus esiintyy neliöillä, joiden m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, … - 1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368, 53060477521960003 (OEIS003, … 0000 ) .

Nämä luvut voidaan löytää kirjoittamalla ne vinosymmetrisen matriisin Pfaffianiksi , jonka ominaisarvot voidaan löytää eksplisiittisesti. Tätä tekniikkaa voidaan soveltaa moniin matemaattisiin objekteihin, kuten klassiseen 2-ulotteiseen dimeeri-dimeeri-korrelaatiofunktion laskemiseen tilastomekaniikassa .

Alueen laatoitusten määrä on erittäin herkkä rajaolosuhteille ja voi muuttua merkittävästi, jos alueen muoto muuttuu näennäisesti merkityksettömältä. Tätä voidaan havainnollistaa luokkaa n olevien atsteekkien timanttilaatoitusten lukumäärällä, jossa laatoitusten määrä on 2 ( n  + 1) n /2 . Jos se korvataan luokkaa n olevalla "laajennetulla atsteekkien timantilla", jonka keskellä on kolme pitkää riviä kahden sijasta, laatoitusten määrä putoaa paljon pienempään numeroon D( n , n ), Delannoy-lukuun , jolla on vain eksponentiaalinen. , ei supereksponentiaalista kasvua n :llä . Luokan n "pienennetylle atsteekitimantille", jossa on vain yksi pitkä keskirivi, on vain yksi laatoitus.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Video YouTube-kanavalla Mathologer
  2. ↑ Kenyon, Okounkov, 2005 , s. 342-343.
  3. ↑ Temperley, Fisher, 1961 .
  4. ↑ Kasteleyn, 1961 .
  5. ↑ Klarner ja Pollack 1980 , s. 45–52.

Linkit

Kirjallisuus

 geometriset mosaiikit
Jaksottainen
jaksoton
Muut
Vertex- konfiguraation mukaan
Pallomainen
Oikea
puoliksi
oikein
Hyperbolinen
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3.16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5.8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6.8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7.6 2
  • 7.8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2