Rombinen mosaiikki

Rombinen mosaiikki
Tyyppi	Laves mosaiikki
Coxeterin kaavio
Fasetit	timantit 60°-120°
Kasvojen konfigurointi	V3.6.3.6
Symmetria ryhmä	p6m, [6,3], *632 p3m1, [3 [3] ], *333
Kiertoryhmä	p6, [6,3] + , (632) p3, [3 [3] ] + , (333)
kaksinkertainen	kolmikulmainen mosaiikki
Ominaisuudet	reuna-transitive face-transitiivinen

Rombinen laatoitus [1] , kallistuslohkot [2] , käännettävät kuutiot tai kuutiohila  - identtisten rombien laatoitus 60° kulmassa euklidisessa tasossa . Jokaisessa rombissa on kaksi 60° ja kaksi 120° kulmaa . Tällaisia ​​rombeja kutsutaan joskus timanteiksi . Kolmen rombin joukot ovat kosketuksissa pisteisiin, joiden kulma on 120°, ja kuuden joukot ovat kosketuksissa pisteisiin, joiden kulma on 60°.

Ominaisuudet

Rombista laatoitusta voidaan pitää jaettuna kuusikulmiona laatoituksena , jossa kukin kuusikulmio on jaettu kolmeen rombukseen , joilla on yhteinen kärki kuusikulmion keskellä. Tämä jako edustaa säännöllistä yhdistettyä laatoitusta . Se voidaan nähdä myös neljän kuusikulmaisen laatoituksen jakoena, jossa kuusikulmiot on jaettu 12 rombukseen.

Rombin diagonaalit ovat suhteessa 1:√3. Rombinen laatoitus on kolmikulmaisen laatoituksen tai kagomehilan kaksoiskappale . Tasaisen laatoituksen kaksoislaatoituksena se on yksi yhdestätoista mahdollisesta Lavesin laatoituksesta , ja sen kärkikonfiguraatio on merkitty [3.6.3.6] [ 4] .

Laatoitus on myös yksi 56 mahdollisesta isohedraalisesta nelikulmiosta [5] ja yksi 8 tasosta, jossa mikä tahansa reuna on laatoituksen symmetria-akselilla [6] .

Rombinen laatoitus on mahdollista upottaa kolmiulotteisen kokonaislukuhilan osajoukkoon siten, että kaksi kärkeä ovat vierekkäin, jos ja vain, jos hilan vastaavat pisteet ovat yksikköetäisyyden päässä toisistaan. Tarkemmin sanottuna, kun mosaiikin kahden kärjen välisen lyhimmän polun reunojen lukumäärä on yhtä suuri kuin korttelien etäisyys vastaavien ruudukkopisteiden välillä. Siten rombinen laatoitus voidaan nähdä esimerkkinä äärettömästä yksikköetäisyyskaaviosta ja osittaisesta kuutiosta [7] .

Sovellus taiteessa

Rombinen laatoitus voidaan tulkita isometriseksi projektioksi kuutiojoukosta kahdella eri tavalla, jotka edustavat Necker-kuutioon [en] liittyviä käännettyjä kuvioita . Tämä ilmiö tunnetaan "käännettävien kuutioiden" illuusiona [8] .

Puupiirroksissa Metamorphoses I , Metamorphoses II ja Metamorphoses III Escher käyttää tätä mosaiikin tulkintaa tapana muuttua kaksiulotteisista muodoista kolmiulotteisiksi [9] . Toisessa teoksessaan, The Cycle (1938), Escher leikkii tämän mosaiikin kaksiulotteisuuden ja kolmiulotteisuuden sisäisellä ristiriidalla - piirustuksessa näkyy rakennuksia, joissa on arkkitehtonisia elementtejä suuret kuutiolohkot ja ylhäällä patio, kivetty. rombisen mosaiikin kanssa. Pihalta alas kuutioita alas laskeutuvat ihmishahmot muuttuvat tyyliteltyiksi ja litteiksi [10] . Näissä teoksissa käytetään vain yhtä 3D-tulkintaa mosaiikista, mutta Convex and Concave Escher kokeilee käännettävillä hahmoilla ja sisältää kuvan käännettävistä kuutioista lipussa [11] .

Rombista mosaiikkia käytetään myös parketissa [12] ja lattia- tai seinälaattoina, joskus romboiden muotoa muutettuna [13] Rombinen kuvio löytyy antiikin mosaiikkilattiasta kreikkalaisessa Deloksessa [14] ja italialainen lattia 1000-luvulta [15] , vaikka Sienan katedraalin mosaiikin laatat ovat myöhempää tuotantoa [16] . Tikattu materiaali on tunnettu 1850-luvulta lähtien "pysähdyspalikoiden" kuviona, joka ilmaisee kaksiulotteisen kolmiulotteisen tulkinnan aiheuttamaa visuaalista dissonanssia [2] [15] [17] . Tällä kuviolla on monia muita nimiä, kuten taivaalliset tikkaat ja Pandoran lippa [17] . Uskotaan, että tätä kuviota käytettiin signaalina maanalaisella rautatiellä  - kun orjat näkivät hänet ripustettuna aidan alle, he keräsivät omaisuutensa ja piiloutuivat [18] . Näissä koristekuvioissa voidaan käyttää erivärisiä timantteja, mutta yleensä käytetään kolmea sävyä, vaaleampia timantteja, joissa on vaakasuora pitkä lävistäjä ja tummempia kahdessa muussa suunnassa, mikä parantaa niiden kolmiulotteisuutta. Englannin heraldiikassa tunnetaan yksi rombisen ja kolmikulmaisen mosaiikin esiintyminen  - armeijan vaakunassa Geal / e [19] .

Topologisesti vastaavat laatoitukset

Rombiset mosaiikit tehdään joskus pienemmällä symmetriaasteella. Esimerkiksi seuraavat kaksi vaihtoehtoa. Joskus näitä muunnelmia kutsutaan kuutiomaisiksi mosaiikeiksi kolmiulotteisten pinottujen kuutioiden illuusiota varten kulmassa.

Muut sovellukset

Rombinen laatoitus voidaan ajatella kahden eri kuusikulmaisen laatoituksen päällekkäisenä tuloksena, jotka on siirretty siten, että yhden laatan kärjet ovat toisen laatoituksen kuusikulmioiden keskellä. Tässä muodossa rombisen laatoituksen avulla voidaan luoda lohkosoluautomaatti , jossa laatoitusrombit ovat automaatiosoluja ja kahden laatoituksen kuusikulmiot toimivat lohkoina vuorotellen automaatioaskelissa. Tässä yhteydessä konetta kutsutaan "Q*bert-kentällä" videopelin Q*bert jälkeen, jossa pelikenttä näyttää kuutioiden pyramidilta. Q*bert-kenttää voidaan käyttää tukemaan universaalia järjestelmää simuloimalla biljarditietokonetta [20] .

Kondensoituneen aineen fysiikassa rombinen laatoitus tunnetaan kuutiohilana tai kaksoiskagome-hilana . Se on yksi useista toistuvista rakenteista, joita on käytetty Ising-mallin ja spin - vuorovaikutusten kytkettyjen järjestelmien tutkimiseen diatomisissa kiteissä [21] , ja sitä on tutkittu myös perkolaatioteoriassa [22] .

Symmetria

Rombisen laatoituksen symmetria on *632, mutta kärjet voidaan värjätä vuorotellen, jolloin saadaan *333 symmetria.

Kuva	(2 väriä)	(3 väriä)
Symmetria	p6m, [6,3], (*632)	p3m1, [3 [3] ], (*333)
kokseteri		=

Aiheeseen liittyvät polyhedrat ja laatoitukset

Rombinen laatoitus on kolmikulmaisen laatoituksen kaksoiskappale ja kuuluu siksi homogeenisten kaksoislaatoitusten joukkoon. Se on myös osa rombisten monitahojen ja laattojen sarjaa Coxeterin symmetriaryhmällä [n,3], joka alkaa kuutiolla, jota voidaan ajatella rombisena heksaedrina, jonka neliöt toimivat rombina. Tämän sekvenssin n :nnellä elementillä on pintakonfiguraatio V3.n.3.n.

Kaksinkertaisen kvasisäännöllisen laatoituksen symmetria: V(3.n) 2

	Pallomainen			Euklidinen	Hyperbolinen
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mosaiikki
Conf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3.5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3.∞) 2

Rombinen laatoitus on yksi monista tavoista laatoittaa taso rombilla. Muita ovat mm

tasainen versio neliöparketista (rinnakkaissiirrolla) mosaiikki, jota käytetään Miura-orin jäykässä taittojärjestelmässä (vuorottelevat rinnakkaiset käännökset ja heijastukset) Penrose-laatoitus , jossa käytetään kahta tyyppiä romboksia, joiden terävät kulmat ovat 36° ja 72° säännöllisin väliajoin , sekä muita jaksollisia laatoitusta

Niiden vieressä on Sfinksi-mosaiikki , joka rombisen mosaiikin tavoin perustuu kuusikulmaiseen mosaiikkiin .

Katso myös

• Mosaiikit kuperista säännöllisistä monikulmioista euklidisella tasolla

Muistiinpanot

1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , s. 288.
2. ↑ 12 Smith, 2002 .
3. ↑ Guy, Woodrow, 1996 , s. 79.
4. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 .
5. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. 477, kuvio 9.1.2, Mosaiikki P 4 -42.
6. ↑ Kirby, Umble, 2011 , s. 283-289.
7. ↑ Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004 , s. 150.
8. ↑ Warren, 1919 , s. 262.
9. ↑ Kaplan, 2008 , s. 39–46.
10. ↑ Escher, 2001 , s. 29–30.
11. ↑ Toukokuu, 2003 , s. 130-141.
12. ↑ Schleining, O'Rourke, 2003 , s. 58.
13. ↑ Tessellation Tango Arkistoitu 30. joulukuuta 2019 Wayback Machinessa , The Mathematical Tourist, Drexel University, haettu 23.5.2012.
14. ↑ Dunbabin, 1999 , s. 32.
15. ↑ 1 2 Tatem, 2010 , s. 115.
16. ↑ Wallis, 1902 , s. xxv.
17. ↑ 12 Fowler , 2008 .
18. ↑ Tobin, Dobard, 2000 , s. 81.
19. ↑ Aux armes: symbolism Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa , Symbolism in arms, Pleiade, haettu 17.4.2013.
20. ↑ Q*Bertin naapurusto Arkistoitu 4. kesäkuuta 2012 Wayback Machinessa , Tim Tyler.
21. ↑ Fisher, 1959 , s. 969–981.
22. ↑ Yonezawa, Sakamoto & Hori, 1989 , s. 636–649.

Kirjallisuus

• , Kanssa. 29–30, ISBN 9783822858646 , < https://books.google.com/books?id=lq-EZiRdPswC&pg=PR1 > 
• Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. Matematiikan kevyempi puoli. - The Mathematical Association of America, 1996. - S. 79, kuva 10. - (Spectrum). - ISBN 13: 978-0883855164, 10: 088385516X.
• Howard Crosby Warren. ihmisen psykologia. - Houghton Mifflin, 1919. - S. 262.
• John Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetria. - A.K. Peters, 2008. - S. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Branko Grünbaum , GC Shephard. Laatat ja kuviot . - New York: W.H. Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 . . Kohta 2.7, Laatoitukset säännöllisillä kärkipisteillä, s. 95-98.
• Matthew Kirby, Ronald Umble. Reunojen tessellaatiot ja leimataittopalapelit  // Mathematics Magazine. - 2011. - T. 84 , no. 4 . — S. 283–289 . doi : 10.4169/ math.mag.84.4.283 . - arXiv : 0908.3257 .
• Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Mihail Shtogrin. Mittakaava-isometriset polytopaaliset graafit hyperkuutioissa ja kuutiohiloissa: Polytoopit hyperkuutioissa ja Z n . - Lontoo: Imperial College Press, 2004. - S. 150. - ISBN 1-86094-421-3 . - doi : 10.1142/9781860945489 .
• Craig S. Kaplan. Bridges 2008: Matemaattisia yhteyksiä taiteessa, musiikissa ja tieteessä. - 2008. - S. 39-46.
• Jos De May. MC Escherin perintö: 100-vuotisjuhla / D. Schattschneider, M. Emmer. - Springer, 2003. - S. 130-141.
• Michael E. Fisher. Ising-mallien muunnokset // Physical Review. - 1959. - T. 113 , no. 4 . — S. 969–981 . - doi : 10.1103/PhysRev.113.969 .
• Fumiko Yonezawa, Shoichi Sakamoto, Motoo Hori. Perkolaatio kaksiulotteisessa hilassa. I. Tekniikka kynnysarvojen estimoimiseksi // Phys. Rev. B. - 1989. - T. 40 , no. 1 . — S. 636–649 . - doi : 10.1103/PhysRevB.40.636 .
• Lon Schleining, Randy 'Rourke. Aarrearkut: Erikoisten laatikoiden perintö. - Taunton Press, 2003. - S. 58. - ISBN 9781561586516 .
• Katherine M. D. Dunbabin. Kreikan ja roomalaisen maailman mosaiikit. - Cambridge University Press, 1999. - P. 32. - ISBN 9780521002301 .
• Mary Tatem. Ilonpeitto: Toivon tarinoita tilkkutyöelämästä. - Revell, 2010. - S. 115. - ISBN 9780800733643 .
• Henry Wallis. Italialaista keramiikkaa. - Bernard Quaritch, 1902. - S. xxv.
• Barbara Smith. Tumbling Blocks: Uusia peittoja vanhasta suosikista. - Collector Books, 2002. - ISBN 9781574327892 .
• Earlene Fowler. Kipuharkot. - Pingviini, 2008. - ISBN 9780425221235 . . Tämä on mysteeriromaani, mutta se sisältää myös lyhyen kuvauksen sen etuosassa olevasta tyynykuviosta.
• Jacqueline L. Tobin, Raymond G. Dobard. Hidden in Plain View: Salainen tarina peitoista ja maanalaisesta rautatiestä . - Random House Digital, Inc., 2000. - s  . 81 . — ISBN 9780385497671 .
• Maurits Cornelis Escher. MC Escher, graafinen työ. - Taschen, 2001. - S. 29–30. — ISBN 9783822858646 .

Lue lisää

• Keith Critchlow, Järjestys avaruudessa: Suunnittelulähdekirja , 1970, s. 77-76, malli 1

geometriset mosaiikit
Jaksottainen	Pythagoraan Rombinen Schwartzin kolmio Suorakulmainen Domino Viisikulmainen Homogeeninen mosaiikki Honeycombs Väritys Kupera Jaettu mosaiikki Tasainen kristallografinen ryhmä Wythoffin rakentaminen
jaksoton	Ammann-Binker Ajoittainen sarja mosaiikkilaattoja Lista Yksi laatta haaste Sokolara - Taylor Gilbert Penrose väkkärä Domed Jakoiset ja itseliimautuvat sarjat Sfinksi Truche
Muut	Ei -isoedrinen ja isohedraalinen Arkkitehtoninen ja heijastava Circle Limit III Tietokonegrafiikka hunajakennoja Reuna transitiivinen Paketti Tehtävät pakettiauto heesh neliöinti Mosaiikkilaatat Conwayn kriteeri Girih Lentokoneen säännöllinen jako Säännöllinen hila Korvaukset Voronoin kaavio Foderberg
Vertex- konfiguraation mukaan	Pallomainen 2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ Oikea 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 puoliksi oikein 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2 Hyperbolinen _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2