Luettelo tasosymmetriaryhmistä

Artikkelissa on yhteenveto Euklidisen tason diskreettien symmetriaryhmien luokista . Tässä annetut symmetriaryhmät on nimetty kolmen nimeämismallin mukaan: kansainvälinen merkintä , orbifold-merkintä ja Coxeter-merkintä . Tasossa on kolmen tyyppisiä symmetriaryhmiä:

• 2 ääretöntä pisteryhmien perhettä
• 7 reunaryhmää - 2D reunaryhmät
• 17 taustakuvaryhmää - 2D- tilaryhmät .

Pistesymmetriaryhmät

Tasossa on piste, joka on invariantti jokaisessa muunnoksessa. Diskreettejä kaksiulotteisia pisteryhmiä on kaksi ääretöntä perhettä. Ryhmät määritellään parametrilla n , joka on yhtä suuri kuin rotaatioaliryhmän järjestys. Myös parametri n on yhtä suuri kuin ryhmäindeksi.

Perhe	Int. ( orbifold )	Schoenflies	Geom. [1] Coxeter	Tilaus	Esimerkkejä
Sykliset ryhmät	n (n•)	C n	n [n] +	n	C 1 , [ ] + (•)	C 2 , [2] + (2•)	C 3 , [3] + (3•)	C 4 , [4] + (4•)	C 5 , [5] + (5•)	C 6 , [6] + (6•)
Dihedraaliset ryhmät	nm (*n• )	D n	n [n]	2n _	D 1 , [ ] (*•)	D 2 , [2] (*2•)	D 3 , [3] (*3•)	D 4 , [4] (*4•)	D 5 , [5] (*5•)	D 6 , [6] (*6•)

Rajaryhmä

Tasossa on suora viiva, joka muuttuu itsestään jokaisen muunnoksen yhteydessä. Tässä tapauksessa tämän viivan yksittäiset pisteet eivät saa pysyä liikkumattomina.

7 ryhmää reunuksia , kaksiulotteisia reunaryhmiä . Schoenflies-symbolit on annettu 7 dihedraalisen ryhmän äärettömänä rajana. Keltaiset alueet edustavat kunkin rajan äärettömiä perusalueita.

IUC ( orbifold )	Geom.	Schoenflies	Coxeter	perusalue _	Esimerkki
p1 (∞•)	p1_ _	C∞ _	[1,∞] +
p1m1 (*∞•)	p1	C∞v _	[1,∞]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflies	kokseteri	perusalue _	Esimerkki
p11g (∞×)	s. g 1	S 2∞	[2 + ,∞ + ]
p11m (∞*)	s. yksi	C∞h _	[2,∞ + ]

IUC (Orbifold)	Geom.	Schoenflies	kokseteri	perusalue _	Esimerkki
p2 (22∞)	p2 _	D∞ _	[2,∞] +
p2mg (2*∞)	p2 g	D∞d _	[2 + ,∞]
p2mm (*22∞)	p2	D∞h _	[2,∞]

Taustakuvaryhmät

17 taustakuvaryhmää , joilla on rajalliset perusalueet, järjestetty kansainvälisen merkinnän , orbifold-merkinnän ja Coxeterin merkinnän mukaan ja luokiteltu 5 Bravais -hilan avulla tasossa: neliö , vino (rinnakkaiskuva), kuusikulmainen (timantit 60 asteen kulmilla) , suorakaiteen muotoinen ja rombinen.

Peilisymmetriset ryhmät p1 ja p2 esiintyvät kaikissa luokissa. Siihen liittyvä puhdas Coxeterin heijastusryhmä on annettu kaikille luokille paitsi vinoille.

Neliö [4,4], IUC ( Orb. ) Geom. Coxeter perusalue _ p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + pgg (22×) p g 2 g [4 + ,4 + ] pmm (*2222) p2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] cmm (2*22) c2 [(4,4,2 + )] p4 ( 442) s4 [4,4] + p4g (4*2) p g 4 [4 + ,4] p4m (*442) p4 [4,4]

Suorakulmainen [∞ h ,2,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. kokseteri perusalue _ p1 (°) p 1 [∞ + ,2, ∞ + ] p2 ( 2222) p2 [∞,2,∞] + pg(h) (××) p g 1 h: [∞ + ,(2,∞) + ] pg(v) (××) p g 1 v: [(∞,2) + ,∞ + ] pgm (22*) p g 2 h: [(∞,2) + ,∞] pmg (22*) p g 2 v: [∞,(2,∞) + ] pm(h) (**) p1 h: [∞ + ,2,∞] pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞ + ] pmm (*2222) p2 [∞,2,∞]

rombinen [∞ h ,2 + ,∞ v ], IUC (Orb.) Geom. kokseteri perusalue _ p1 (°) p 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] p2 ( 2222) p2 [∞,2 + ,∞] + cm(h) (*×) c1 h: [∞ + ,2 + ,∞] cm(v) (*×) c1 v: [∞,2 + ,∞ + ] pgg (22×) p g 2 g [((∞,2) + ) [2] ] cmm (2*22) c2 [∞,2 + ,∞] Rinnakkaiskäyrä (vino) p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2

Kuusikulmainen / kolmiomainen [6,3],/ [3 [3] ], p1 (°) p 1 p2 ( 2222) p2 [6,3 ] cmm (2*22) c2 [6.3] ⅄ p3 ( 333) p3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + p3m1 (*333) p3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] p31m (3*3) h3 [ 6,3+ ] s. 6 ( 632 ) s. 6 [6,3] + p6m (*632) p6 [6,3]

Taustakuva-alaryhmien suhde

Alla olevassa taulukossa ryhmää vastaavan rivin ja ryhmää vastaavan sarakkeen leikkauskohdassa on alaryhmän , joka on isomorfinen , vähimmäisindeksi . Diagonaali sisältää oikean alaryhmän minimiindeksin, joka on isomorfinen ympäröivään ryhmään nähden.

Katso myös

• Luettelo pallosymmetriaryhmistä
• Hyperbolinen taso — Hyperboliset symmetriaryhmät

Muistiinpanot

1. ↑ Hestenes, Holt, 2007 .
2. ↑ H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser.  Generaattorit ja suhteet erillisiin ryhmiin. Berlin: Springer, 1972. § 4.6, taulukko 4

Kirjallisuus

• D. Hestenes , J. Holt. Geometrisen algebran kristallografiset avaruusryhmät // Journal of Mathematical Physics .. - 2007. -T. 48, 023514.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetria. - A. K. Peters, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Orbifold-merkintä monitahoisille, euklidisille ja hyperbolisille laatoille)

• John H. Conway, Derek A. Smith. Kvaternioneista ja oktonioneista: niiden geometria, aritmetiikka ja symmetria. - Natick, MA: A.K. Peters, Ltd., 2003. - ISBN 978-1-56881-134-5 .
• Kaleidoskoopit: Selected Writings of HSM Coxeter , toimittajat F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (Paperi 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paperi 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, HSM ja Moser, WOJ :n generaattorit ja suhteet erillisiin ryhmiin. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
• NW Johnson . Luku 11: Äärilliset symmetriaryhmät // Geometriat ja muunnokset. – 2015.

Linkit

• "Conwayn käsikirjoitus" Orbifold-merkinnällä (merkintä muutettu tästä alkuperäisestä, x :tä käytetään nyt avoimen pisteen tilalla ja o:ta suljetun pisteen tilalla)
• 17 taustakuvaryhmää