Dihedraalinen ryhmä

Dihedraaliryhmä ( dihedral group ) on säännöllisen monikulmion symmetriaryhmä , joka sisältää sekä rotaatiot että aksiaalisymmetriat [1] . Dihedral ryhmät ovat yksinkertaisimpia esimerkkejä äärellisistä ryhmistä ja niillä on tärkeä rooli ryhmäteoriassa , geometriassa ja kemiassa . On hyvin tunnettua ja melko triviaalisti todistettu, että kahdesta involuutiosta muodostuva ryhmä, jossa on äärellinen määrä alkioita määritelmäalueella, on kaksitahoinen ryhmä.

Merkintä

On kaksi päätapaa kirjoittaa kaksipuoleiseen monikulmioon liittyvä dihedraaliryhmä . Geometriassa ryhmä kirjoitetaan nimellä , kun taas yleisalgebrassa sama ryhmä merkitään nimellä , jossa indeksi on ryhmän elementtien lukumäärä. On olemassa myös Coxeterin merkintä , jossa järjestyksen aksiaalinen symmetria merkitään ) ja järjestyksen rotaatio muodossa . Toinen merkintä on orbifold -merkintä , jossa aksiaalinen symmetria on merkitty , ja rotaatiot . $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {D} _{2n}$ $2n$ $[n]$ $n$ $[n]^{+}$ $*nn$ $n$

Tässä artikkelissa (tai joskus ) viittaa säännöllisen -gonin symmetrioihin. $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$

Määritelmä

Elements

Säännöllisellä -gonilla on erilaisia symmetrioita: kiertoja ja aksiaaliheijastuksia , jotka muodostavat dihedraalisen ryhmän . Jos se on pariton, jokainen symmetria-akseli kulkee yhden sivun ja vastakkaisen kärjen keskipisteen kautta. Jos parillinen, on olemassa symmetria-akseleita, jotka yhdistävät vastakkaisten sivujen keskipisteitä ja akseleita, jotka yhdistävät vastakkaisia pisteitä. Joka tapauksessa symmetria- akseleita ja elementtejä on symmetriaryhmässä. Heijastus yhden akselin ja sitten toisen akselin ympäri johtaa kiertoon kaksinkertaisen akselien välisen kulman läpi. Alla olevissa kuvissa näkyy elementin vaikutus Stop - liikennemerkkiin : $n$ $2n$ $n$ $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $n$ $n$ $n/2$ $n/2$ $n$ $2n$ $\mathrm {D} _{8}$

Ensimmäinen rivi näyttää kahdeksan kiertoa ja toinen rivi kahdeksan heijastusta.

Ryhmärakenne

Kuten minkä tahansa muun geometrisen kohteen kanssa, säännöllisen monikulmion kahden symmetrian koostumus on jälleen symmetria. Näin ollen säännöllisen monikulmion symmetriat muodostavat äärellisen ryhmän .

Cayleyn taulukko näyttää tasasivuisen kolmion symmetriaryhmän sommittelujen tulokset . tarkoittaa identiteetin muuntamista, ja merkitsee vastapäivään kiertoa asteilla ja vastaavasti, , , ja tarkoittaa heijastuksia oikealla olevassa kuvassa esitettyjen akseleiden ympärillä. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3))$ $\mathrm {R} _{0}$ $\mathrm {R} _{1}$ $\mathrm {R} _{2}$ $120$ $240$ $\mathrm {S} _{0}$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$

	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$
$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$
$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$
$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$
$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$

Esimerkiksi, koska sovelletaan peräkkäisiä heijastuksia ja antaa kierron . Huomaa, että koostumus ei ole kommutoiva operaatio . ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\mathrm {S} _{1}=\mathrm {R} _{1))$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$ $120^{\circ }$

Yleisesti ottaen ryhmä sisältää elementtejä ja operaationa sillä on koostumus, joka saadaan kaavoilla: $\mathrm {D} _{n}$ ${\displaystyle \mathrm {R} _{0},\dots \mathrm {R} _{n-1))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{0},\dots \mathrm {S} _{n-1))$

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {R} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {S} _{ij))

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {S} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {R} _{ij))

Kaikissa tapauksissa indeksien yhteen- ja vähennyslasku on tehtävä modulo - jäännöksillä . $n$

Matriisiesitys

Jos asetamme säännöllisen monikulmion keskipisteen origoon, kaksitahoisen ryhmän alkioista tulee tason lineaarisia kuvauksia . Tämä mahdollistaa elementtien esittämisen matriisien ryhmänä ja matriisin kertolasku kokoonpanooperaationa. Tällainen esitys on esimerkki ryhmän -ulotteisesta esityksestä . $\mathrm {D} _{n}$ $2$

Otetaan esimerkkinä ryhmän elementit . Ne voidaan esittää seuraavina matriiseina: ${\displaystyle \mathrm {D} _{4))$ $kahdeksan$

{\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\ [0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}} {\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix)){\bigr )},&S_ {1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix }-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\ end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}

Yleensä elementtien matriiseilla on seuraava muoto: $\mathrm {D} _{n}$

{\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n))&-\sin {\frac {2\pi k}{ n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i} }\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Tässä on vastapäivään pyörivä matriisi kulman mukaan ja on heijastus akselin ympäri, joka muodostaa kulman abskissa-akselin kanssa . ${\displaystyle \mathrm {R} _{k))$ ${\frac {2\pi k}{n))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{k))$ ${\frac {\pi k}{n))$

Pienet dihedral ryhmät

Sillä saamme . Tätä merkintää käytetään harvoin, paitsi merkitsemään muita ryhmiä sarjassa, koska ryhmä vastaa . $n = 1$ $\mathrm {Dih} _{1}$ $Z_{2}$

Sillä saamme - nelinkertaisen Klein-ryhmän . $n = 2$ $\mathrm {Dih} _{2}$

Molemmat tapaukset ovat poikkeuksia sarjassa:

He ovat abelilaisia , kun taas kaikille muille ryhmä ei ole abelilainen. $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$
Ne eivät ole symmetrisen ryhmän alaryhmiä , koska niille . $\mathrm {S} _{n}$ $2n>n!$ $n$

Dihedraalisten ryhmien syklikaavio koostuu yhdestä pituussyklistä ja pituussyklistä . Alla olevan syklikaavion tummat kärjet näyttävät identiteettimuunnoksen, valkoiset ryhmän loput elementit. Kierto koostuu jäljellä olevien elementtien peräkkäisistä asteista. $n$ $n$ $2$


Dih 1	Dih 2	Dih 3	Dih 4	Dih 5	Dih 6	Dih 7

Dihedraalinen ryhmä symmetriaryhmänä 2D:ssä ja rotaatioryhmänä 3D:ssä

Esimerkki abstraktista ryhmästä Dih n ja yleinen graafinen esitystapa on tasoisometrioiden ryhmä D n , jotka eivät siirrä origoa. Nämä ryhmät muodostavat yhden kahdesta erillisten pisteryhmien sarjasta tasossa . D n koostuu n kierrosta 360°/ n :llä jaollisella kulmalla origon ympäri ja heijastuksista n koordinaattikeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri ja kulmasta muihin akseleihin nähden, joka on jaollinen luvulla 180°/ n . Nämä pisteet edustavat säännöllisen monikulmion symmetriaryhmää, jossa on n sivua (jos n ≥ 3).

Dihedraaliryhmä D n syntyy kertaluvun n rotaatiolla r ja kertalukua 2 olevalla heijastuksella s siten , että

{\displaystyle srs=r^{-1))

Geometrian suhteen: pyörimisen peilikuva näyttää käänteiskierrokselta.

Kompleksilukujen suhteen : kertolasku ja konjugaatio. $e^{{2\pi i \over n}}$

Matriisien suhteen: annettu

r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\ cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

ja määrittelemällä ja varten voimme kirjoittaa säännöt D n as :n muodostamiselle $r_{j}=r_{1}^{j}$ $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

r_{j}\,r_{k}=r_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

r_{j}\,s_{k}=s_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,r_{k}=s_{{(jk){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,s_{k}=r_{{(jk){\text{ mod }}n}}.

(Vertaa kiertomatriisia .)

Dihedraaliryhmä D 2 syntyy kierroksen r :llä 180 astetta ja s :n symmetrialla X-akselin ympäri. D 2 :n alkiot voidaan esittää muodossa { e , r , s , rs }, missä e on identiteetti muunnos ja rs on symmetria Y-akselin suhteen .

D2 on isomorfinen Kleinin nelinkertaisen ryhmän kanssa .

Kun n>2, kierto- ja heijastusoperaatiot suoran ympäri eivät ole kommutatiivisia ja D n ei ole Abelin. Esimerkiksi D 4 :ssä 90 asteen kääntäminen ja sitten kääntäminen antaa hyvin erilaisen tuloksen kuin kääntäminen ja sitten kiertäminen.

Siten, yhdessä ilmeisten sovellusten kanssa tason symmetriaongelmiin , nämä ryhmät toimivat yksinkertaisimpina esimerkkeinä ei-abelilaisista ryhmistä, ja niitä käytetään usein vastaesimerkeinä Abelin ryhmiin rajoittuville lauseille.

D n :n 2 n alkiota voidaan kirjoittaa muodossa e , r , r 2 , …, r n −1 , s , rs , r 2 s , …, r n −1 s . Ensimmäiset n lueteltua elementtiä ovat rotaatioita, loput n ovat heijastuksia akseleista (niillä kaikilla on järjestys 2). Kahden kierroksen tai kahden heijastuksen tulos on kierto. Kierron ja heijastuksen tulos on heijastus.

Näin ollen olemme vahvistaneet, että D n on O(2) -alaryhmä .

Kuitenkin merkintää D n käytetään SO(3) :n alaryhmille, jotka ovat myös tyypin Dihn ryhmiä : kolmiulotteiseen avaruuteen upotetun monikulmion symmetriaryhmä (jos n ≥ 3). Tällaisia hahmoja voidaan ymmärtää rappeutuneiksi kiinteiksi aineiksi (siis nimi dihedron ( dihedron').

Esimerkkejä kaksiulotteisten dihedralien symmetriasta

2D D 6 - (hylätty symboli) Daavidin punainen tähti
2D D 24 - Ashoka Chakra - symboli Intian lipussa .

Vastaavat määritelmät

Seuraavat määritelmät ovat vastaavia: $\mathrm {Dih} _{n}$

Graafin automorfismiryhmä, joka koostuu vain syklistä, jossa on kärkipisteet (jos ). $n$ $n\geqslant 3$
Ryhmä näköalalla

D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

tai

D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .

Toisesta esityksestä seuraa , että se kuuluu Coxeter - ryhmien luokkaan .

\mathrm {Dih} _{n}

Ominaisuudet

Dihedraalisten ryhmien ominaisuudet riippuvat pariteetista . Esimerkiksi ryhmän keskus koostuu vain parittoman identiteetistä ja parillisen kahdesta elementistä, nimittäin identiteetistä ja . Parittomille luvuille abstrakti ryhmä on isomorfinen suoralle tulolle ja . $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 3$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$ $r^{n/2}$ $n$ $\mathrm {Dih} _{2n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $\mathrm {Z} _{2}$

Jos jakaa , siinä on muodon aliryhmät ja yksi alaryhmä . Siten ryhmän ( ) alaryhmien kokonaismäärä on yhtä suuri kuin , jossa on luonnollisten jakajien lukumäärä ja ryhmän luonnollisten jakajien summa . $m$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n/m$ $\mathrm {Dih} _{m}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{m))$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 1$ $\mathrm {d} (n)+\mathrm {\sigma } (n)$ $\mathrm {d} (n)$ $n$ $\mathrm {\sigma } (n)$ $n$

Heijastusluokkien konjugaatio

Kaikki heijastukset ovat parittaisia konjugaatteja parittoman tapauksessa , mutta ne jakautuvat kahteen konjugasioluokkaan parilliselle . Säännöllisten -kulmien isomorfismin kannalta: parittomilla heijastuksilla saadaan mikä tahansa heijastus mistä tahansa muusta kiertoa käyttämällä, kun taas parillisilla vain puolet heijastuksista saadaan jostain heijastuksesta kiertojen avulla. Geometrialta katsottuna parittomassa kulmiossa kukin symmetria-akseli kulkee vastakkaisen puolen yhden kärjen ja keskipisteen kautta, ja parillisessa kulmassa on kaksi akselisarjaa, joista kukin joukko vastaa konjugaatioluokkaansa. - kärkien kautta kulkevat akselit ja sivujen keskipisteiden kautta kulkevat akselit. $n$ $n$ $n$ $n$ $n$

Algebrallisesti nämä ovat Sylow-lauseen konjugaattielementtien edustajia : parittomille , mikä tahansa heijastus yhdessä identtisen elementin kanssa muodostaa järjestyksen aliryhmän , joka on Sylow 2 -alaryhmä ( on kahden jakamisen maksimipotentti ), kun taas parilliselle , nämä -:nnen kertaluvun alaryhmät eivät ole Sylow , koska (suurin potenssi kahdesta) jakaa ryhmän järjestyksen. $n$ $2$ $2=2^{1}$ $2n=2(2k+1)$ $n$ $2$ $neljä$

Tasaiselle on sen sijaan ulompi automorfismi , joka vaihtaa kahden tyyppiset heijastukset. $n$

Automorfismiryhmät

Ryhmän Dih n automorfismi on isomorfinen affiinisen ryhmän Aff(Z/nZ) kanssa ja sen järjestys on , jossa Euler-funktio on yhtä suuri kuin n :tä pienempien luonnollisten lukujen lukumäärä ja suhteellisesti alkuluku sille. $=\{ax+b\mid(a,n)=1\}$ $n\phi(n),$ $\phi$

Tämä voidaan ymmärtää heijastusgeneraattorilla ja alkeisrotaatioilla (rotaatiot päällä , k koprime n kanssa ). Mikä automorfismi on sisäinen ja mikä ulkoinen, riippuu n:n pariteetista . $k(2\pi /n)$

Parittoman n :n tapauksessa dihedraalisella ryhmällä ei ole keskustaa, joten mikä tahansa elementti määrittelee ei-triviaalin sisäisen automorfismin. Parilliselle n :lle kierto 180° (heijastus koordinaattien keskipisteestä) on keskipisteen ei-triviaali elementti.
Siten parittomalla n :llä sisäisen automorfismiryhmän kertaluku on 2 n ja parillisella n:llä sen kertaluku n.
Parittomalla n :llä kaikki heijastukset ovat konjugoituja, parillisilla ne jakautuvat kahteen luokkaan (joihin, jotka kulkevat kahden kärjen kautta, ja niihin, jotka kulkevat sivujen keskipisteiden kautta), ja nämä kaksi luokkaa liittyvät ulkoiseen automorfismiin, joka voi olla esitetään kiertona (puoli minimikiertokulmasta). $\pi /n$
Rotaatiot antavat normaalin alaryhmän. Heijastuskonjugaatio kääntää kiertoliikkeen etumerkin (suunnan), mutta muuten pysyy ennallaan. Automorfismi, joka kertoo kulmat k : llä (koprime n: n kanssa ), on ulompi, ellei $k=\pm1.$

Esimerkkejä ryhmäautomorfismeista

Dih 9 :ssä on 18 sisäistä automorfismia . 2D - isometriaryhmänä D9: ssä on heijastuksia 20°:n välein. 18 sisäistä automorfismia tarjoavat heijastusten kiertoja 20°:n kerrannaisina ja heijastuksia. Isometriaryhminä ne ovat kaikki automorfismeja. Lisäksi on 36 ulkoista automorfismia , esimerkiksi kertomalla kiertokulma kahdella.

Yleistykset

Dihedraaliryhmistä on useita tärkeitä yleistyksiä:

Ääretön dihedraaliryhmä on ääretön ryhmä , jonka algebrallinen rakenne on samanlainen kuin äärellisten dihedraalisten ryhmien. Sitä voidaan pitää kokonaislukujen symmetriaryhmänä .
Ortogonaalisella ryhmällä O (2), eli ympyräsymmetriaryhmällä on samanlaiset ominaisuudet kuin äärellisillä dihedraalisilla ryhmillä
Yleistettyjen dihedraalisten ryhmien perhe sisältää yllä olevat laajennukset, samoin kuin monet muut.
Kvasiedriryhmät ovat äärellisten ryhmien perhe, joiden ominaisuudet ovat samankaltaisia kuin äärellisten kaksitahoisten ryhmien.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstrakti algebra (määrätön) . – 3. - John Wiley & Sons , 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .

Linkit

Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project , Dihedral Group n of Order 2n .
Dihedral ryhmä Grouppropsissa
Miller W., Symmetriaryhmät ja niiden sovellukset. Academic Press, 1972.
Patterns of Symmetry = Patterns of Symmetry / Ed. M. Seneschal, J. Fleck. - M .: Mir, 1980. - 271 s.
Aminov L. K. Symmetry Theory (luentomuistiinpanot ja tehtävät). - M .: Tietokonetutkimuksen Mn-t, 2002. - 192 s.
Weil G. Symmetry = Symmetry. - M .: Nauka, 1968. - 152 s.
Wigner E. Etudes on Symmetry = Symmetry and Reflections: Scientific Essays. - M .: Mir, 1971. - 320 s.
Golod P. I., Klimyk A. U. Symmetriateorian matemaattiset perusteet = Symmetriateorian matemaattiset perusteet. - Izhevsk: RHD, 2001. - 528 s.
Poklonsky N. A. Pistesymmetriaryhmät : Proc. Korvaus - Minsk: BGU, 2003. - ISBN 985-445-965-9
Smirnov E. Yu. Heijastusryhmät ja säännölliset polyhedrat. — M.: MTsNMO, 2009. — 48 s. — ISBN 978-5-94057-525-2
Flurry R. Symmetriaryhmät: teoria ja kemialliset sovellukset. - M .: Mir, 1983. - 400 s.