Kiertoryhmä

Rotaatioryhmä ( käännösryhmä ) mekaniikassa ja geometriassa - sarja kaikista kierroksista origon ympärillä kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa . Määritelmän mukaan kierto origon ympäri on lineaarinen muunnos , joka säilyttää vektorien pituuden ja säilyttää myös orientaation (oikea ja vasen vektoreiden trio). Kiertoryhmä on isomorfinen todellisten ortogonaalisten matriisien ryhmän kanssa, jonka determinantti on 1 (kutsutaan erityiseksi ortogonaaliryhmäksi dimensiolla 3 - ). $\mathbb {R} ^{3}$ $3 kertaa 3$ ${\mathrm {SO}}(3)$

Ominaisuudet

Kaikki rotaatioryhmät , mukaan lukien ja , ovat Lie-ryhmiä . ${\mathrm {SO}}(n)$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $\mathrm {SO} (2)$
Rotaatioryhmät ja yleensä for ovat ei- kommutatiivisia. ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SO}}(n)$ $n > 2$
Ryhmä on diffeomorfinen projektiivisen avaruuden kanssa, jonka ulottuvuus on 3. Eulerin rotaatiolauseen mukaan mikä tahansa kierto voidaan antaa suoralla (yksikkövektorin antama pyörimisakseli ), joka kulkee koordinaattien keskipisteen ja kulman kautta . Jokainen kierto voisi liittää vektoriin ja siten identifioida rotaatioryhmän elementit sädepallon pisteisiin . Tällainen vertailu ei kuitenkaan olisi bijektiivinen, koska sama kierto vastaa kulmia ja . Siksi tunnistamalla diametraalisesti vastakkaiset pisteet pallon rajalla, saamme projektiivisen avaruuden . ${\mathrm {SO}}(3)$ $v$ $\varphi \in [-\pi,\pi]$ $\varphi v$ $\pi$ $\pi$ $-\pi$
Universaali peittävä ryhmä on erityinen unitaarinen ryhmä tai, mikä on sama, yksikkömodulo (vaikuttaa konjugaatioiden avulla yksikköpallon tangenttiavaruuteen ) kvaternionien ryhmä. Tässä tapauksessa päällyste on kaksikerroksinen . ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Joskus rotaatioryhmiä kutsutaan erityiseksi ortogonaaliksi ryhmäksi - -ulotteisen euklidisen avaruuden rotaatioryhmäksi. Erikoistapaus on tasokiertojen ryhmä eli U(1) ; toisin kuin kolmiulotteisen avaruuden rotaatio, se on kommutatiivista . ${\mathrm {SO}}(n)$ $n$ $\mathrm {SO} (2)$

Katso myös

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 .
Bogopolsky OV Johdatus ryhmäteoriaan. - M. : Moskova-Iževsk: IKI, 2002. - 148 s. — ISBN 5-93972-165-6 .