Eulerin rotaatiolause
Eulerin kiertolause sanoo, että mikä tahansa jäykän kappaleen liike kolmiulotteisessa avaruudessa, jolla on kiinteä piste, on kappaleen pyörimistä jonkin akselin ympäri. Näin ollen kiertoa voidaan kuvata kolmella koordinaatilla : pyörimisakselin kahdella koordinaatilla (kuten leveysaste ja pituusaste ) ja kiertokulma.
Tietylle kulman ja yksikkövektorin kohdalla merkitään kulmalla kiertoa vektorin n suunnassa vastapäivään . Sitten:
- on minkä tahansa identiteettikartoitus
Jokaiselle kierrokselle on yksi kulma , jolle , kun taas:
- on yksilöllisesti määritelty, jos ;
- mikä tahansa, ;
- määritellään yksilöllisesti if-merkkiin asti (eli kierrokset ovat samat).
Pyörimisryhmän geometria
Eulerin esityksen avulla voidaan tutkia kolmiulotteisen avaruuden rotaatioryhmän topologiaa (ryhmä SO(3) ). Tarkastellaan tätä varten palloa , jonka keskipiste on koordinaattien origo, jonka säde on π.
Mikä tahansa pyöriminen alle π:n kulman läpi määrittää yhden pisteen pallon sisällä (suunta määrittää pyörimisakselin suunnan ja kulma etäisyyden origosta). Kiertyminen kulman π läpi vastaa kahta vastakkaista pistettä pallon pinnalla.
Siten pallo, jossa on tunnistettu pallon vastakkaiset pisteet, on homeomorfinen ryhmälle SO(3).