Pallo

Pallo  on geometrinen runko ; joukko avaruuden pisteitä, jotka sijaitsevat etäisyydellä keskustasta , enintään tietystä pisteestä. Tätä etäisyyttä kutsutaan pallon säteeksi . Pallo muodostetaan kiertämällä puoliympyrää sen kiinteän halkaisijan ympäri . Tätä halkaisijaa kutsutaan pallon akseliksi , ja määritellyn halkaisijan molempia  päitä kutsutaan pallon navoiksi . Pallon pintaa kutsutaan palloksi : suljettu pallo sisältää tämän pallon , avoin pallo  sulkee sen pois.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Jos leikkaustaso kulkee pallon keskustan läpi, pallon leikkausta kutsutaan suureksi ympyräksi . Muita pallon tasoosia kutsutaan pieniksi ympyröiksi . Näiden osien pinta-ala lasketaan kaavalla πR².

Geometriset peruskaavat

Säteen (ja halkaisijan ) pallon pinta-ala ja tilavuus määritetään seuraavilla kaavoilla:

Todiste

Otetaan neljännesympyrä, jonka säde on R ja jonka keskipiste on pisteessä . Tämän ympyrän kehän yhtälö on: , mistä .

Funktio on jatkuva, laskeva, ei-negatiivinen. Kun neljäsosa ympyrästä pyörii Ox-akselin ympäri, muodostuu puolipallo, joten:

Missä Ch. t.

Todiste

H.t.d.

Pallon käsite metrisessä avaruudessa yleistää luonnollisesti pallon käsitteen euklidisessa geometriassa .

Määritelmät

Olkoon metrinen tila annettu . Sitten

Muistiinpanot

Palloa, jonka säde on keskitetty , kutsutaan myös pisteen ympäristöksi .

Ominaisuudet

Volume

Säteisen R n -ulotteisen pallon tilavuus n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa: [1]

missä Γ on Eulerin gammafunktio (joka on faktoriaalin laajennus reaali- ja kompleksilukujen kenttään ). Käyttämällä gammafunktion erityisiä esityksiä kokonaisluku- ja puolikokonaislukuarvoille voidaan saada kaavoja n-ulotteisen pallon tilavuudelle, jotka eivät vaadi gammafunktiota:

, .

Tuttua !! tässä on merkitty kaksoisfaktoriaali .

Nämä kaavat voidaan myös lyhentää yhdeksi yleiseksi:

.

Käänteisfunktio, joka ilmaisee säteen riippuvuuden tilavuudesta:

.

Tämä kaava voidaan myös jakaa kahteen tilaan, jossa on parillinen ja pariton määrä ulottuvuuksia, käyttämällä faktoriaalista ja kaksoisfaktoriaalista gammafunktion sijasta:

, . Rekursio

Tilavuuskaava voidaan ilmaista myös rekursiivisena funktiona . Nämä kaavat voidaan todistaa suoraan tai johtaa yllä olevasta peruskaavasta. Helpoin tapa ilmaista n - ulotteisen pallon tilavuus on mittapallon tilavuus (olettaen, että niillä on sama säde):

.

On olemassa myös kaava n - ulotteisen pallon tilavuudelle riippuen samansäteisen ( n − 1)-ulotteisen pallon tilavuudesta:

.

Sama ilman gammatoimintoa:

Pienemmät tilat

Tilavuuskaavat joillekin pienempikokoisille tiloille:

Mittausten lukumäärä Pallon tilavuus, jonka säde on R Äänenvoimakkuuspallon säde V
yksi
2
3
neljä
5
6
7
kahdeksan
9
kymmenen
Suuremmat tilat

Kun ulottuvuuksien lukumäärä pyrkii äärettömään, yksikkösäteen pallon tilavuus pyrkii nollaan. Tämä voidaan päätellä tilavuuskaavan rekursiivisesta esityksestä.

Esimerkkejä

 ovat avoimet ja suljetut segmentit , vastaavasti.
  • jos (avaruus - taso ), sitten
 ovat avoimia ja suljettuja levyjä .
  • jos , niin
 ovat avoin ja suljettu stereometrinen pallo , vastaavasti.
  • Muissa mittareissa pallolla voi olla erilainen geometrinen muoto. Määritetään esimerkiksi metriikka euklidisessa avaruudessa seuraavasti:
Sitten
  • jos , Sitten  on avoin neliö , jonka keskus on pisteessä ja pituuden sivuilla, jotka sijaitsevat vinosti koordinaattiakselien kanssa.
  • jos , niin  on avoin kolmiulotteinen oktaedri .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. Yhtälö 5.19.4, NIST:n digitaalinen matemaattisten funktioiden kirjasto. http://dlmf.nist.gov/ , julkaisu 1.0.6, 2013-05-06.

Kirjallisuus

Linkkejä online-laskimiin