Etäisyys

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Etäisyys , laajassa merkityksessä, objektien etäisyyden aste (mitta) toisistaan.

Etäisyys on geometrian peruskäsite . Termiä käytetään usein muilla tieteillä ja tieteenaloilla: tähtitiede , maantiede , geodesia , navigointi ja muut. Eri tieteenaloilla termillä on erilainen määritelmä, joka esitetään alla.

Etäisyys matematiikassa

Etäisyys algebrassa

Käsitteen "etäisyys" sisältö algebrassa liittyy metrisen ja metrisen avaruuden käsitteeseen .

Joukkoa X kutsutaan metriavaruudeksi, jos sellainen kuvaus, jota kutsutaan metriikaksi, X² ei-negatiivisten lukujen joukoksi annetaan siten, että joukon X mille tahansa alkiolle a, b, c seuraavat aksioomat, joita kutsutaan Fréchet'n aksioomit, pidä :

1) lisäksi tasa-arvo täyttyy silloin ja vain, jos alkiot a ja b ovat yhtä suuret; $\rho (a;b)\geq 0$

2) ; $\rho (a;b)=\rho (b;a)$

3) . $\rho (a;b)\leq \rho (a;c)+\rho (c;b)$

Kolmannelle aksioomille erikoistapaus on kolmio-epäyhtälö .

Etäisyys reaalilukujen joukossa Mittareiden esittely

Kaikkien reaalilukujen joukossa matemaatikot pitävät etäisyyttä luvusta a numeroon b numerona . $|ab|$

On helppo nähdä, että reaalilukujen joukko tietyllä metriikalla on metriavaruus.

Todiste

Ensimmäinen ehto täyttyy, koska minkä tahansa määritelmän reaaliluvun moduuli on ei-negatiivinen luku, lisäksi luvun moduuli on nolla silloin ja vain, jos moduulin alla oleva lauseke on yhtä suuri kuin nolla, mistä jos yhtäläisyys täyttyy, niin luvut ovat yhtä suuret.

Toinen ominaisuus on tosi, koska lukumoduulin ominaisuuksista: . $|ab|=|ba|$

Kolmas ominaisuus pätee, koska ominaisuus itsessään on ekvivalentti , mutta , ja summan moduuli ei aina ylitä moduulien summaa. $|ab|\leq |ac|+|cb|$ $(ac)+(cb)=ab$

Etäisyys reaalilukuparien joukossa

Reaalilukuparien joukon (ja graafisessa tulkinnassa - tason kaikkien pisteiden joukossa) tärkeimmistä mittareista erotetaan kaksi: Descartes - metriikka ja Euklidisen metriikka .

Descartesin metriikka Mittareiden esittely

Reaalilukuparien joukolle Descartes-metriikka on annettu:

$\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|$ .

Varmistetaan, että reaalilukuparien (R²) joukko, jossa on esitelty Descartes-metriikka, on metriavaruus.

Todiste

Ensimmäinen ominaisuus ilmeisesti pätee, koska moduulien summa, joista jokainen on ei-negatiivinen luku, on myös ei-negatiivinen luku. Lisäksi yhtäläisyys täyttyy silloin ja vain, jos molemmat moduulin alla olevat lausekkeet ovat yhtä suuret kuin nolla, mutta silloin myös joukon tarkastelut alkioparit ovat yhtä suuret.

Toinen ominaisuus on tyytyväinen, koska . $\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|=|ca|+|db|=\rho ((c;d);(a;b))$

Todistetaan kolmas ominaisuus:

Olkoon kolme reaalilukuparia, (a; b), (c; d), (e; f). Sitten vaadittu epäyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

$|ac|+|bd|\leq |ax|+|by|+|xc|+|yd|$ . Tämä epäyhtälö on totta, mikä seuraa kahden aiemmin todistetun epäyhtälön yhteenlaskemisesta:

$|ac|\leq |ax|+|xc|$ ja . $|bd|\leq |by|+|yd|$

Eukleideen metriikka Mittareiden esittely

Reaalilukuparien joukolle annetaan euklidinen metriikka:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))))$ .

Varmistetaan, että joukko R², jossa on esitelty euklidinen metriikka, on metriavaruus.

Todiste

Ensimmäinen ominaisuus pätee, koska ei-negatiivisen luvun aritmeettinen juuri on aina ei-negatiivinen. Jos toisaalta yhtäläisyys nollaan täyttyy, niin molemmat lausekkeet neliöitynä ovat yhtä suuria kuin nolla, jolloin vaadittu on ilmeinen.

Toinen ominaisuus on tyytyväinen, koska . $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}={\sqrt {(ca)^{ 2}+(db)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$

Todistetaan kolmas ominaisuus:

Olkoon kolme reaalilukuparia, (a; b), (c; d), (e; f). Sitten vaadittu epäyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

${\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2}}}\leq {\sqrt {(ae)^{2}+(bf)^{2}}}+{\ sqrt {(ec)^{2}+(fd)^{2}}}$ . Tämän lausekkeen neliöinnin ja muuntamisen jälkeen päädymme seuraavaan epäyhtälöön:

$(ae)(ec)+(bf)(fd)\leq {\sqrt {((ae)^{2}+(bf)^{2})((ec)^{2}+(fd) )^{2})}}$ , mikä on totta, mikä seuraa Cauchyn-Bunyakovsky-epäyhtälöstä (asianmukaisella lukuerojen muutoksella).

Etäisyys geometriassa

Geometriassa kuvioiden välinen etäisyys on ensimmäiseen kuvioon kuuluvan pisteen ja toiseen kuvioon kuuluvan pisteen välisen janan pienin mahdollinen pituus.

Etäisyys tekniikassa

Kohteiden välinen etäisyys on kaksi kohdetta yhdistävän suoran janan pituus . Etäisyys tässä mielessä on fyysinen suure , jolla on pituusmitta, etäisyyden arvo ilmaistaan pituusyksiköissä.

Etäisyys fysiikassa

Etäisyys
s
Yksiköt
SI	m
GHS	cm

Fysiikassa etäisyys mitataan pituusyksiköissä , joka useimmissa mittausjärjestelmissä on yksi perusmittayksiköistä . Kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) pituusyksikkö on metri . Etäisyyttä kutsutaan myös kohteen kulkeman reitin pituudeksi. Tässä tapauksessa etäisyyden derivaatta (sädevektori) ajan suhteen on nopeus .

Muut käyttötarkoitukset

Proksemiikassa etäisyyden käsitettä käytetään kuvaamaan henkilön henkilökohtaista tilaa.

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Zenith distance // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.