Gamma-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Gammafunktio on matemaattinen funktio . Sen esitteli Leonhard Euler , ja gammafunktio on nimetty Legendrelle [1] .

Gammafunktio on erittäin laajalti tieteessä käytössä. Sen tärkeimpiä sovellusalueita ovat matemaattinen analyysi , todennäköisyysteoria , kombinatoriikka , tilastotiede , atomifysiikka , astrofysiikka , hydrodynamiikka , seismologia ja taloustiede . Erityisesti gamma-funktiota käytetään yleistämään faktoriaalin käsite todellisten ja kompleksisten argumenttien arvojen joukoiksi .

Määritelmät

Integraalimäärittely

Jos kompleksiluvun reaaliosa on positiivinen, niin gammafunktio määritellään absoluuttisen konvergentin integraalin kautta $z$

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0

Legendre johti tämän määritelmän Eulerin alkuperäisestä määritelmästä (1730)

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{{z-1}}\,dx

muuttujan muutoksen kautta , ja nykyään se on Legendren määritelmä, joka tunnetaan klassisena gammafunktion määritelmänä. Integroimalla osittain klassinen määritelmä, on helppo nähdä, että . ${\näyttötyyli x=e^{-t))$ $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

Gammafunktion arvojen likimääräiseen laskemiseen on kätevämpi kolmas kaava, joka saadaan myös Eulerin määritelmästä soveltamalla tasa-arvoa ja muuttamalla muuttujaa : $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$ $x=y^{2}$

\Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z} \,dy

Tämän kaavan integraali konvergoi arvoon , vaikka sitä käytetään yleensä argumentin positiivisille reaaliarvoille (noin 1 arvot ovat suositeltavia). Kun kyseessä on todellinen argumentti, integrandilla on yksi piste - epäjatkuva epäjatkuvuus kohdassa , ja jos sitä laajennetaan tässä kohdassa arvolla , siitä tulee jatkuva koko välissä . Siten integraali on ominaisarvo, mikä yksinkertaistaa numeerista integrointia . $\mathrm {Re} (z)>-1$ $z>0$ $y = 0$ $0$ $[0; yksi]$

Alkuperäiselle kaavalle on suora analyyttinen jatko koko kompleksitasolle lukuun ottamatta kokonaislukuja, joita kutsutaan Riemann- Hankel - integraaliksi:

\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{ -t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .

Tässä ääriviiva on mikä tahansa kompleksitason ääriviiva, joka kiertää pisteen vastapäivään ja jonka päät menevät äärettömyyteen positiivista reaaliakselia pitkin. $L$ $t = 0$

Seuraavat lausekkeet ovat vaihtoehtoisia määritelmiä gammafunktiolle.

Gaussin määritelmä

Se pätee kaikkiin kompleksilukuihin lukuun ottamatta nollaa ja negatiivisia kokonaislukuja. $z$

\Gamma (z)=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n-1)}},\quad z\in {\mathbb {C}}\setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.

Eulerin määritelmä

\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n} }\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n)))),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,- 1,-2,\ldots\}.

Määritelmä Weierstrassin mukaan

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{- 1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

missä on Euler-Mascheronin vakio [1] . $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\noin 0,57722$

Huomaa: joskus käytetään vaihtoehtoa, ns. pi-funktiota , joka on faktoraalin yleistys ja liittyy gammafunktioon suhteella . Tätä funktiota (eikä -funktiota) käytti Gauss, Riemann ja monet muut 1800-luvun saksalaiset matemaatikot. $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\Gamma$

Ominaisuudet

Jokaiselle positiiviselle n:lle seuraava on totta:

\Gamma (n+1)=n!

Gammafunktion pääominaisuus on sen rekursiivinen yhtälö

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),

joka kiinteässä alkuehdossa määrittelee yksiselitteisesti logaritmisesti kuperan ratkaisun eli itse gammafunktion ( yleisyyslause ) [2] .

Gammafunktiolle Eulerin komplementtikaava pätee:

\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}

Gaussin kertolasku on myös voimassa:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^ {{{\frac {1}{2}}-nz}}\cdot (2\pi )^{{{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (nz),

Legendre sai tämän kaavan erikoistapauksen arvolle n=2:

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\ Gamma(2z).

Gammafunktiolla ei ole nollia koko kompleksitasossa. on meromorfinen kompleksitasolla ja sen pisteissä on yksinkertaisia napoja [1] $\Gamma(z)$ $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Gammafunktiossa on ensimmäisen kertaluvun napa jokaiselle luonnolliselle ja nollalle; vähennys tässä vaiheessa annetaan seuraavasti: $z=-n$ $n$

\operaattorinimi{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}

Hyödyllinen ominaisuus, joka voidaan saada rajan määritelmästä:

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})

Gammafunktio on differentioitavissa äärettömän monta kertaa, ja , jossa , kutsutaan usein "psy-funktioksi" tai digammafunktioksi . Gammafunktio ja beetafunktio liittyvät toisiinsa seuraavalla suhteella: $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ $\psi(x)$

\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Gammafunktion logaritmi

Useista syistä, gammafunktion ohella, gammafunktion logaritmia pidetään usein - digammafunktion antiderivaattana . Siinä on seuraavat kiinteät esitykset:

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\oikea)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[{\frac {1}{e^{x }-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{{-xz}}}{x}}\,dx \,,\qquad \operaattorin nimi {Re}{z}>0

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\oikea)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,\operaattorinimi {arctg}(x /z)\,}{e^{{2\pi x}}-1}}\,dx\,,\qquad \operaattorinimi {Re}{z}>0

antoi Jacques Binet vuonna 1839 (näitä kaavoja kutsutaan usein ensimmäiseksi ja toiseksi Binet-kaavaksi gammafunktion logaritmille) [3] . Jonkin verran erilaisia integraalikaavoja gammafunktion logaritmille esiintyi myös Malmstenin , Lerchin ja useiden muiden töissä. Siten Malmsten sai samanlaisen kaavan kuin Binet'n ensimmäinen kaava [3]

\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[z-1-{\frac {1-e^{{-(z- 1)x}}}{1-e^{{-x}}}\oikea]{\frac {e^{{-x}}}{x}}\,dx\,,\qquad \operaattorinnimi { Re}{z}>0

ja Lerkh osoittaa, että kaikki muodon integraalit

\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi -1\,}{e^{ {4\pi x}}-2e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi +1}}\operaattorin nimi {arctg}{\frac {u}{x}}\;dx\,,\ qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u

pelkistää myös gammafunktion logaritmeihin. Erityisesti kaava, joka on samanlainen kuin Binet'n toinen kaava, jossa on "konjugaatti"-nimittäjä, on seuraavanlainen:

\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z- {{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\!\right\}+{{\frac {1}{2}}}\ln 2\pi -\,2\!\int \ rajat _{0}^{{\infty }}\!{\frac {\operaattorinimi {arctg}{\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2)){\big )}{\big ]}}{e^{{2\pi x}}+1}}\,dx,\qquad \operaattorinimi {Re}{z}>{\frac {1}{2}}

(katso harjoitus 40 kohdasta [4] )

Lisäksi Malmsten sai myös joukon integraalikaavoja gammafunktion logaritmille, jotka sisältävät hyperbolisia funktioita , joiden logaritmi on integrandissa (tai vastaavasti logaritmin logaritmin polynomien kanssa). Erityisesti,

\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\ ,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0} ^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operaattorin nimi {ch}{x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\, ,\qquad 0<\operaattorin nimi {Re}z<1

(katso harjoitus 2, 29-h, 30 in [4] )

Jaroslav Blagushin osoitti, että rationaaliselle argumentille , jossa ja ovat positiivisia kokonaislukuja, jotka eivät ylitä , seuraava esitys pätee: $z=k/n$ $k$ $n$ $k$ $n$

\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{ \frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+

+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{{r=1}}^{{n-1}}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\ cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{{-nx}}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operaattorinimi {ch}{ x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}

(katso liite C [5] ja myös harjoitukset 60 ja 58 [4] )

Lisäksi ja yleisemmissä tapauksissa integraalit, jotka sisältävät hyperbolisia funktioita, joiden integrandissa on logaritmi (tai arktangentti), pelkistyvät usein gammafunktion logaritmeiksi ja sen johdannaisiksi , mukaan lukien kompleksinen argumentti, katso esim. esim. 4-b, 7-a ja 13-b kohdassa [4] .

Gammafunktion logaritmi liittyy myös läheisesti yleistyneen zeeta-funktion analyyttiseen jatkoon.

\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi

Tämä tärkein Lerkhin johtama suhde mahdollistaa suuren joukon integraaliesityksiä gammafunktion logaritmille yleisen Zeta-funktion tunnettujen kaavojen avulla .

Fourier -sarja gammafunktion logaritmille on seuraavanlainen

\ln \Gamma (x)=\vasen({\frac {1}{2}}-x\oikea)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1 }{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx \cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1

Tämä kaava liitetään yleensä Ernst Kummerin ansioksi , joka johti sen vuonna 1847 (arvovaltaisessa kirjallisuudessa [3] [6] [7] tätä sarjaa kutsutaan jopa Kummer-sarjaksi gammafunktion logaritmille). Äskettäin on kuitenkin havaittu, että Carl Malmsten sai tämän kaavan jo vuonna 1842 (katso Yaroslav Blagushin [4] [8] ).

Fourier-sarjan laajennusten lisäksi sarjassa on myös muita laajennuksia. Yksi tunnetuimmista on Stirling -sarja.

\ln \Gamma (z)=\vasen(z-{\frac {1}{\,2\,}}\oikea)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,} }\ln 2\pi +\sum _{{n=1}}^{N}{\frac {B_{{2n}}}{2n(2n-1)z^{{2n-1}}}} +O(z^{{-2N-1)))\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2))

Standardiversiossaan

\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)

jossa kertoimet tarkoittavat Bernoullin lukuja . $B_{2n}$

Weierstrassin gammafunktion määritelmästä seuraa toinen tärkeä esitys [9]

\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{{n=1}}^{\infty }\vasen[{\frac {z}{n}}-\ln \!\ vasen(1+{\frac {z}{n}}\oikea)\oikea]

Yksityiset arvot

Kokonaisluvun ja puolikokonaisluvun argumenttien gammafunktio ilmaistaan perusfunktioina . Erityisesti

\Gamma(1)=0!=1

\Gamma(2)=1!=1

\Gamma(3)=2!=2

\Gamma(4)=3!=6

\Gamma(5)=4!=24

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

Gammafunktion arvon etsiminen pisteistä 1/4 ja 1/3 oli Eulerin, Gaussin ja Legendren yksityiskohtaisen tutkimuksen kohteena, mutta he eivät pystyneet laskemaan näitä arvoja suljetussa muodossa [1] .

On olemassa seuraavat esitykset suljetussa muodossa Γ(1/4)

\Gamma ({\tfrac 14})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{({\frac {3}{2))))}{{\mathrm {AGM))({\sqrt 2},1)}}}

\Gamma ({\tfrac 14})=(2\pi )^{({\frac {3}{4))))\prod _{{k=1))^{\infty }{\mathrm {th }}\left({\frac {\pi k}{2}}\oikea)

\Gamma ({\tfrac 14})=A^{3}e^{{-{\frac {G}{\pi }}}}{\sqrt {\pi }}2^{{{\frac {1 }{6}}}}\prod _{{k=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{{k(-1)^{ k}}}

missä AGM on aritmeettis-geometrinen keskiarvofunktio , G on katalaanivakio ja A on Glaisher-Kinkelin-vakio .

Yleistykset

Klassisessa gammafunktion integraalimääritelmässä integroinnin rajat ovat kiinteät. Myös epätäydellinen gammafunktio otetaan huomioon , joka määritellään samanlaisella integraalilla, jolla on muuttuva ylempi tai alempi integrointiraja. Ero tehdään ylemmän epätäydellisen gammafunktion välillä, jota usein kutsutaan kahden argumentin gammafunktioksi:

\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

ja alempi epätäydellinen gammafunktio, joka on samalla tavoin merkitty pienellä kirjaimella "gamma":

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

Joskus epätäydellinen gammafunktio määritellään [10] :

I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)))\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t ^{a-1}\,dt}

Integraalien laskenta

Tärkeä gamma-funktion sovellus on seuraavan muodon integraalien pelkistys siihen, missä ovat vakioparametrit $a,\alpha ,\beta$

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

Todiste

Parametrin asettamisen jälkeen:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\int _{0}^{\infty }\left(a^{1/\beta }x\right)^{\alpha }\exp {\Big [}-(a^{1/\ beta }x)^{\beta }{\Big ]}\,d\left(a^{1/\beta }x\right)

Differentiaaliset injektiot:

a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta ))}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ={\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha +1-\beta }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ^{\beta }

Ja muuttujan vaihdot:

{\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\varkappa ^{{\frac {\alpha +1}{\beta }}-1}\exp(-\varkappa )\,d\varkappa =a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\ frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

■

Erityisesti Gaussin tyyppisille integraaleille, joita tavataan laajalti fysiikan sovelluksissa:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)

Ja Eulerin integraalit:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha + 1\oikea)

Katso myös

Luettelo Leonhard Eulerin mukaan nimetyistä esineistä
K-funktio
Barnes G-toiminto
beta-toiminto
Gamma-jakauma
Epätäydellinen gammatoiminto

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Davis, PJ Leonhard Eulerin integraali: Gammafunktion historiallinen profiili // American Mathematical Monthly : Journal . - 1959. - Voi. 66 , nro. 10 . - s. 849-869 . - doi : 10.2307/2309786 . — .
↑ Kingman, JFC Positiivisten matriisien konveksisuusominaisuus // The Quarterly Journal of Mathematics : päiväkirja. - 1961. - Voi. 12 , ei. 1 . - s. 283-284 . - doi : 10.1093/qmath/12.1.283 . - .
↑ 1 2 3 Harry Bateman ja Arthur Erdélyi Korkeammat transsendenttiset toiminnot [3 osassa] . Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
↑ 1 2 3 4 5 Iaroslav V. Blagouchine Malmstenin integraalien uudelleenlöytö, niiden arviointi ääriviivaintegrointimenetelmillä ja joitakin asiaan liittyviä tuloksia. The Ramanujan Journal, voi. 35, ei. 1, s. 21-110, 2014. Arkistoitu 12. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa PDF Arkistoitu 7. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Iaroslav V. Blagouchine Lause ensimmäisen yleistetyn Stieltjes-vakion suljetun muodon arvioimiseksi rationaalisilla argumenteilla ja joitain niihin liittyviä summauksia Journal of Number Theory (Elsevier), voi. 148, s. 537-592, 2015. . Haettu 1. helmikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2015. (määrätön)
↑ ET Whittaker ja GN Watson Modernin analyysin kurssi. Johdatus äärettömien prosessien ja analyyttisten toimintojen yleiseen teoriaan, jossa selvitetään tärkeimmät transsendenttiset toiminnot (kolmas painos). Cambridge University Pressissä, 1920.
↑ HM Srivastava ja J. Choi -sarjat liittyvät Zetaan ja siihen liittyviin toimintoihin . Kluwer Academic Publishers. Hollanti, 2001
↑ Blagouchine, Iaroslav V. Erratum ja lisäys "Malmstenin integraalien uudelleen löytäminen, niiden arviointi ääriviivaintegrointimenetelmillä ja joitain niihin liittyviä tuloksia" // Ramanujan J. : päiväkirja. - 2016. - Vol. 42 , nro. 3 . - s. 777-781 . - doi : 10.1007/s11139-015-9763-z .
↑ D.S. Kuznetsov. Erikoisominaisuudet (2. painos). Korkeakoulu, Moskova, 1965.
↑ Epätäydellinen gammafunktio - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista

Kirjallisuus ja lähteet

V. Ya. Arsenin. Matemaattinen fysiikka: perusyhtälöt ja erikoisfunktiot , luku X, ss. 225-233. Nauka, Moskova , 1966.
M. A. Evgrafov. Analyyttiset funktiot , luku VI, ss. 267-273. Nauka, Moskova, 1968.
M. A. Evgrafov et ai. Kokoelma ongelmia analyyttisten funktioiden teoriassa , s. 307-316. Nauka, Moskova, 1969.
G. M. Fikhtengolts. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi (7. painos), luku XIV, ss. 750-794. Nauka, Moskova, 1969.
A. I. Markushevich. Analyyttisten funktioiden teoria (2. painos), osa 2, ss. 303-324. Nauka, Moskova, 1968.
N. N. Lebedev. Erikoistoiminnot ja niiden sovellukset (2. painos), ch. I, ss. 11-27. FM, Moskova, 1963.
A. F. Nikiforov ja V. B. Uvarov. Matemaattisen fysiikan erikoisfunktiot, ss. 263-268. Nauka, Moskova, 1978.
Pagurova V. I. Epätäydellisten gammafunktioiden taulukot. (Toimittaja Ditkin V.A.). Moskova, Neuvostoliiton tiedeakatemian atk-keskuksen kustantamo, 1963. 236 s. [yksi]
R. Campbell. Les integrales eulériennes et leurs applications , Dunod, Paris, 1966.
M. Godefroy. Lafonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie , Gauthier-Villars, Paris, 1901.
E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1931.
N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1906.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Brockhaus ja Efron Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	NDL : 00562231

↑ L. N. Bolshev, "V. I. Pagurova. Taulukot epätäydellisistä gammafunktioista. Review”, Zh. Vychisl. matematiikka. ja matto. Fiz., 4:5 (1964), 977–978// http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=9070&option_lang=rus Arkistoitu 9. elokuuta 2021 Wayback Machinessa