Gamma-jakauma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19.9.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Gamma-jakauma
Todennäköisyystiheys
jakelutoiminto
Nimitys	$\Gamma (k,\theta)$ tai [1] $\Gamma (\alpha ,\beta )$
Vaihtoehdot	$k>0,\;\theta >0$
Kuljettaja	$x\in (0,\infty )$
Todennäköisyystiheys	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k))}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta ))))$
jakelutoiminto	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Odotettu arvo	$k\theta$
Mediaani	Ei selkeää sulkemisilmaisua
Muoti	${\näyttötyyli (k-1)\theta }$ klo $k\geq 1$
Dispersio	$k\theta ^{2}$
Epäsymmetriakerroin	${\frac {2}{{\sqrt {k))))$
Kurtoosikerroin	${\frac {6}{k))$
Differentiaalinen entropia	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned))$
Hetkien funktion luominen	${\näyttötyyli (1-\theta t)^{-k))$ klo $t<{\frac {1}{\theta ))$
ominaista toimintoa	$(1-\theta it)^{-k}$

Todennäköisyysteorian gamma-jakauma on kaksiparametrinen ehdottoman jatkuvien jakaumien perhe . Jos parametri saa kokonaisluvun arvon, niin tällaista gamma-jakaumaa kutsutaan myös Erlang - jakaumaksi . $k$

Määritelmä

Anna satunnaismuuttujan jakauma todennäköisyystiheydellä , jolla on muoto $X$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{{k-1}}{\frac {e^{{-x/\theta }}}{\theta ^{k} \,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matriisi}}\oikea.,

missä on Eulerin gammafunktio .

\gamma (k)

Sitten satunnaismuuttujan sanotaan olevan gamma-jakauma positiivisilla parametreilla ja . He kirjoittavat . $X$ $\theta$ $k$ $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$

Kommentti. Joskus käytetään erilaista gamma-jakaumien perheen parametrointia. Tai syötä kolmas parametri - shift.

Moments

Satunnaismuuttujan , jolla on gamma-jakauma, matemaattinen odotus ja varianssi on muotoa $X$

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=k{\theta ))

\mathbb {D} [X]=k{\theta ^{2))

Gamma-jakauman ominaisuudet

Jos ovat riippumattomia satunnaismuuttujia siten, että , Sitten $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \ oikein)

Jos , ja on mielivaltainen vakio, niin $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$ $a>0$

aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )

Gamma-jakauma on äärettömästi jaollinen .

Suhde muihin jakeluihin

Gamma-jakauma on tyypin III Pearson-jakauma [2] .
Eksponentiaalinen jakauma on gamma-jakauman erikoistapaus:

\Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )

Jos ovat riippumattomia eksponentiaalisia satunnaismuuttujia siten, että , Sitten $X_{1},\ldots,X_{k}$ $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda ),\;i=1,\ldots ,k$

Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )

Chi-neliöjakauma on gamma-jakauman erikoistapaus:

\Gamma \left({\frac {n}{2)),2\right)\equiv \chi ^{2}(n)

Keskirajalauseen mukaan gamma - jakauma voidaan yleisesti approksimoida normaalijakaumalla : $k$

\Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})

osoitteessa .

k\to\infty

Jos ovat riippumattomia satunnaismuuttujia siten, että , Sitten $X_{1}, X_{2}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim {\mathrm {\mathrm{B} }}(k_{1}, k_{2})

Rayleigh-jakauma pelkistetään gamma-jakaumaan muuttujan muutoksella.
Tavallinen Weibull-jakauma pelkistetään gamma-jakaumaksi muuttujan muutoksella.
Nakagami-jakauma pelkistyy muuttujan muutoksella gamma-jakaumaan.
Gamma-jakauman luonnollinen yleistys on katkaistu gamma-jakauma.

Gamma-arvojen simulointi

Ottaen huomioon yllä mainitun parametrin θ skaalausominaisuuden , riittää simuloida gamma-arvo θ = 1:lle. Siirtyminen muihin parametrin arvoihin tapahtuu yksinkertaisella kertolaskulla.

Käyttämällä sitä tosiasiaa, että jakauma osuu yhteen eksponentiaalisen jakauman kanssa, saadaan, että jos U on satunnaismuuttuja , joka on jakautunut tasaisesti aikavälille (0, 1], niin . $\gamma(1,1)$ ${-\ln U}\sim \Gamma(1,1)$

Nyt käyttämällä k -sum ominaisuutta yleistämme tämän tuloksen:

\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),

jossa U i ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka jakautuvat tasaisesti välillä (0, 1]).

Jäljelle jää simuloida gamma-arvo arvolle 0 < k < 1 ja käyttää jälleen k -summausominaisuutta. Tämä on vaikein osa.

Alla on algoritmi ilman todisteita. Se on esimerkki varianssinäytteenotosta .

Aseta m yhtä kuin 1.
Luovat ja ovat riippumattomia satunnaismuuttujia tasaisesti jakautuneina aikavälille (0, 1]). $V_{{2m-1}}$ $V_{{2m}}$
Jos , missä , siirry vaiheeseen 4, muussa tapauksessa siirry vaiheeseen 5. $V_{{2m-1}}\leq v_{0}$ $v_{0}={\frac e{e+\delta }}$
Laita . Siirry vaiheeseen 6. $\xi _{m}=\left({\frac {V_{{2m-1}}}{v_{0}}}\oikea)^{{{\frac 1\delta }}},\ \eta _ {m}=V_{{2m}}\xi _{m}^{{\delta -1}}$
Laita . $\xi _{m}=1-\ln {{\frac {V_{{2m-1}}-v_{0}}{1-v_{0}}}},\ \eta _{m}=V_ {{2m}}e^{{-\xi _{m}}}$
Jos , lisää m :ää yhdellä ja palaa vaiheeseen 2. $\eta _{m}>\xi _{m}^{{\delta -1}}e^{{-\xi _{m}}}$
Hyväksy käyttöön . $\xi =\xi _{m}$ $\Gamma (\delta ,1)$

Yhteenvetona:

\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\oikea)\sim \Gamma (k,\theta ),

missä [ k ] on k:n kokonaislukuosa , ja ξ generoidaan yllä olevalla algoritmilla arvolle δ = { k } ( k :n murto-osa ); U i ja V l jakautuvat kuten edellä ja ovat pareittain riippumattomia.

Muistiinpanot

↑ Rodionov, 2015 , s. 29.
↑ Korolyuk, 1985 , s. 134.

Kirjallisuus

Lagutin M.B. Visuaalinen matemaattinen tilasto. - M .: Binom, 2009. - 472 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. Todennäköisyysteorian perusteet. - M. : MIPT, 2015. - 82 s.
Zhukovsky M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Johdatus matemaattiseen tilastoon. - M. : MIPT, 2017. - 109 s.
Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M .: Nauka, 1985. - 640 s.

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula