Satunnaismuuttujan varianssi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Satunnaismuuttujan dispersio on mitta satunnaismuuttujan arvojen hajoamisesta suhteessa sen matemaattiseen odotukseen . Nimetty venäläisessä kirjallisuudessa ja ( englanninkielisessä varianssissa ) ulkomaisessa kirjallisuudessa. Tilastoissa käytetään usein nimitystä tai . $D[X]$ $\operaattorinimi {Var}(X)$ $\sigma _{X}^{2}$ $\displaystyle \sigma ^{2}$

Varianssin neliöjuuria, yhtä suuri kuin , kutsutaan keskihajonnaksi , keskihajonnaksi tai vakiolevitykseksi. Vakiopoikkeama mitataan samoissa yksiköissä kuin itse satunnaismuuttuja, ja varianssi mitataan kyseisen yksikön neliöissä. $\displaystyle \sigma$

Chebyshevin epäyhtälöstä seuraa , että todennäköisyys , että satunnaismuuttujan arvot poikkeavat tämän satunnaismuuttujan matemaattisesta odotuksesta enemmän kuin keskihajonnan verran, on pienempi kuin . Erityistapauksissa pisteitä voidaan korottaa. Joten esimerkiksi vähintään 95 prosentissa tapauksista normaalijakauman satunnaismuuttujan arvot poistetaan sen keskiarvosta enintään kahdella standardipoikkeamalla ja noin 99,7 prosentissa - enintään kolmella. $k$ $1/k^{2}$

Määritelmä

Satunnaismuuttujan dispersiota kutsutaan satunnaismuuttujan poikkeaman neliön matemaattiseksi odotukseksi sen matemaattisesta odotuksestaan.

Antaa olla jossain todennäköisyysavaruudessa määritelty satunnaismuuttuja . Sitten dispersio on $X$

D[X]=\mathbb {E} \left[{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}\right],

jossa symboli tarkoittaa odotusarvoa [1] [2] . ${\mathbb {E}}$

Muistiinpanot

Jos satunnaismuuttuja on diskreetti , niin $X$ $D[X]=\sum _{i=1}^{n}{p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} [X])^{2)),$ $D[X]={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{p_{i}p_{j }(x_{i}-x_{j})^{2}}=\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=i+1}^{n}{p_{i}p_ {j}(x_{i}-x_{j})^{2}},$

missä on satunnaismuuttujan -:s arvo, on todennäköisyys , että satunnaismuuttuja saa arvon , on satunnaismuuttujan saamien arvojen lukumäärä. $x_{i}$ $i$ $p_{i}=P(X=x_{i})$ $x_{i}$ $n$

Toista toisesta kaavasta

Antaa olla satunnaismuuttuja, joka on riippumaton, mutta jolla on sama jakauma. Sitten , , ja $Y$ $X$ $P(Y=x_{i})=p_{i}$ $\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X]$ $D[Y]=D[X]$

{\ displayStyle d [xy] = d [x]+d [y] = 2d [x]}

D[XY]=\mathbb {E} [(XY)^{2}]-\mathbb {E} [XY]^{2}=\mathbb {E} [(XY)^{2}] =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}

Vertaamalla näitä kahta kaavaa saadaan haluttu yhtäläisyys.

Jos satunnaismuuttuja on jatkuva , niin: $X$ ${\ displayStyle d [x] = \ int \ rajat _ {-\ infty}^{+\ infty} {(x- \ mathbb {e} [x])^{2} f (x) dx)))$ ${\ displayStyle d [x] = {\ frac {1} {2}} \ int \ rajat _ {-\ infty}^{+\ infty} \ int \ rajat _ {-\ infty}^{+\ infty} (x_ {2} -x_ {1})^{2} {f (x_ {1}) f (x_ {2}) dx_ {1} dx_ {2}}}$ ,

missä on satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys . $f(x)$

Matemaattisen odotuksen lineaarisuuden vuoksi kaava on voimassa: ${\ displayStyle d [x] = \ mathbb {e} [x^{2}]-\ vasen (\ Mathbb {e} [x] \ oikea)^{2))$
Dispersio on satunnaismuuttujan toinen keskusmomentti .
Hajotus voi olla ääretön.
Varianssi voidaan laskea käyttämällä momenttia generoivaa funktiota : $U(t)$ ${\ displayStyle d [x] = \ Mathbb {e} [x^{2}]-\ vasen (\ Mathbb {e} [x] \ oikea)^{2} = u '' (0)-\ vasen (vasen ( U '(0) \ oikea)^{2}.}$
Kokonaisluvun satunnaismuuttujan varianssi voidaan laskea sekvenssigenerointifunktiolla .
Kaava, jolla lasketaan satunnaismuuttujan varianssin puolueellinen arvio tämän satunnaismuuttujan toteutumissarjassa: on muotoa: $X$ $X_{1}...X_{n}$ ${\overline {S}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X }})^{2}$ , missä on otoksen keskiarvo (harjoittamaton arvio ). ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ $\mathbb {E} [X]$

Jotta satunnaismuuttujan varianssista saadaan puolueeton arvio, arvo on kerrottava arvolla . Puolueeton arvio on muotoa:

{\ DisplayStyle {\ Overline {S}}^{2}}

{\ frac {n} {n-1))

{\ displayStyle {\ widetilde {s}}^{2} = {\ frac {1} {n-1}} \ summa \ rajat _ {i = 1}^{n} (x_ {i}-{\ bar {X}})^{2}}

Ominaisuudet

Minkä tahansa satunnaismuuttujan varianssi ei ole negatiivinen: $D[X]\geqslant 0;$
Jos satunnaismuuttujan varianssi on äärellinen, niin myös sen matemaattinen odotus on äärellinen;
Jos satunnaismuuttuja on yhtä suuri kuin vakio, niin sen varianssi on nolla: Päinvastoin on myös totta: jos sitten melkein kaikkialla . $D[a]=0.$ $D [x] = 0,$ ${\ DisplayStyle X = \ Mathbb {e} [x]}$
Kahden satunnaismuuttujan summan varianssi on: $D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov))(X,Y)$ , missä on niiden kovarianssi . ${\ displayStyle {\ teksti {cov}} (x, y)}$
Useiden satunnaismuuttujien mielivaltaisen lineaarisen yhdistelmän varianssille yhtälö tapahtuu: $D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2 }D[X_{i}]+2\summa _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov))(X_{i},X_{j })$ , missä . $c_ {i} \ in \ mathbb {r}$
Erityisesti kaikille riippumattomille tai korreloimattomille satunnaismuuttujille, koska niiden kovarianssit ovat nolla. $D[X_{1}+\ldots +X_{n}]=D[X_{1}]+\ldots +D[X_{n}]$
${\ displayStyle d \ vasen [ax \ oikea] = a^{2} d [x]}$
$D\left[-X\right]=D[X]$
${\ displayStyle d \ vasen [x+b \ oikea] = d [x]}$
Jos on satunnaismuuttuja alkeistapahtumien parista (satunnaismuuttuja todennäköisyysavaruuksien karteesisessa tulossa), niin ${\ displayStyle x = x (\ omega, \ tau)}$ $D_{(\omega ,\tau )}[X]=\mathbb {E} _{\omega }[D_{\tau }[X]]+D_{\omega }[\mathbb {E} _ {\tau [X]]$

Ehdollinen varianssi

Ehdollisen matemaattisen odotuksen ohella satunnaisprosessien teoria käyttää satunnaismuuttujien ehdollista varianssia . ${\ DisplayStyle \ Mathbb {e} [x | y]}$ ${\ displayStyle d [x | y]}$

Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi suhteessa satunnaismuuttujaan on satunnaismuuttuja $X$ $Y$

D[X|Y]=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X|Y])^{2}|Y]=\mathbb {E} [X^{2}| Y]-\mathbb {E} [X|Y]^{2}

Sen ominaisuudet:

Ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on Y-mittaava satunnaismuuttuja (eli se on mitattavissa satunnaismuuttujan generoiman sigma-algebran suhteen ); $Y$ $Y$
Ehdollinen varianssi ei ole negatiivinen: ; $D[X|Y]\geqslant 0$
Ehdollinen varianssi on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos melkein varmasti, toisin sanoen vain jos se tapahtuu melkein varmasti jollain Y-mitattavissa olevalla määrällä (nimittäin ); ${\ displayStyle d [x | y]}$ $X=\mathbb {E} [X|Y]$ $X$ ${\ DisplayStyle \ Mathbb {e} [x | y]}$
Tavallinen varianssi voidaan esittää myös ehdollisena: ; ${\ displayStyle d [x] = d [x | 1]}$
Jos suuret ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttuja on vakio, joka on yhtä suuri kuin . $X$ $Y$ ${\ displayStyle d [x | y]}$ $D[X]$
Jos on kaksi numeerista satunnaismuuttujaa, niin $X,Y$ $D[X]=\mathbb {E} [D[X|Y]]+D[\mathbb {E} [X|Y]],$

Erityisesti siitä seuraa, että ehdollisen odotuksen varianssi on aina pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen satunnaismuuttujan varianssi .

{\ DisplayStyle \ Mathbb {e} [x | y]}

X

Esimerkki

Olkoon satunnaismuuttujalla jatkuva jatkuva yhtenäinen jakauma , ts. Sen todennäköisyystiheys saadaan tasa -arvolla $\ DisplayStyle X$ $\displaystyle [0,1]$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\ oikein.

Silloin satunnaismuuttujan neliön matemaattinen odotus on

\mathbb {E} \left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac { x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}}

ja satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on

\mathbb {E} \left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2 }}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}

Satunnaismuuttujan varianssi on

D[X]=\mathbb {E} \left[X^{2}\right]-(\mathbb {E} [X])^{2}={\frac {1}{3)) -\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kolmogorov A. N. Luku IV. Matemaattiset odotukset; §3. Chebyshevin epätasa -arvo // todennäköisyysteorian peruskäsitteet. - 2. painos - m .: Nauka, 1974. - S. 63-65. – 120 s.
↑ Borovkov A. A. Luku 4. Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet; §5. Dispersio // Todennäköisyysteoria. - 5. painos - M .: Librokom, 2009. - S. 93-94. — 656 s.

Kirjallisuus

Gursky D., Turbina E. Mathcad opiskelijoille ja koululaisille. Suosittu opetusohjelma . - Pietari. : Peter, 2005. - S. 340. - ISBN 5469005259 .
Orlov AI Satunnaismuuttujan dispersio // Tapauksen matematiikka: Todennäköisyys ja tilastot - perustiedot. - M .: MZ-Press, 2004.