Satunnainen arvo

Satunnaismuuttuja on muuttuja, jonka arvot edustavat jonkin satunnaisilmiön tai kokeen numeerisia tuloksia. Toisin sanoen se on satunnaisen tapahtuman tuloksen numeerinen ilmaus. Satunnaismuuttuja on yksi todennäköisyysteorian peruskäsitteitä . [1] On tapana käyttää kreikkalaista kirjainta "xi" merkitsemään satunnaismuuttujaa matematiikassa . Jos määrittelemme satunnaismuuttujan tiukemmin, se on funktio, jonka arvot ilmaisevat numeerisesti satunnaiskokeen tuloksia . Yksi tämän funktion vaatimuksista on sen mitattavuus , jonka avulla voidaan suodattaa pois tapaukset, joissa tämän funktion arvot ovat äärettömän herkkiä pienimmillekin muutoksille satunnaisen kokeen tuloksissa. Monissa käytännön tapauksissa voidaan pitää satunnaismuuttujaa mielivaltaisena funktiona kohdasta [ 2] . $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $y$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\Omega$ $\mathbb {R}$

Funktiona satunnaismuuttuja ei ole tapahtuman todennäköisyys , vaan se palauttaa tuloksen numeerisen lausekkeen . Satunnaismuuttujien tärkeitä ominaisuuksia ovat matemaattinen odotus ja varianssi [3] . $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega$

Esimerkki objekteista, jotka vaativat satunnaismuuttujien käyttöä tilansa esittämiseksi, ovat kvanttimekaniikan kuvaamat mikroskooppiset objektit . Satunnaismuuttujat kuvaavat tapahtumia, joissa perinnölliset piirteet siirtyvät emoorganismeista jälkeläisilleen (katso Mendelin lait ). Satunnaisiin tapahtumiin kuuluu atomiytimien radioaktiivinen hajoaminen . [yksi]

Matemaattisessa analyysissä ja lukuteoriassa on useita ongelmia , joiden osalta on suositeltavaa tarkastella niiden formuloinnissa mukana olevia funktioita satunnaismuuttujina, jotka on määritelty sopivissa todennäköisyysavaruuksissa [4] .

Historia

Satunnaismuuttujan roolin yhtenä todennäköisyysteorian peruskäsitteistä tunnisti ensin selvästi P. L. Chebyshev , joka perusti tällä hetkellä yleisesti hyväksytyn näkemyksen tästä käsitteestä (1867) [5] . Satunnaismuuttujan ymmärtäminen funktion yleisen käsitteen erikoistapauksena tuli paljon myöhemmin, 1900-luvun ensimmäisellä kolmanneksella. A. N. Kolmogorov (1933) kehitti ensimmäistä kertaa täydellisen formalisoidun esityksen todennäköisyysteorian perusteista [ 6] , minkä jälkeen kävi selväksi, että satunnaismuuttuja on mitattavissa oleva funktio , joka on määritelty todennäköisyysavaruudessa . Oppikirjallisuudessa tämän näkemyksen esitti johdonmukaisesti ensin W. Feller (katso esipuhe [7] , jossa esitys perustuu alkeistapahtumien tilan käsitteeseen ja korostetaan, että vain tässä tapauksessa satunnaismuuttujan esityksestä tulee mielekäs).

Määritelmä

Formaali matemaattinen määritelmä on seuraava: olkoon todennäköisyysavaruus , jolloin satunnaismuuttuja on funktio , joka on mitattavissa suhteessa ja Borelin σ-algebra on . Erillisen (muista riippumattoman) satunnaismuuttujan todennäköisyyskäyttäytymistä kuvaa täysin sen jakauma . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}$ $\mathbb {R}$

Satunnaismuuttuja voidaan määritellä muulla vastaavalla tavalla [8] . Funktiota kutsutaan satunnaismuuttujaksi, jos jollekin reaaliluvulle ja tapahtumajoukolle kuuluu . $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ $a$ $b$ $\omega$ $\xi (\omega )\in (a,b)$ ${\mathcal {F}}$

Tehtävämenetelmät

Voit asettaa satunnaismuuttujan, joka kuvaa sen kaikki todennäköisyysominaisuudet erillisenä satunnaismuuttujana, käyttämällä jakaumafunktiota , todennäköisyystiheysfunktiota ja ominaisfunktiota määrittämällä sen mahdollisten arvojen todennäköisyydet. Jakaumafunktio on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttujan arvo on pienempi kuin reaaliluku . Tästä määritelmästä seuraa, että todennäköisyys, että satunnaismuuttujan arvo osuu väliin [a, b) on yhtä suuri kuin . Jakaumafunktion käytön etuna on, että sen avulla voidaan saavuttaa yhtenäinen matemaattinen kuvaus diskreeteille, jatkuville ja diskreetti-jatkuville satunnaismuuttujille. On kuitenkin olemassa erilaisia satunnaismuuttujia, joilla on samat jakautumisfunktiot. Jos esimerkiksi satunnaismuuttuja saa arvot +1 ja −1 samalla todennäköisyydellä 1/2, niin satunnaismuuttujat ja kuvataan samalla jakaumafunktiolla F(x). $F(x)$ $x$ $F(b)-F(a)$ $\xi$ $\xi$ $\xi ^{3}$

Toinen tapa määrittää satunnaismuuttuja on satunnaismuuttujan funktionaalinen muunnos . Jos on Borel-funktio , niin se on myös satunnaismuuttuja. Jos esimerkiksi on tavallinen normaali satunnaismuuttuja , niin satunnaismuuttujan khin neliöjakauma on yksi vapausaste. Monet jakaumat, mukaan lukien Fisherin jakauma , Studentin jakaumat ovat normaalien satunnaismuuttujien funktionaalisten muunnosten jakaumia. $\xi$ $f(x)$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Jos satunnaismuuttuja on diskreetti, niin täydellinen ja yksiselitteinen matemaattinen kuvaus sen jakautumisesta määritetään osoittamalla tämän satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen todennäköisyysfunktio . Harkitse esimerkkinä binomi- ja Poisson-jakauman lakeja. $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$

Binomijakauman laki kuvaa satunnaismuuttujia, joiden arvot määrittävät "onnistumisen" ja "epäonnistumisen" määrän, kun koetta toistetaan. Jokaisessa kokeessa "onnistuminen" voi tapahtua todennäköisyydellä , "epäonnistuminen" - todennäköisyydellä . Jakaumalaki tässä tapauksessa määräytyy Bernoullin kaavan mukaan : $N$ $s$ $q = 1-p$

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{nk}

Jos tulo pysyy vakiona lähestyessään ääretöntä , binomijakauman laki konvergoi Poissonin lakiin , joka kuvataan seuraavalla kaavalla: $n$ $np$ $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

missä

symboli " " tarkoittaa tekijää , $!$
$e=2.7182818284\ldots$ on luonnollisen logaritmin kanta .

Satunnaismuuttujien numeeriset ominaisuudet

Satunnaismuuttujan matemaattista odotusta tai keskiarvoa lineaarisessa normitilassa X alkeistapahtumien avaruudessa kutsutaan integraaliksi. $\xi =\xi (\omega )$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$

\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\ Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(olettaen, että funktio on integroitavissa). $\xi =\xi (\omega )$

Satunnaismuuttujan varianssi on määrä, joka on yhtä suuri kuin: $\xi$

\operaattorinnimi {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

Tilastoissa varianssia merkitään usein tai . Arvo on yhtä suuri kuin ${\displaystyle \sigma _{\xi }^{2))$ $\sigma ^{2}$ $\sigma$

\sigma ={\sqrt {\operaattorin nimi {D} \xi }}

jota kutsutaan keskihajonnaksi , keskihajotukseksi tai standardihajotukseksi.

Satunnaismuuttujien kovarianssi on seuraava muuttuja: $\xi$ $\eta$

\mathrm {cov} (\xi ,\eta )

\operaattorinnimi {E} (\xi -\operaattorinnimi {E} {\xi })({\eta }-\operaattorinimi {E} {\eta })

(oletetaan, että matemaattiset odotukset on määritelty).

Jos = 0, niin satunnaismuuttujia ja kutsutaan korreloimattomiksi . Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa [9] . $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

Satunnaismuuttujien funktiot

Jos on Borel-funktio ja on satunnaismuuttuja, niin sen funktionaalinen muunnos on myös satunnaismuuttuja. Jos esimerkiksi on tavallinen normaali satunnaismuuttuja , satunnaismuuttujan khin neliöjakauma on yksi vapausaste. Monet jakaumat, mukaan lukien Fisher -jakauma ja Studentin jakauma , ovat normaalien satunnaismuuttujien funktionaalisten muunnosten jakaumia. $f(x)$ $\xi$ $\eta =f(\xi )$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Jos ja yhteisjakaumalla , ja se on jokin Borel-funktio, niin [ 10] :lle: $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)$ $\phi =\phi (x,y)$ $\zeta =\phi (\xi ,\eta )$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y )~.

Jos , ja ovat riippumattomia, sitten . Fubinin lausetta soveltamalla saamme: ${\näyttötyyli \phi (x,y)=x+y}$ $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(zx)dF_{\xi }(x)

ja vastaavasti:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(zy)dF_{\eta }(y)~.

Jos ja jakaumafunktiot, niin funktio $F$ $G$

H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(zx)dG(x)

kutsutaan konvoluutioksi ja ja merkitsevät . Riippumattomien satunnaismuuttujien summan tunnusfunktio ja on jakaumafunktioiden konvoluution Fourier-muunnos ja ja on yhtä suuri kuin ominaisfunktioiden ja :n tulo : $F$ $G$ $F*G$
$\zeta =\xi +\eta$ $\xi$ $\eta$ $F*G$ $F$ $G$ $\xi$ $\eta$

\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.

Esimerkkejä

Diskreetti satunnaismuuttuja

Esimerkkejä diskreetistä satunnaismuuttujasta ovat nopeusmittarin lukemat tai lämpötilamittaukset tiettyinä aikoina [11] .

Kolikonheitto

Kaikki mahdolliset kolikonheiton tulokset voidaan kuvata alkeistapahtumien päiden, tailojen tai lyhyesti tilan avulla . Olkoon satunnaismuuttuja yhtä suuri kuin kolikon heittämisen tuloksena saatu voitto. Olkoon voitto 10 ruplaa joka kerta, kun kolikko nousee päähän, ja −33 ruplaa, jos se nousee kärkeen. Matemaattisesti tämä voittofunktio voidaan esittää seuraavasti: $\Omega =\{$ $\}$ ${\displaystyle \{op,pe\))$ $\xi$

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{if }}\omega ={\text{op)),\\[6pt]-33,&{\teksti{ jos }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}

Jos kolikko on täydellinen, voiton todennäköisyys annetaan seuraavasti: $\xi$

P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1 }{2}},&{\text{if }}y=-33,\end{cases}}

missä on todennäköisyys voittaa ruplaa yhdellä kolikonheitolla.

P(\xi =y)

y

Noppien heitto

Satunnaismuuttujaa voidaan käyttää myös kuvaamaan nopanheiton prosessia sekä laskemaan tällaisten heittojen tietyn tuloksen todennäköisyys. Yksi tämän kokeilun klassisista esimerkeistä käyttää kahta noppaa ja , joista kukin voi ottaa arvoja joukosta {1, 2, 3, 4, 5, 6} (noppaan sivuilla olevien pisteiden määrä). Noppaan pudonneiden pisteiden kokonaismäärä on satunnaismuuttujamme arvo , joka saadaan funktiosta: $n_{1}$ $n_{2}$ $\xi$

{\displaystyle \xi ((n_{1}, n_{2}))=n_{1}+n_{2))

ja (jos nopat ovat täydellisiä) todennäköisyysfunktio saadaan seuraavasti: $\xi$

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36)),{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11,12\}

, missä on heitettyjen noppien pisteiden summa.

S

Korttipakka

Anna kokeilijan nostaa satunnaisesti yksi pelikorttipakan korteista . Sitten se edustaa yhtä vedetyistä korteista; tässä ei ole numero, vaan kartta - fyysinen esine, jonka nimi on merkitty symbolilla . Sitten funktio , joka ottaa objektin "nimen" argumentiksi, palauttaa numeron, johon yhdistämme kartan edelleen . Anna kokeilijan piirtää meidän tapauksessamme King of Clubs, eli , sitten kun tämä tulos on korvattu funktiolla , saamme jo luvun, esimerkiksi 13. Tämä luku ei ole todennäköisyys nostaa kuningas pakasta tai mikä tahansa muu kortti. Tämä luku on seurausta esineen siirrosta fyysisestä maailmasta matemaattisen maailman esineeseen, koska numerolla 13 on jo mahdollista suorittaa matemaattisia operaatioita, kun taas näitä operaatioita ei voitu suorittaa esineen kanssa. $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\omega$ ${\displaystyle \omega =K_{\klubipuku ))$ $\xi (K_{\klubipuku })$ ${\displaystyle K_{\klubipuku ))$

Ehdottomasti jatkuva satunnaismuuttuja

Toinen satunnaismuuttujien luokka on ne, joille on olemassa ei-negatiivinen funktio , joka täyttää minkä tahansa . Satunnaismuuttujia, jotka täyttävät tämän ominaisuuden, kutsutaan ehdottoman jatkuviksi, ja funktiota kutsutaan todennäköisyysjakauman tiheydeksi. $p(x)$ $x$ $P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ $p(x)$

Absoluuttisen jatkuvan satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen määrä on ääretön. Esimerkki ehdottoman jatkuvasta satunnaismuuttujasta: minkä tahansa kuljetustyypin tai lämpötilan liikenopeuden mittaaminen tietyn ajanjakson aikana. [yksitoista]

Ohikulkijan kasvu

Olkoon yhdessä kokeessa tarpeen valita satunnaisesti yksi henkilö (merkitsimme sitä ) koehenkilöiden ryhmästä, jolloin satunnaismuuttuja ilmaisee valitsemamme henkilön kasvua. Tässä tapauksessa matemaattisesta näkökulmasta satunnaismuuttuja tulkitaan funktioksi , joka muuttaa jokaisen kohteen luvuksi - hänen kasvunsa . Laskeaksesi todennäköisyyden, että henkilön pituus putoaa välillä 180 cm ja 190 cm, tai todennäköisyyden, että hänen pituus on yli 150 cm, sinun on tiedettävä todennäköisyysjakauma , joka yhdessä ja jonka avulla voit laskea todennäköisyydet satunnaisten kokeiden tietyistä tuloksista. $\omega$ $\xi$ $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $\omega$ $y$ $\xi$ $\xi$

Yksinkertaisimmat yleistykset

Satunnaismuuttuja voi yleisesti ottaen ottaa arvoja missä tahansa mitattavissa olevassa avaruudessa. Silloin sitä kutsutaan usein satunnaisvektoriksi tai satunnaiselementiksi. Esimerkiksi,

Mitattavissa olevaa funktiota kutsutaan -ulotteiseksi satunnaisvektoriksi (suhteessa Borel -algebraan ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $n$ $\sigma$ $\mathbb {R} ^{n}$
Mitattavissa olevaa funktiota kutsutaan -ulotteiseksi kompleksisatunnaisvektoriksi (myös vastaavan Borel -algebran suhteen ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ $n$ $\sigma$
Mitattavissa olevaa funktiota, joka kuvaa todennäköisyysavaruuden jonkin (äärellisen) joukon osajoukkojen avaruuteen, kutsutaan (ääreelliseksi) satunnaisjoukoksi.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. Satunnainen muuttuja // Mathematical Encyclopedia / Toim. Vinogradova I. M. - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1985.-V.5.- Ss. 9.- 623 s.
↑ Chernova, 2007 , s. 49-50.
↑ Satunnainen muuttuja - artikkeli Great Soviet Encyclopediasta .
↑ Katz M., Tilastollinen riippumattomuus todennäköisyysteoriassa, analyysissä ja lukuteoriassa, trans. Englannista, M., 1963.
↑ Chebyshev P. L., Keskiarvot, kirjassa: Täydellinen. Sobr. Soch., v. 2, M.-L., 1947
↑ Kolmogorov A. N., Todennäköisyysteorian peruskäsitteet, 2. painos, M., 1974
↑ V. Feller, Johdatus todennäköisyysteoriaan ja sen sovelluksiin, käänn. englannista, 2. painos, osa 1, M., 1967
↑ Chernova N. I. Luku 6. Satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat § 1. Satunnaismuuttujat // Todennäköisyysteoria . - Opetusohjelma. - Novosibirsk: Novosibirskin valtionyliopisto. un-t, 2007. - 160 s.
↑ Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Vastaesimerkkejä todennäköisyys- ja tilastotiedoissa. - Belmont, Kalifornia: Wadsworth, Inc., 1986. - 326 s. — ISBN 0534055680 .
↑ Shiryaev A.N. Todennäköisyys. — M:. : Tiede. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1989. - 640 s. — ISBN 5-02-013995-6 .
↑ 1 2 TSU koulutusportaali . edu.tltsu.ru . Käyttöönottopäivä: 26.6.2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Gnedenko B. V. Todennäköisyysteoriakurssi. - 8. painos lisätä. ja oikein. - M. : Pääkirjoitus URSS, 2005. - 448 s. — ISBN 5-354-01091-8 .
Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. Prokhorov Yu. V .. - 2. painos. - M . : "Neuvostoliiton tietosanakirja", 1998. - 847 s.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Radiotekniikan laitteiden ja järjestelmien tilastollinen analyysi ja synteesi. — Oppikirja yliopistoille. - M . : Radio ja viestintä, 1991. - 608 s. — ISBN 5-256-00789-0 .
Chernova N.I. Todennäköisyysteoria . - Opetusohjelma. - Novosibirsk: Novosibirskin valtionyliopisto. un-t, 2007. - 160 s.

Linkit

Monimuuttujat satunnaismuuttujat