Keskirajalause

Keskirajalauseet (CLT) ovat todennäköisyysteorian lauseiden luokka , joka väittää, että riittävän suuren määrän heikosti riippuvaisia satunnaismuuttujia, joilla on suunnilleen sama mittakaava, summa (mikään termeistä ei hallitse, ei vaikuta summaan ), jakauma on lähellä normaalia .

Koska monet sovellusten satunnaismuuttujat muodostuvat useiden heikosti riippuvien satunnaistekijöiden vaikutuksesta, niiden jakautumista pidetään normaalina. Tässä tapauksessa on huomioitava ehto, että mikään tekijöistä ei ole hallitseva. Keskirajalauseet oikeuttavat näissä tapauksissa normaalijakauman soveltamisen.

Klassinen CLT

Olkoon ääretön sarja riippumattomia identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on äärellinen matemaattinen odotus ja varianssi . Anna myös $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

Sitten

{\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt n))}\ N(0,1)

jakelulla osoitteessa ,

n\to\infty

jossa on normaalijakauma , jonka keskiarvo on nolla ja keskihajonta on yhtä. Ensimmäisten arvojen otoskeskiarvon määrittäminen on $N(0,1)$ $n$

{\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}

voimme kirjoittaa keskusrajalauseen tuloksen uudelleen seuraavaan muotoon:

{\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)

jakelulla osoitteessa .

n\to\infty

Konvergenssin nopeus voidaan arvioida käyttämällä Berry-Esseen-epäyhtälöä .

Muistiinpanot

Epävirallisesti sanottuna klassinen keskusrajalause sanoo, että riippumattomien identtisesti jakautuneiden satunnaismuuttujien summan jakauma on lähellä . Vastaavasti jakauma on lähellä . $n$ $N(n\mu ,n\sigma ^{2})$ ${\bar {X}}_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2}/n)$
Koska normaalin normaalijakauman jakaumafunktio on jatkuva , konvergenssi tähän jakaumaan vastaa jakaumafunktioiden pisteittäistä konvergenssia standardin normaalijakauman jakautumisfunktioon. Asettamalla , saamme , jossa on vakionormaalijakauman jakautumisfunktio. $Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n))))$ $F_{{Z_{n}}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in {\mathbb {R}}$ $\Phi (x)$
Klassisen muotoilun keskeinen rajalause on todistettu karakterististen funktioiden menetelmällä ( Levyn jatkuvuuslause ).
Yleisesti ottaen tiheyksien konvergenssi ei seuraa jakautumisfunktioiden konvergenssista . Tästä huolimatta tässä klassisessa tapauksessa asia on näin.

Paikallinen CLT

Klassisen muotoilun oletuksilla oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujien jakauma on ehdottoman jatkuva, eli sillä on tiheys. Silloin jakelu on myös ehdottoman jatkuvaa, ja lisäksi $\{X_{i}\}_{{i=1}}^{{\infty }}$ $Z_{n}$

f_{{Z_{n}}}(x)\to {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\,e^{{-{\frac {x^{2}}{ 2}}}}

klo ,

n\to\infty

missä on satunnaismuuttujan tiheys ja oikealla puolella on normaalin normaalijakauman tiheys. $f_{{Z_{n}}}(x)$ $Z_{n}$

Yleistykset

Klassisen keskusrajalauseen tulos pätee tilanteisiin, jotka ovat paljon yleisempiä kuin täydellinen riippumattomuus ja tasajakauma.

CPT Lindeberg

Olkoon riippumattomat satunnaismuuttujat määritelty samassa todennäköisyysavaruudessa ja niillä on äärelliset matemaattiset odotukset ja varianssit : . $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ ${\mathbb {E}}[X_{i}]=\mu _{i},\;{\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma _{i}^{2}$

Anna . $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Sitten . ${\mathbb {E}}[S_{n}]=m_{n}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\mu _{i},\;{\mathrm {D} }[S_{n}]=s_{n}^{2}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}$

Ja olkoon Lindebergin ehto täyttynyt :

\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{{n\to \infty }}\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[{ \frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,{\mathbf {1}}_{{\{|X_{i }-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}\right]=0,

jossa funktio on indikaattori. ${\mathbf {1}}_{{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}}$

Sitten

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\to N(0,1)

jakelulla osoitteessa .

n\to\infty

TsPT Lyapunov

Olkoon Lindebergin CLT:n perusoletukset täyttyneet. Olkoon satunnaismuuttujilla äärellinen kolmas momentti . Sitten sarja $\{X_{i}\}$

r_{n}^{3}=\sum _{{i=1}}^{n}{\mathbb {E}}\left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3} \oikea]

Jos raja

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0

( Ljapunov-tila ),

sitten

{\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\to N(0,1)

jakelulla osoitteessa .

n\to\infty

CLT martingaleille

Olkoon prosessi martingaali , jossa on rajoitettu lisäys. Olettakaamme erityisesti niin $(X_{n})_{{n\in {\mathbb {N))))$

{\mathbb {E}}\left[X_{{n+1}}-X_{n}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}\right]=0,\;n\in {\ mathbb {N}},\;X_{0}\equiv 0,

ja lisäykset ovat tasaisesti rajattuja, eli

\exists C>0\,\forall n\in {\mathbb {N}}\;|X_{{n+1}}-X_{n}|\leq C

b.s.

Esittelemme satunnaisia prosesseja ja seuraavasti: $\sigma _{n}^{2}$ $\tau_n$

\sigma _{n}^{2}={\mathbb {E}}\left[(X_{{n+1}}-X_{n})^{2}\mid X_{1},\ldots , X_{n}\oikea]

\tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{{i=1}}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\oikea. \oikea\}

Sitten

{\frac {X_{{\tau _{n}}}}{{\sqrt {n}}}}\to N(0,1)

jakelulla osoitteessa .

n\to\infty

CLT satunnaisille vektoreille

Antaa olla sarja riippumattomia ja tasaisesti jakautuneita satunnaisvektoreita, joista jokaisella on keskiarvo ja ei-singulaarinen kovarianssimatriisi . Merkitään osittaissummien vektorilla. Sitten , on heikko konvergenssi jakaumat vektorit ${\vec {X_{1}}},\ldots ,{\vec {X_{n}}},\ldots$ $E{\vec {X_{1}}}={\vec {a}}$ $\Sigma$ ${\displaystyle S_{n}={\vec {X_{1))}+\ldots +{\vec {X_{n))))$ $n\to\infty$

${\vec {\eta _{n))}={\frac {S_{n}-na}{\sqrt {n))}\xrightarrow {heikko} {\vec {\eta ))$ , missä on jakelu . ${\vec {\eta ))$ $N({{\vec {0)),\Sigma })$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rouaud, Mathieu. Todennäköisyys, tilastot ja estimointi (epämääräinen) . - 2013. - S. 10.

Linkit

Todennäköisyysteorian rajalauseet. Esimerkkejä käytöstä

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 122653738 GND : 4067618-3 J9U : 987007284968305171 LCCN : sh85021905