Satunnaismuuttujan ominaisfunktio

Satunnaismuuttujan karakteristinen funktio on yksi tapa määrittää jakauma . Tunnusfunktiot voivat olla kätevämpiä tapauksissa, joissa esimerkiksi tiheys- tai jakautumisfunktiolla on hyvin monimutkainen muoto. Myös ominaisfunktiot ovat kätevä työkalu heikon konvergenssin (jakauman konvergenssi) asioiden tutkimiseen . Yu.V. _ Linnik , I.V. Ostrovski, K.R. Rao , B. Ramachandran.

Määritelmä

Olkoon satunnaismuuttuja jakauma . Sitten ominaisfunktio annetaan kaavalla: $X$ $\mathbb {P} ^{X}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]

Käyttämällä matemaattisen odotuksen laskentakaavoja ominaisuusfunktion määritelmä voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,\mathbb {P} ^{X}(dx)

eli ominaisfunktio on satunnaismuuttujan jakauman käänteinen Fourier -muunnos.

Jos satunnaismuuttuja saa arvoja mielivaltaisessa Hilbert-avaruudessa , sen ominaisfunktio on muotoa: $X$ ${\mathcal {H}}$

\phi _{X}(t)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle t,X\rangle }\right],\;\kaikki t\in {\mathcal {H))

jossa tarkoittaa pistetuloa . _ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathcal {H}}$

Diskreetit ja ehdottoman jatkuvat satunnaismuuttujat

Jos satunnaismuuttuja on diskreetti , eli , silloin $X$ $\mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots$

\phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}

Esimerkki. Letillä on Bernoulli-jakauma . Sitten $X$

\phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q

Jos satunnaismuuttuja on ehdottoman jatkuva , eli sillä on tiheys , niin $X$ $f_{X}(x)$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx

Esimerkki. Let on standardi jatkuva tasainen jakautuminen . Sitten $X\simU[0,1]$

\phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it} }\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}

Tunnistefunktioiden ominaisuudet

Ominaisuusfunktio määrittää jakauman yksiselitteisesti. Olkoon kaksi satunnaismuuttujaa ja . Sitten . Erityisesti, jos molemmat suureet ovat ehdottoman jatkuvia, karakterististen funktioiden yhteensattuma viittaa tiheyksien yhteensattumiseen. Jos molemmat satunnaismuuttujat ovat diskreettejä, ominaisfunktioiden yhteensattuma merkitsee todennäköisyysfunktioiden yhtäpitävyyttä. $X,Y$ $\phi _{X}(t)=\phi _{Y}(t),\;\forall t$ $\mathbb {P} ^{X}=\mathbb {P} ^{Y}$
Ominaisuusfunktio on aina rajoitettu:

|\phi _{X}(t)|\leq 1,\ \forall t\in \mathbb {R}

Ominaisuusfunktio nollassa on yhtä suuri kuin yksi:

\phi _{X}(0)\ =1

Ominaisuusfunktio on aina tasaisesti jatkuva : . $\phi _{X}\in C(\mathbb {R} )$
Ominaisuusfunktio satunnaismuuttujan funktiona on homogeeninen:

\phi _{aX}(t)=\phi _{X}(at),\;\forall a\in \mathbb {R}

Riippumattomien satunnaismuuttujien summan ominaisfunktio on yhtä suuri kuin niiden ominaisfunktioiden tulo. Olkoon riippumattomia satunnaismuuttujia. Merkitään . Sitten $X_{1},\ldots,X_{n}$ $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

\phi _{S_{n}}(t)=\prod \limits _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(t)

Tunnusfunktio on hermiittinen: kaikille reaaliarvoille yhtälö on tosi , missä tarkoittaa kompleksista konjugaattifunktiota [ 1] . $t$ $\phi _{X}(-t)={\overline {\phi }}_{X}(t)$ ${\overline {\phi ))_{X}(t)$ $\phi _{X}(t)$
Inversiolause (Levi). Olkoon jakaumafunktio ja sen ominaisfunktio. Jos ja ovat jatkuvuuspisteitä , niin $F$ $\phi$ $a$ $b$ $F$

F(b)-F(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^ {-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\phi (t)\,dt.

Ominaisuusfunktio on määritelty positiivisesti: jokaiselle kokonaisluvulle , mille tahansa reaaliluvulle ja mille tahansa kompleksiluvulle epäyhtälö [2] on tosi . Tässä tarkoitetaan luvun kompleksista konjugaattia . $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Hetkien laskeminen

Jos satunnaismuuttujalla on alkuhetki , niin ominaisfunktiolla on jatkuva th derivaatta eli , ja lisäksi: $X$ $n$ $n$ $\phi _{X}\in C^{n}(\mathbb {R} )$

i^{n}\left.\mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}( t)\oikea\vert _{t=0}

Käänteinen Fourier-muunnos

Olkoon annettu satunnaismuuttuja, jonka ominaisfunktio on yhtä suuri kuin . Sitten $X$ $\phi _{X}(t)\$

jos se on diskreetti ja ottaa kokonaislukuja, niin $X$

\mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{-itk}\,\phi _{ X}(t)\,dt,\;k\in \mathbb {Z}

;

jos on ehdottoman jatkuva ja on sen tiheys, niin $X$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\,\phi _{X}( t)\,dt,\;x\in \mathbb {R}

Riittävät ehdot

Jotta funktio olisi jonkin satunnaismuuttujan ominaisfunktio, riittää , että se on ei-negatiivinen, parillinen, jatkuva, alaspäin kupera funktio, ja ( Titchmarsh -Polyi -lause ). $\varphi (t)$ $\varphi (t)$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow\infty$

Välttämättömät ja riittävät ehdot

Antaa olla jatkuva funktio ja . Jotta funktio olisi karakteristinen, on välttämätöntä ja riittävää, että se on positiivinen määrätty funktio, toisin sanoen jokaiselle kokonaisluvulle , millä tahansa reaaliluvulla ja mille tahansa kompleksiluvulle epäyhtälö ( Bochner-Khinchin lause ) täyttyy. Tässä tarkoittaa [2] : n kompleksista konjugaattia . $\varphi (u)$ $u\in R^{n}$ $\varphi (0)=1$ $\varphi (u)$ $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum _{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$ ${\displaystyle {\bar {z_{j))))$ ${\displaystyle z_{j))$

Katso myös

Levin jatkuvuuslause (karakterifunktioiden menetelmä).
Suora ja käänteinen rajalause
Titchmarsh-Poyi -lause
Bochner-Khinchin lause

Muistiinpanot

↑ B. Ramachandran karakterististen funktioiden teoria, M., Nauka, 1975
↑ 1 2 Korolyuk V. S. , Portenko N. I., Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M., Nauka, 1985. - s. 65

Kirjallisuus

Linnik Yu.V. , Ostrovski I.V. Satunnaismuuttujien ja vektorien hajotukset, Nauka, M., 1972.
Lukacs E. Ominaiset funktiot. - M., Nauka, 1979. - 424 s.