Suora ja käänteinen rajalause

Tärkeimmät ominaisfunktioiden sovellusten kannalta todennäköisyysteorian asymptoottisten kaavojen johtamisessa ovat kaksi rajalausetta - suora ja käänteinen. Nämä lauseet osoittavat, että jakaumafunktioiden ja ominaisfunktioiden välinen vastaavuus ei ole vain yksi yhteen, vaan myös jatkuva.

Suora ja käänteinen rajalause

Suora rajalause

Jos jakaumafunktioiden sarja konvergoi heikosti jakaumafunktioon , niin vastaavien ominaisfunktioiden sarja konvergoi pisteittäin ominaisfunktioon . $F_{n}$ $F$ $n\rightarrow\infty$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f$

Toisin sanoen

Jos , niin jokaisessa kohdassa .

F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)

f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)

t

Käänteisrajalause

Olkoon tunnusomaisten funktioiden sarja konvergoiva pisteittain jatkuvaan funktioon pisteessä 0. Tällöin vastaavien jakaumafunktioiden sarja konvergoi heikosti funktioon ja on jakaumafunktiota vastaava ominaisfunktio . ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f$ $F_{n}$ $F$ $f$ $F$

Todistus suorarajalauseesta

Tämän lauseen todistus seuraa suoraan toisesta Hellyn lauseesta ja ominaisfunktion määritelmästä:

Funktiona otamme ja katsomme parametreja ja parametreja. $g$ $g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$ $i$ $t$

Huomautus

Tämän lauseen ominaisfunktioiden sarjan pistekohtainen konvergenssi voidaan korvata tasaisella konvergenssilla missä tahansa kompaktissa joukossa . $R$

Todistus käänteisrajalauseesta

Olkoon ominaisfunktioiden sarjaa vastaava jakautumisfunktioiden sarja . Hellyn ensimmäisestä lauseesta seuraa , että on olemassa heikosti konvergentti osajono $F_{n}$ $f_{{n}}$

\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},

sellasta

F_{n_{k}}\Rightarrow F_{n}

Osoittakaamme, että se on jakaumafunktio. Tätä varten riittää sen osoittaminen $F$ $F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$

Sen todistamiseksi tarvitaan seuraava epäyhtälö: olkoon mielivaltainen satunnaismuuttuja sen ominaisfunktio, sitten mille tahansa ja $\xi$ $f$ $\tau >0$ $x>0$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}

Anna , sitten epätasa-arvo saa muodon $\tau x=2$

P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{ \frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1

Todistakaamme eriarvoisuus . Ominaisfunktion määritelmästä ja Fubinin lauseesta se seuraa $P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau } ^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1} {2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\ tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=

=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left \{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \ xi )){\xi ))\oikea|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\oikea\))\leq {\mathsf {M))\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left| {\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left( \left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right) \oikea)

Koska funktio on jatkuva pisteessä ja se on ominaisfunktioiden pistekohtainen raja , niin jokaiselle on olemassa sellainen , että kaikille tyydyttävä epäyhtälö $f$ $0$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\))$ $f\left(0\right)=1$ $\varepsilon >0$ $\tau _{0}>0$ $\tau$ $0<\tau \leq \tau _{0},$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}

Siitä, mitä seuraa kaikille ja varten $f_{n}\rightarrow f$ $n\rightarrow\infty$ ${\displaystyle n>n_{0))$ $\tau \in (0;\tau _{0}],$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}

Se seuraa eriarvoisuudesta ja siitä, että minkä tahansa ja sellaisen $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac { \varepsilon }{4}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ ${\displaystyle n>n_{0))$ $\tau$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$

\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}

Vuodesta eriarvoisuutta ja meillä on $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{ \frac {\varepsilon }{2}}$ $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1} {2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$

F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }} -0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k))\right|\leq {\frac {\tau }{2))\right)\geq 2\left(1- {\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon

kaikille ja . Viimeisestä epätasa-arvosta, mielivaltaisuudesta johtuen , saamme ${\displaystyle n>n_{0))$ ${\displaystyle 0<\tau \leq \tau _{0))$ $\tau$ $\varepsilon$

F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1

eli jakelufunktio. Suoran raja-lauseen perusteella se seuraa siitä, mitä on todistettu $F$

f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^ {itx}dF\left(x\oikea),t\in \mathbb {R}

Mutta lauseen mukaan

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R}

Näin ollen

f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)

on jakaumafunktiota vastaava ominaisfunktio

F

Todistakaamme se nyt

F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F

Oletetaan päinvastoin , anna

F_{n}\nOikeanuoli F

osoitteessa . Sitten on olemassa , ja ja ovat jakelufunktioita

n\rightarrow\infty

\left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^ {*}\neq F

F

F^{*}

Suoran raja-lauseen mukaan meillä on

f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\ vasen(t\oikea),k\oikeanuoli \infty

ja ainutlaatuisuuslauseella , mutta tämä ei voi olla, koska $f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\oikea)$

f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)

Näin ollen

f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)

Lause on todistettu.

Kirjallisuus

Lazakovich N.V., Stashulenok S.P., Yablonsky O.L. Todennäköisyyskurssi. - 2003. - 322 s.
Sevastyanov B.A. Todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilastotieteen kurssi. - 1982. - 244 s.

Suora ja käänteinen rajalause