Hellyn ensimmäinen ja toinen lause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. elokuuta 2017 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Jakaumafunktioiden ja niille ominaisten funktioiden välillä on yksi yhteen vastaavuus . $\left\{F_{\xi }\left(x\right)\right\}$ $\left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\}$

Hellyn lauseet mukaan lukien osoittavat, että tämä vastaavuus ei ole vain yksittäinen , vaan myös keskenään jatkuva .

Hellyn ensimmäinen ja toinen lause

Hellyn ensimmäinen lause

Mistä tahansa jakautumisfunktioiden sarjasta voidaan valita heikosti konvergentti alijono . $\left\{F_{x}\right\}$

Hellyn toinen lause

If on jatkuva rajoitettu funktio viivalla ja sitten $g\left(x\right)$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right),F\left(\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1,$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{ -\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)

Todiste Hellyn ensimmäisestä lauseesta

Antaa olla countable asetettu kaikkialla tiheä linjalla . $D=\left\{x_{k}\right\}$

Rajatusta sekvenssistä valitaan suppeneva osajono , jonka rajaa merkitsemme $0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1$ $F_{1n}\left(x_{1}\right)$ $F\left(x_{1}\right).$

Rajatusta sekvenssistä valitsemme konvergentin osajonon ja niin edelleen. $0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1$ $F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)$

Valitse seuraavaksi diagonaalinen osasarja , jolle tahansa pisteelle $f_{nn}\left(x\right)$ $F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $x_{k}\in D.$

Lemman mukaan tämä tarkoittaa $F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Lemma

Jos kaikkialla tiheässä suorassa sarjassa , niin $F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$ $D$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$

Huomautus

$F\vasen(x\oikea)$ ei välttämättä ole jakelufunktio . Esimerkiksi jos ja sitten _ $F_{n}\left(x\right)=0$ $x<n$ $F_{n}\left(x\right)=1$ $x\geq n,$ $F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.$

Todiste Hellyn toisesta lauseesta

Olkoon jatkuvuuspisteitä Todistakaamme ensin se $a<b$ $F\vasen(x\oikea)$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\left(x\right)dF\left(x\right)

Anna . Jaetaan funktion jatkuvuuspisteillä segmenteiksi siten, että pisteille . $\varepsilon >0$ $\vasen[a,b\oikea]$ $a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b$ $F\vasen(x\oikea)$ $\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ $\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon$ $x\in \left[x_{k-1},x_{k}\right]$

Tämä voidaan tehdä, koska se on tasaisesti jatkuva päällä ja jatkuvuuspisteet ovat kaikkialla tiheitä. $g\left(x\right)$ $\vasen[a,b\oikea]$ $F\vasen(x\oikea)$

Määritellään askelfunktio .

g_{\varepsilon }\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)

päällä .

x\in \left(x_{k-1},x_{k}\right]

Sitten

\left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left( x\oikea)dF\left(x\oikea)\oikea|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right) )\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_ {\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left( x\oikea)\leq

\leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F \left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right] \oikea].

missä . ${\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.$

Sillä , viimeisestä termistä voidaan tehdä mielivaltaisen pieni, mistä se seuraa $n\rightarrow\infty$

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\left(x\oikea)dF\left(x\oikea).

Todisteeksi

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{ -\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)

valita sellainen, että ja ja niin, että pisteet ovat jatkuvuuspisteitä $X>0$ $F\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$ $1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$ $\pm X$ $F\left(x\right).$

Sitten, koska voidaan valita sellainen, että ja $F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)$ $n_{0}$ $n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{2))$ $1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{2)).$

Arvioidaan ero

\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon }{2}}.

Tämän perusteella päättelemme, että oikea puoli $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^ {b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$

\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{ -X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left( x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right| +\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq

\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\ int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M} }\varepsilon }{2}}.

voidaan tehdä mielivaltaisen pieneksi, mikä todistaa lauseen.

Katso myös

Suora ja käänteinen rajalause

Kirjallisuus

Sevastyanov V.A. Todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilastotieteen kurssi. - 1982. - 254 s.