Opiskelijoiden jakelu

Opiskelijoiden jakelu
Todennäköisyystiheys
jakelutoiminto
Nimitys	${\mathrm {t))(n)$
Vaihtoehdot	$n>0$ on vapausasteiden lukumäärä
Kuljettaja	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Todennäköisyystiheys	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) \,(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{\frac {n+1}{2}}}}$
jakelutoiminto	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}\times$ ${\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3} {2));-{\frac {x^{2}}{n}}\oikea)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}}) }}$ missä on hypergeometrinen funktio ${\displaystyle _{2}F_{1))$
Odotettu arvo	$0$ , jos $n>1$
Mediaani	$0$
Muoti	$0$
Dispersio	${\frac {n}{n-2))$ , jos $n>2$
Epäsymmetriakerroin	$0$ , jos $n>3$
Kurtoosikerroin	${\frac {6}{n-4))$ , jos $n>4$
Differentiaalinen entropia	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}) })\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ oikea]}\end{matrix}}$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ , $B$ : beta-toiminto
Hetkien funktion luominen	ei määritetty

Studentin jakauma ( -jakauma ) todennäköisyysteoriassa on yksiparametrinen ehdottoman jatkuvien jakaumien perhe . William Seeley Gosset oli ensimmäinen, joka julkaisi julkaisuja tästä jakelusta salanimellä "Student". $t$

Studentin jakaumalla on tärkeä rooli tilastollisessa analyysissä , ja sitä käytetään esimerkiksi Studentin t -testissä kahden otoskeskiarvon välisen eron tilastollisen merkitsevyyden arvioimiseen , kun muodostetaan luottamusväli tuntemattoman normaalin populaation matemaattiselle odotukselle. varianssi ja myös lineaarinen regressioanalyysi . Studentin t-jakauma näkyy myös normaalijakauman datan Bayes - analyysissä .

Studentin jakauman tiheyskaavio, kuten normaalijakauma, on symmetrinen ja näyttää kellolta, mutta siinä on enemmän "raskaita" häntäjä, eli satunnaismuuttujan realisaatiot Studentin jakauman kanssa yleensä poikkeavat suuresti matemaattisista odotuksista . Tämän vuoksi on tärkeää ymmärtää tietyntyyppisten satunnaismuuttujien suhdelukujen tilastollinen käyttäytyminen, joissa nimittäjän poikkeama on suuri ja voi tuottaa poikkeavia, kun suhteen nimittäjä on lähellä nollaa.

Studentin jakauma on yleisen hyperbolisen jakauman erikoistapaus .

Historia ja etymologia

Tilastoissa t - jakauman saivat ensimmäisen kerran posteriorijakaumana vuonna 1876 Friedrich Helmertin [1] [2] [3] ja Jakob Lurothin [4] [5] [6] toimesta .

Englanninkielisessä kirjallisuudessa jakelu on saanut nimensä William Gossetin artikkelista Pearsonin Biometrics-lehdessä, joka julkaistiin salanimellä "Student" [7] [8] .

Gosset työskenteli Guinnessin panimossa Dublinissa Irlannissa ja sovelsi tilastotietoaan sekä panimoprosessissa että pelloilla kehittääkseen tuottoisimman ohralajikkeen. Tutkimukset räätälöitiin panimoyhtiön tarpeisiin ja tehtiin pienellä määrällä havaintoja, jotka toimivat sysäyksenä pienillä näytteillä toimivien menetelmien kehittämisessä.

Gosset joutui salaamaan henkilöllisyytensä julkaisemisen yhteydessä, koska aiemmin toinen Guinnessille työskennellyt tutkija julkaisi materiaaleissaan tietoja, jotka olivat yrityksen liikesalaisuuksia, minkä jälkeen Guinness kielsi työntekijöitään julkaisemasta materiaalia riippumatta siitä, mitä tietoja niitä.

Gossetin artikkeli kuvaa jakaumaa " populaatiosta otettujen näytteiden keskihajonnan taajuusjakaumana ". Siitä tuli kuuluisa Ronald Fisherin työn ansiosta , joka kutsui jakelua "opiskelijajakaumaksi" ja arvoa - kirjaimella t [9] .

Määritelmä

Antaa olla riippumaton standardi normaali satunnaismuuttuja siten, että . Sitten satunnaismuuttujan jakauma , missä $Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ $Y_{i}\sim {\mathcal {N))(0,1),\;i=0,\ldots ,n$ $t$

t={\frac {Y_{0}}{{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}Y_{i}^{2} }}}},

kutsutaan Studentin jakaumaksi vapausasteilla . $n$ $t\sim {\mathrm {t}}(n)$

Tämä jakauma on ehdottoman jatkuva tiheydellä :

f_{t}(y)={\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\,\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{-{\frac {n +1}{2}}}

missä on Eulerin gammafunktio . Tällä tavalla: $\Gamma$

{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {n}}(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\ ,}},

jopa

n

ja vastaavasti

{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}={\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {n}}(n-2)(n-4)\cdots 5\cdot 3 \,}},

outoille .

n

Studentin tiheysjakauma voidaan myös ilmaista käyttämällä Eulerin beetafunktiota : $\mathrm {B}$

f_{t}(y)={\frac {1}({\sqrt {n))\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2)),{\frac {n} {2))))\left(1+{\frac {y^{2}}{n}}\right)^{\!-{\frac {n+1}{2}}}

T -jakauman tiheysfunktion käyrä on symmetrinen ja sen muoto muistuttaa kellon muotoa, kuten normaali normaalijakauma, mutta se on matalampi ja leveämpi.

Seuraavat kaaviot kuvaavat t -jakauman tiheyttä vapausasteiden lukumäärän kasvaessa. Voidaan havaita, että as , tiheysfunktiokäyrä muistuttaa yhä enemmän normaalia normaalijakaumaa. $n$ $n$

T-jakauman tiheys (punainen viiva) 1, 2, 3, 5, 10 ja 30 vapausasteelle
verrattuna normaaliin normaalijakaumaan (sininen viiva). Edelliset kaaviot näkyvät vihreänä.

Jakelufunktio

Jakaumafunktio voidaan ilmaista säännöllistyneenä epätäydellisenä beetafunktiona . , _ $minä$ $t>0$

F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\tfrac {1}{2}}I_{x(t)}\left( {\tfrac {n}{2)),{\tfrac {1}{2}}\right),

missä [10]

x(t)={\frac {n}{t^{2}+n)).

Sillä arvo voidaan saada jakauman symmetrian ansiosta. $t<0$

Toinen kaava on oikein [10] : $t^{2}<n$

\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\tfrac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1} {2}}(n+1)\oikea)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\oikea))){}_{2 }F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2}}(n+1);{\tfrac {3}{2));-{\tfrac {t^{2}}{n}}\oikea)

jossa 2 F 1 on hypergeometrisen funktion erikoistapaus .

Erikoistapaukset

Studentin yhden vapausasteen ( ) jakauma on Cauchyn vakiojakauma . $n=1$

Jakelutoiminto:

F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan(t)

Todennäköisyystiheys:

f(t)={\frac {1}{\pi (1+t^{2})))

Studentin jakauma kahdella vapausasteella ( ): ${\näyttötyyli n=2}$

Jakelutoiminto:

F(t)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {t}{2{\sqrt {2+t^{2}}}}}

Todennäköisyystiheys: ;

f(t)={\frac {1}{\left(2+t^{2}\right)^{\frac {3}{2))))

Opiskelijan jakauma kolmella vapausasteella ( ): $n=3$

Todennäköisyystiheys:

{\displaystyle f(t)={\frac {6{\sqrt {3))}{\pi \left(3+t^{2}\right)^{2))))

Studentin jakauma äärettömällä määrällä vapausasteita ( ): $n=\infty$

Todennäköisyystiheys

f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}

on sama kuin normaalin normaalijakauman todennäköisyystiheys.

Opiskelijajakelun ominaisuudet

Studentin jakauma on symmetrinen. Erityisesti jos , niin . $t\sim {\mathrm {t}}(n)$ $-t\sim \mathrm {t} (n)$
On vain järjestyksen hetkiä , eikä järjestyksen hetkiä ole . Tässä tapauksessa kaikki olemassa olevat parittoman järjestyksen hetket ovat yhtä suuria kuin nolla. $k<n$ $k\geq n$

{\mathbb {E}}\left[t^{k}\right]=0

, jos outoa ;

k

\mathbb {E} \left[t^{k}\right]={\frac {1}({\sqrt {\pi }}\Gamma \left({\frac {n}{2)) \right)}}\left[\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {nk}{2}}\oikea)n^{\ frac {k}{2}}\right]

jos se on parillinen. Erityisesti,

k

Matemaattinen odotus , jos . ${\mathbb {E}}[t]=0$ $n>1$
varianssi jos . ${\mathrm {D}}[t]={n \yli n-2}$ $n>2$

Ominaisuudet

Studentin vapausasteiden jakauma voidaan määritellä satunnaismuuttujan jakaumaksi [10] [11] $k$ $T$

{\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/k))}=Z{\sqrt {\frac {k}{V))))

missä

Z on satunnaismuuttuja, jolla on standardi normaalijakauma ; ${\mathcal {N}}(0,1)$
V on satunnaismuuttuja, jolla on khin neliöjakauma ja vapausasteet; $k$
Z ja V ovat riippumattomia satunnaismuuttujia .

Olkoon, , riippumattomia satunnaismuuttujia normaalijakaumalla , $X_{1},\ldots,X_{n}$ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$

${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$ on näytteen keskiarvo,

S_{n}^{\;2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline { X}}_{n}\oikea)^{2}

on varianssin puolueeton arvio.

Sitten satunnaismuuttuja

V=(n-1){\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}

on khin-neliöjakauma vapausasteilla [12] . $k=n-1$

Satunnaismuuttujalla on standardi normaalijakauma , koska otoskeskiarvolla on normaalijakauma . Lisäksi voidaan osoittaa, että nämä kaksi satunnaismuuttujaa (normaali ja khin neliö ) ovat riippumattomia. $Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ ${\overline {X}}_{n}$ ${\mathcal {N}}(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}})$ $Z$ $V$

Korvaa saadut arvot arvoiksi

T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/k}}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt { n}}{S_{n}}}

jolla on Studentin jakauma ja joka eroaa siitä , että keskihajonta korvataan satunnaismuuttujalla , . Huomaa, että tuntematon varianssi ei näy kohdassa , koska se oli sekä osoittajassa että nimittäjässä. Gosset sai intuitiivisesti yllä määritellyn todennäköisyystiheyden, jossa vastaa ; Fischer todisti tämän vuonna 1925 [9] . $Z$ $\sigma$ $S_{n}$ $\sigma ^{2}$ $T$ $k$ $n-1$

Kriteeritilaston jakauma riippuu mutta ei riipu μ:stä tai σ 2 :sta, mikä tekee jakaumasta tärkeän sekä teoriassa että käytännössä. $T$ $k$

Kuinka t - jakauma syntyy

Otosvarianssi

Studentin jakauma syntyy otosvarianssijakauman yhteydessä . Olkoon riippumattomia satunnaismuuttujia siten, että . Merkitään tämän otoksen otoskeskiarvoa ja sen otosvarianssia . Sitten $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,n$ ${\bar {X}}$ $S^{2}$

{\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim {\mathrm {t}}(n-1)

Tähän seikkaan liittyy Studentin t-jakauman käyttö tilastoissa pisteestimointiin , luottamusvälien muodostamiseen ja hypoteesien testaamiseen tuntemattomasta otoskeskiarvosta normaalijakaumasta .

Bayesin tilastot

Bayesilaisessa tilastossa ei-keskeinen t - jakauma esiintyy normaalijakaumakertoimen marginaalijakaumana . $m$ ${\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2})$

Tuntemattoman varianssin riippuvuus ilmaistaan seuraavasti:

{\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)=&\int p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)\;d\sigma ^{2}= \int p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)\;p(\sigma ^{2}\mid D,I)\;d\sigma ^{2}\end{aligned}}

missä on data { x i } ja mikä tahansa muu tieto, jota voidaan käyttää mallin luomiseen. $D$ $minä$

Kun data ei ole informatiivista , Bayesin lause viittaa

{\begin{aligned}p(\mu \mid D,\sigma ^{2},I)\sim &N({\bar {x)),{\frac {\sigma ^{2)){ n)))\end{tasattu}}

{\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid D,I)\sim &\operaattorinimi {Scale-inv-\chi ^{2}} (n,s^{2})\ loppu{tasattu}}

normaalijakauma ja skaalattu käänteinen khin neliöjakauma, missä

s^{2}=\sum {\frac {(x_{i}-{\bar {x)))^{2}}{n-1}}

Marginalisoidulla integraalilla on tässä tapauksessa muoto

{\begin{aligned}p(\mu |D,I)&\propto \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2))} }\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}n(\mu -{\bar {x}})^{2}\oikea)\;\cdot \;\ sigma ^{-n-2}\exp(-ns^{2}/2\sigma ^{2})\;d\sigma ^{2}\\&\propto \int _{0}^{\infty }\sigma ^{-n-3}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(n(\mu -{\bar {x}})^{ 2}+ns^{2}\oikea)\oikea)\;d\sigma ^{2}\end{aligned}}

vaihtamisen jälkeen , missä $z=A/2\sigma ^{2}$ $A=n(\mu -{\bar {x)))^{2}+ns^{2}$

saamme $dz=-{\frac {A}{2\sigma ^{4}}}d\sigma ^{2}$

ja arviointi $p(\mu |D,I)\propto \;A^{-{\frac {n+1}{2}}}\int _{0}^{\infty }z^{(n- 1)/2}\exp(-z)\,dz$

$\int _{0}^{\infty }z^{(n-1)/2}\exp(-z)\,dz$ nyt standardi Gamma-integraali, joka laskee vakioksi

${\begin{aligned}p(\mu \mid D,I)\propto &\;A^{-{\frac {n+1}{2))}\propto &\left(1+{ \frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{ns^{2}}}\oikea)^{-{\frac {n+1}{2}}}\end {aligned}}$

tämä on standardoimaton t-jakauma.

Korvaamalla saamme standardoidun t-jakauman. $t={\frac {\mu -{\bar {x}}}{s/{\sqrt {n}}}}$

Yllä oleva johdannainen esitettiin epäinformatiivisen priorin tapauksessa ja ; mutta on selvää, että mikä tahansa ennakkotodennäköisyys johtaa normaalijakauman ja skaalatun käänteisen khin neliöjakauman sekoitukseen, että ei-keskeiseen t - jakaumaan, jossa on skaalaus ja bias by , skaalausparametriin vaikuttaa priori tiedot ja tiedot, ei vain tiedot, kuten yllä olevassa esimerkissä. ${\displaystyle \scriptstyle {\mu ))$ $\scriptstyle {\sigma ^{2))$ ${\displaystyle \scriptstyle {P(\mu |D,I)))$ $\scriptstyle {\frac {S^{2}}{n}}$

Studentin jakauman yleistyksiä

Studentin standardoimaton t-jakauma

Studentin t-jakauma voidaan yleistää funktioperheeksi, jossa on kolme parametria, mukaan lukien siirtokerroin ja skaalaustekijä , suhteen avulla $\mu$ $\sigma$

X=\mu +\sigma T

tai

T={\frac {X-\mu }{\sigma }}

missä on klassinen Student-jakauma vapausasteilla. ${\frac {x-\mu }{\sigma }}$ $n$

Standardoimattoman Studentin jakauman tiheys on uudelleenparametrisoitu tyypin VII Pearson-jakauma ja se määräytyy seuraavalla lausekkeella [13]

{\displaystyle p(x\mid n,\mu ,\sigma )={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n}{2 }}){\sqrt {\pi n}}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{n}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\oikea )^{2}\oikea)^{-{\frac {n+1}{2))))

Tässä ei ole standardipoikkeama, kuten normaalijakaumassa, vaan se on yleisesti ottaen eri mittakaavaparametri. Kuitenkin kohdassa VII tyypin VII Pearson-jakauman tiheys pyrkii normaalijakauman tiheyteen standardipoikkeaman kanssa . $\sigma$ $n\to\infty$ $\sigma$

Bayesilaisessa päätelmässä tuntemattoman keskiarvon marginaalijakauma on suurempi kuin , ja se vastaa , missä $\mu$ $\sigma$ ${\displaystyle \scriptstyle {s/{\sqrt {n))))$

s^{2}=\sum {\frac {(x_{i}-{\bar {x)))^{2}}{n-1}}.

$\operaattorin nimi {E} (X)=\mu$ varten , $n>1$

${\text{var}}(X)=\sigma ^{2}{\frac {n}{n-2}}$ varten $n>2$

${\text{mode}}(X)=\mu .$

Tämä jakauma on seurausta Gaussin jakauman (normaalijakauman) yhdistelmästä keskiarvon ja tuntemattoman varianssin kanssa, käänteisellä gammajakaumalla, varianssilla, jolla on parametrit ja . Toisin sanoen satunnaismuuttujan X oletetaan olevan normaalijakauma, jonka varianssi on tuntematon jakaantuneena käänteisenä gammana, ja sitten varianssi eliminoidaan. Tämä ominaisuus on hyödyllinen, koska käänteinen gamma-jakauma on Gaussin jakauman varianssin konjugaattipriori, minkä vuoksi standardoimaton Studentin t-jakauma esiintyy luonnollisesti monissa Bayesin ongelmissa. $\mu$ $a=n/2$ $b=n\sigma ^{2}/2$

Vastaavasti tämä jakauma on tulos Gaussin jakauman ja skaalatun käänteisen khin neliöjakauman yhdistelmästä parametreilla ja . Skaalattu käänteinen khin neliöjakauma on täsmälleen sama jakauma kuin käänteinen gamma-jakauma, mutta sillä on eri parametrointi, nimittäin . $n$ $\sigma ^{2}$ $n=2a,\sigma ^{2}=b/a$

Vaihtoehtoinen parametrisointi, joka perustuu käänteisskaalausparametriin λ [14] (samanlainen kuin tarkkuusmitta on varianssin käänteisarvo), jonka määrittelee relaatio , ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\sigma ^{2))))$

silloin tiheys määritellään seuraavasti

p(x|n,\mu ,\lambda )={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n}{2} })}}\left({\frac {\lambda }{\pi n}}\oikea)^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\lambda (x-\mu) )^{2}}{n}}\oikea)^{-{\frac {n+1}{2}}}.

Ominaisuudet:

$\operaattorin nimi {E} (X)=\mu$ varten , $n>1$

${\text{var}}(X)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {n}{n-2}}$ varten $n>2$

${\text{mode}}(X)=\mu .$

Tämä jakauma on seurausta Gaussin jakauman yhdistelmästä keskiarvon ja tuntemattoman tarkkuuden (käänteisen varianssin) kanssa, gammajakauman kanssa parametrien ja . Toisin sanoen satunnaismuuttujan X oletetaan olevan normaalijakauma, jonka tarkkuus on tuntematon gamma-jakautunut. $\mu$ $a=n/2$ $b=n/(2\lambda )$

Opiskelijan ei-keskusjakelu

Ei-keskeinen t-t on yksi tapa yleistää standardi t-t sisällyttämällä ylimääräinen siirtokerroin (ei-keskeisyysparametri) . $\mu$

$(Z+\mu ){\sqrt {\frac {n}{V}}}.$

Ei-keskisessä Studentin jakaumassa mediaani ei ole sama kuin moodin, ts. se ei ole symmetrinen (toisin kuin standardoimaton).

Tämä jakauma on tärkeä Studentin t-testin tilastollisen tehon tutkimisen kannalta.

Diskreetti Studentin jakauma

Diskreetillä Studentin t-jakaumalla on seuraava jakautumisfunktio, jossa r on verrannollinen: [15]

\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots , -1,0,1,\ldots .

Missä a , b ja k ovat parametreja. Tällainen jakauma syntyy, kun käsitellään diskreettien jakaumien järjestelmiä, kuten Pearson-jakaumaa . [16]

Suhde muihin jakeluihin

Studentin t-jakauma on tyypin VII Pearsonin t-jakauma [17] .
Studentin jakauma yhdellä vapausasteella ( ) on Cauchyn vakiojakauma : . $n=1$ ${\mathrm {t}}(1)\equiv {\mathrm {C}}(0,1)$
Studentin jakauma konvergoi standardinormaaliin kohdassa . Olkoon satunnaismuuttujien sarja , jossa . Sitten: jakelulla osoitteessa . $n\to\infty$ $\{t_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $t_{n}\sim {\mathrm {t}}(n),\;n\in {\mathbb {N}}$ $t_{n}\to {\mathcal {N}}(0,1)$ $n\to\infty$
Satunnaismuuttujan neliöllä, jolla on Studentin jakauma, on myös Fisherin jakauma . Anna . Sitten: . $t\sim {\mathrm {t}}(n)$ $t^{2}\sim {\mathrm {F}}(1,n)$

Gaussin jakauman yleistys

T-jakauman näytteen saamme ottamalla normaalijakauman arvojen suhteen khin-neliöjakauman neliöjuureen.

missä ovat riippumattomat standardinormaalit satunnaismuuttujat niin, että ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n))$ $X_{i}\sim {\mathcal {N))(0,1),\;i=0,\ldots ,n$

$t={\frac {X_{0}}{\sqrt ({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2} }}}.$

Jos normaalijakauman sijasta otamme esimerkiksi Irwin-Hall , saamme symmetrisen jakauman 4 parametrilla, joka sisältää normaalin, tasaisen, kolmiojakauman sekä Studentin ja Cauchyn jakaumat; näin ollen tämä yleistys on joustavampi kuin monet muut Gaussin jakauman symmetriset yleistykset.

Student-jakelun soveltaminen

Hypoteesin testaus

Joissakin tilastoissa voi olla Studentin t-jakauma pienillä otoskooilla, joten Studentin t-jakauma muodostaa merkitsevyystestien perustan. Esimerkiksi Spearmanin rankkorrelaatiotesti ρ nollatapauksessa (nollakorrelaatio) on hyvin approksimoitu Studentin t-jakaumalla, jonka otoskoko on suurempi kuin 20.

Luottamusvälin rakentaminen

Studentin t-t:n avulla voidaan arvioida, kuinka todennäköisesti todellinen keskiarvo on millä tahansa tietyllä alueella.

Oletetaan, että numero A valitaan siten, että

$\Pr(-A<T<A)=0,9$ .

Silloin T:llä on t-jakauma n – 1 vapausasteen kanssa. Jakauman symmetrian perusteella tämä vastaa sanomista, että A tyydyttää

$\Pr(T<A)=0,95,$ tai sitten ${\displaystyle A=t_{(0,05,n-1)))$

$\Pr \left(-A<{\frac ({\overline {X}}_{n}-\mu }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}<A \right)=0,9,$

joka vastaa

$\Pr \left({\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}<\mu <{\overline {X}}_ {n}+A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\right)=0.9.$

siten intervalli, jonka luottamusraja on pisteissä, on 90 %:n luottamusväli μ:lle. Siksi, jos löydämme havaintojen joukon (normaalijakauman) keskiarvon, voimme käyttää Studentin t-jakaumaa määrittääksemme, sisältävätkö tämän keskiarvon luottamusrajat jotain teoreettisesti ennustettua arvoa, kuten nollahypoteesista ennustettu arvo. ${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}$

Tällaista lähestymistapaa käytetään Studentin t-testissä : jos kahden normaalijakauman näytteiden keskiarvojen ero voi itse olla normaalijakautumassa, voidaan Studentin t-t:n avulla tutkia, voidaanko tätä eroa pitää nollana korkealla asteella. todennäköisyydestä.

Normaalijakautuneille näytteille keskiarvon yksipuolinen (1− a ) yläluottamusraja (UCL) on

$\mathrm {UCL} _{1-a}={\overline {X}}_{n}+t_{a,n-1}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n} }}$ .

Tuloksena oleva ylempi luottamusraja on suurin keskiarvo annetulle luottamusvälille ja otoskokolle. Toisin sanoen, jos havaintojoukon keskiarvo, todennäköisyys, että jakauman keskiarvo saa, on yhtä suuri kuin merkitsevyystaso 1– a. ${\overline {X}}_{n}$ $\mathrm {UCL} _{1-n}$

Ennustevälin rakentaminen

Studentin t-jakauman avulla voidaan saada ennustajaväli havaitsemattomalle näytteelle normaalijakaumasta, jonka keskiarvoa ja varianssia ei tunneta.

Bayesin tilastoissa

Studentin t-jakauma, erityisesti ei-keskeinen, esiintyy usein Bayesin tilastoissa normaalijakauman assosioinnin seurauksena.

Todellakin, jos emme tiedä normaalijakautuneen satunnaismuuttujan varianssia, mutta tiedämme konjugaattipriorejakauman, on mahdollista valita gamma-jakauma siten, että tuloksena olevilla arvoilla on Studentin jakauma.

Vastaavat rakenteet samoilla tuloksilla sisältävät konjugaattiskaalatun käänteisen khin neliöjakauman. Jos virheellinen aikaisemman jakauma, verrannollinen , sijaitsee varianssin yläpuolella, tapahtuu myös Studentin jakauma. Tämä tapahtuu riippumatta siitä, tiedetäänkö konjugaattien aikajakauman kanssa jakautuneen normaalijakautuneen suuren keskiarvo vai ei. $\sigma ^{2}$

Parametrinen mallinnus kestää alkuperäisten oletusten rikkomuksia

Studentin t-jakaumaa käytetään usein vaihtoehtona datamallin normaalijakaumille. [18] Tämä johtuu siitä, että todellisella tiedolla on melko usein raskaampi loppuosa kuin normaalijakauma sallisi. Klassinen lähestymistapa on tunnistaa poikkeamat ja poistaa ne (tai vähentää niiden painoa). Aina ei kuitenkaan ole helppoa määrittää poikkeavaa arvoa (etenkin korkeadimensionaalisissa ongelmissa ), ja Studentin t-jakauma on luonnollinen valinta parametrisen lähestymistavan luomiseksi robusteihin tilastoihin .

Lange ja muut ovat tutkineet Studentin jakauman käyttöä robustiin datamallinnukseen. Bayesin laskelma löytyy julkaisusta Gelman et ai.

Vapausasteiden määrä ohjaa jakauman kurtoosia ja korreloi skaalausparametrin kanssa.

Joitakin muita Student-jakelun ominaisuuksia

Olkoon, Studentin todennäköisyystiheysfunktion integraali, todennäköisyys, että t :n arvo on pienempi kuin havaintotiedoista laskettu arvo. $A(t|n)$ $F(t)$

Funktiolla voidaan testata, onko kahden samasta populaatiosta otetun tietojoukon keskiarvojen ero tilastollisesti merkitsevä, tämä saavutetaan laskemalla t:n vastaava arvo ja sen esiintymistodennäköisyys. $A(t|n)$

Tätä käytetään esimerkiksi Studentin T-testissä . Vapausasteiden t - jakauman kohdalla on todennäköisyys, että t on pienempi kuin havaittu arvo, jos kaksi keskiarvoa olisivat samat. Se voidaan helposti laskea Studentin jakauman kumulatiivisesta jakaumafunktiosta: $n$ $A(t|n)$ $F_{n}(t)$

A(t|n)=F_{n}(t)-F_{n}(-t)=1-I_{\frac {n}{n+t^{2}}}\left({ \frac {n}{2)),{\frac {1}{2}}\right),

missä I x - regularisoitu epätäydellinen beetafunktio (a, b).

Tilastollisen hypoteesin testauksessa tätä funktiota käytetään p-arvon muodostamiseen .

Monte Carlon näytteenotto

On olemassa erilaisia tapoja saada satunnaismuuttujia Studentin jakaumasta. Kaikki riippuu siitä, tarvitaanko riippumattomia näytteitä vai voidaanko ne rakentaa soveltamalla käänteisjakaumafunktiota näytteeseen, jolla on tasainen jakautuminen.

Riippumattoman näytteen tapauksessa on helppo soveltaa Box-Muller-menetelmän laajennusta sen polaarisessa (trigonometrisessa) muodossa [19] . Tämän menetelmän etuna on, että se koskee yhtä lailla kaikkia positiivisia vapausasteita , kun taas monet muut menetelmät eivät toimi, jos se on lähellä nollaa. [19] $n$ $n$

Studentin jakauman tiheys differentiaaliyhtälön ratkaisun kautta

Studentin tiheysjakauma saadaan ratkaisemalla seuraava differentiaaliyhtälö :

$\left\{{\begin{array}{l}\left(n+x^{2}\right)f'(x)+(n+1)xf(x)=0,\\f (1)={\frac {n^{n/2}(n+1)^{-{\frac {n}{2}}-{\frac {1}{2}}}}{B\left ({\frac {n}{2)),{\frac {1}{2}}\right)}}\end{array}}\right\}$

Persentiilit

Arvotaulukot

Monissa tilastooppikirjoissa on opiskelijajakaumataulukoita.

Nykyään paras tapa saada täysin tarkka kriittinen t-arvo eli kumulatiivinen todennäköisyys on käyttää laskentataulukoihin sisäänrakennettua tilastofunktiota (Office Excel, OpenOffice Calc jne.) tai interaktiivista verkkolaskinta. Tarvittavat taulukkolaskentatoiminnot ovat TJAKAUMA ja TINV.

Alla oleva taulukko sisältää joidenkin arvojen arvot Studentin jakaumille v vapausasteilla useille yksi- tai kaksipuolisille kriittisille alueille.

Esimerkkinä tämän taulukon lukemisesta otetaan neljäs rivi, joka alkaa numerosta 4; tämä tarkoittaa, että v, vapausasteiden lukumäärä, on 4 (ja jos työskentelemme, kuten edellä on esitetty, n kiinteäsummaisen suureen kanssa, niin n = 5). Otetaan sarakkeen viides arvo 95 % yksipuoliselle (90 % kaksipuoliselle ). Arvo on "2,132". Näin ollen todennäköisyys, että T on pienempi kuin 2,132, on 95 % tai Pr(−∞ < T < 2,132) = 0,95; tämä tarkoittaa myös, että Pr(−2.132 < T < 2.132) = 0.9.

Tämä voidaan laskea jakauman symmetriasta,

Pr( T < -2,132) = 1 - Pr( T > -2,132) = 1 - 0,95 = 0,05,

saamme

Pr(−2,132 < T < 2,132) = 1 − 2(0,05) = 0,9.

Huomaa , että viimeinen rivi antaa myös kriittisiä pisteitä: Studentin t-jakauma äärettömällä asteiden määrällä on normaalijakauma.

Ensimmäinen sarake näyttää vapausasteiden lukumäärän.

yksipuolinen	75 %	80 %	85 %	90 %	95 %	97,5 %	99 %	99,5 %	99,75 %	99,9 %	99,95 %
kahdenvälinen	viisikymmentä%	60 %	70 %	80 %	90 %	95 %	98 %	99 %	99,5 %	99,8 %	99,9 %
yksi	1 000	1,376	1,963	3,078	6.314	12.71	31.82	63,66	127.3	318.3	636,6
2	0,816	1,080	1,386	1,886	2.920	4.303	6,965	9,925	14.09	22.33	31.60
3	0,765	0,978	1.250	1,638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
neljä	0,741	0,941	1.190	1,533	2.132	2,776	3,747	4.604	5,598	7.173	8.610
5	0,727	0,920	1.156	1,476	2.015	2.571	3,365	4.032	4,773	5,893	6,869
6	0,718	0,906	1.134	1.440	1,943	2.447	3.143	3,707	4.317	5.208	5,959
7	0,711	0,896	1.119	1.415	1,895	2,365	2.998	3,499	4.029	4,785	5.408
kahdeksan	0,706	0,889	1.108	1,397	1.860	2.306	2,896	3.355	3,833	4.501	5.041
9	0,703	0,883	1.100	1,383	1,833	2.262	2.821	3.250	3,690	4,297	4,781
kymmenen	0,700	0,879	1,093	1,372	1.812	2.228	2,764	3.169	3,581	4.144	4,587
yksitoista	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2.201	2.718	3.106	3,497	4.025	4.437
12	0,695	0,873	1,083	1.356	1,782	2.179	2,681	3,055	3.428	3.930	4.318
13	0,694	0,870	1,079	1.350	1,771	2.160	2.650	3.012	3.372	3,852	4.221
neljätoista	0,692	0,868	1,076	1.345	1,761	2.145	2.624	2,977	3.326	3,787	4.140
viisitoista	0,691	0,866	1,074	1.341	1,753	2.131	2.602	2,947	3.286	3,733	4,073
16	0,690	0,865	1,071	1.337	1,746	2.120	2,583	2.921	3.252	3,686	4.015
17	0,689	0,863	1,069	1.333	1,740	2.110	2,567	2,898	3.222	3.646	3,965
kahdeksantoista	0,688	0,862	1,067	1.330	1,734	2.101	2.552	2,878	3.197	3.610	3,922
19	0,688	0,861	1,066	1.328	1,729	2,093	2.539	2,861	3.174	3,579	3,883
kaksikymmentä	0,687	0,860	1,064	1.325	1,725	2,086	2.528	2,845	3.153	3.552	3.850
21	0,686	0,859	1,063	1.323	1,721	2,080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0,686	0,858	1,061	1.321	1.717	2,074	2.508	2.819	3.119	3.505	3,792
23	0,685	0,858	1.060	1.319	1.714	2,069	2.500	2.807	3.104	3,485	3,767
24	0,685	0,857	1,059	1.318	1.711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
25	0,684	0,856	1,058	1.316	1,708	2.060	2,485	2,787	3,078	3.450	3,725
26	0,684	0,856	1,058	1.315	1.706	2,056	2.479	2,779	3,067	3.435	3,707
27	0,684	0,855	1,057	1.314	1,703	2.052	2,473	2,771	3,057	3.421	3,690
28	0,683	0,855	1,056	1.313	1.701	2,048	2.467	2,763	3,047	3.408	3,674
29	0,683	0,854	1,055	1.311	1,699	2,045	2.462	2,756	3,038	3,396	3,659
kolmekymmentä	0,683	0,854	1,055	1.310	1,697	2.042	2.457	2.750	3.030	3,385	3.646
40	0,681	0,851	1.050	1.303	1,684	2.021	2.423	2.704	2,971	3.307	3.551
viisikymmentä	0,679	0,849	1,047	1,299	1,676	2.009	2.403	2,678	2,937	3.261	3,496
60	0,679	0,848	1,045	1,296	1,671	2.000	2.390	2,660	2.915	3.232	3,460
80	0,678	0,846	1,043	1,292	1,664	1.990	2.374	2.639	2,887	3.195	3.416
100	0,677	0,845	1,042	1,290	1,660	1,984	2.364	2.626	2,871	3.174	3,390
120	0,677	0,845	1,041	1.289	1,658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
∞	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1.960	2.326	2,576	2.807	3,090	3.291

Esimerkiksi, jos meille annetaan näyte, jonka otosvarianssi on 2 ja otoskeskiarvo 10, joka on otettu näytejoukosta 11 (10 vapausastetta), käyttämällä kaavaa

${\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}.$

Voimme määrittää 90 %:n varmuudella, että todellinen keskiarvo on:

$10+1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.58510,$

(eli keskimäärin 90 % ajasta yläraja on suurempi kuin todellinen keskiarvo)

ja silti 90 % varmuudella löydämme todellisen keskiarvon, joka on suurempi kuin

$10-1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9.41490.$

(Keskimäärin 90 % ajasta alaraja on pienempi kuin todellinen keskiarvo)

Joten 80% varmuudella (1-2*(1-90%) = 80%) löydämme todellisen arvon väliltä

$\left(10-1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}},10+1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}\ oikea)=\vasen(9,41490,10,58510\oikea).$

Toisin sanoen 80 % ajasta todellinen keskiarvo on ylärajan alapuolella ja alarajan yläpuolella.

Tämä ei vastaa sanomista, että on 80 %:n todennäköisyys, että todellinen keskiarvo on tietyn ylä- ja alarajaparin välissä.

Yleistys

Studentin jakauman yleistys on yleistetty hyperbolinen jakauma .

Muistiinpanot

↑ Helmert, F. R. (1875). "Über die Bestimmung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler". Z Math. Phys. , 20, 300–3.
↑ Helmert, F. R. (1876a). "Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und uber einige damit in Zusammenhang stehende Fragen". Z Math. Phys. , 21, 192–218.
↑ Helmert, F. R. (1876b). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers director Beobachtungen gleicher Genauigkeit", Astron. Nachr. , 88, 113–32.
↑ Lüroth, J. Vergleichung von zwei Werten des wahrscheinlichen Fehlers (saksa) // Astron. Nachr. : myymälä. - 1876. - Bd. 87 , no. 14 . - S. 209-220 . - doi : 10.1002/asna.18760871402 . - .
↑ Pfanzagl, J.; Sheynin, O. T -jakauman edelläkävijä (Todennäköisyys- ja tilastohistorian tutkimukset XLIV) (englanniksi) // Biometrika : Journal. - 1996. - Voi. 83 , no. 4 . - s. 891-898 . - doi : 10.1093/biomet/83.4.891 .
↑ Sheynin, O. Helmertin työ virheteoriassa // Arch . Hist. Exact Sci. : päiväkirja. - 1995. - Voi. 49 . - s. 73-104 . - doi : 10.1007/BF00374700 .
↑ "Oppilas" [ William Sealy Gosset ]. Keskiarvon todennäköinen virhe (englanniksi) // Biometrika : Journal. - 1908. - Maaliskuu ( osa 6 , nro 1 ) . - s. 1-25 . - doi : 10.1093/biomet/6.1.1 .
↑ "Student" (William Sealy Gosset), alkuperäinen Biometrika-paperi skannauksena Arkistoitu 5. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ 1 2 Ronald Fisher. Opiskelijajakelun sovellukset // metron . - 1925. - Voi. 5 . - s. 90-104 . Arkistoitu alkuperäisestä 5. maaliskuuta 2016.
↑ 1 2 3 Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. luku 28 // Continuous Univariate Distributions, Volume 2, 2nd Edition .. - 1995. - ISBN 0-471-58494-0 .
↑ Hogg & Craig (1978, kohdat 4.4 ja 4.8.)
↑ W. G. Cochran. Kvadraattisten muotojen jakautuminen normaalissa järjestelmässä, sovelluksia kovarianssianalyysiin // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1.4.1934. - T. 30 , no. 02 . - S. 178-191 . — ISSN 1469-8064 . - doi : 10.1017/S0305004100016595 .
↑ Simon Jackman. Bayesin yhteiskuntatieteiden analyysi . — Wiley. - 2009. - S. 507 .
↑ Bishop CM Kuvioiden tunnistus ja koneoppiminen. - Springer . – 2006.
↑ Ord, JK (1972) Families of Frequency Distributions , Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (taulukko 5.1)
↑ Ord, JK (1972) Families of Frequency Distributions , Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (luku 5)
↑ Korolyuk, 1985 , s. 134.
↑ Kenneth L. Lange, Roderick J. A. Little, Jeremy M. G. Taylor. Vankka tilastollinen mallinnus t-jakauman avulla // Journal of the American Statistical Association . – 12.1.1989. - T. 84 , no. 408 . - S. 881-896 . — ISSN 0162-1459 . - doi : 10.1080/01621459.1989.10478852 .
↑ 1 2 Ralph W. Bailey. Polar Generation of Random Variates with the t-Dtribution // Laskennan matematiikka. - 1994-01-01. - T. 62 , no. 206 . - S. 779-781 . - doi : 10.2307/2153537 . Arkistoitu alkuperäisestä 3. huhtikuuta 2016.

Kirjallisuus

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M .: Nauka, 1985. - 640 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula