Geometrinen jakauma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 30. toukokuuta 2014 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 53 muokkausta .

Geometrinen jakauma todennäköisyysteoriassa tarkoittaa yhtä kahdesta diskreetin satunnaismuuttujan jakaumasta :

satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, joka on yhtä suuri kuin ensimmäisen "menestyksen" lukumäärä Bernoulli-kokeiden sarjassa ja arvojen ottaminen ; $X$ $n = 1,2,3,...$
satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, joka on yhtä suuri kuin "epäonnistumisen" lukumäärä ennen ensimmäistä "onnistumista" ja arvojen ottaminen . $Y=X-1$ $n=0,1,2,...$

Määritelmä

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan geometrinen jakauma parametrin kanssa , ja se kirjoitetaan, jos se ottaa arvoja todennäköisyyksien kanssa . Tämän jakauman satunnaismuuttuja merkitsee ensimmäisen onnistuneen kokeen numeroa Bernoulli-kaaviossa onnistumisen todennäköisyydellä . $X$ $p\in(0,1)$ $\mathrm {Geom} _{1}(p)$ $n=1,2,3,...$ $\mathbb {P} (X=n)=(1-p)^{n-1}p$ $s$

Olkoon riippumattomien satunnaismuuttujien ääretön sarja Bernoullin jakauman kanssa , ts. $Z_{1},\ldots ,Z_{n},\ldots$

Z_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i=1,2,\ ldots

. Rakennetaan satunnaismuuttuja - "epäonnistumisen" lukumäärä ennen ensimmäistä "menestystä". Satunnaismuuttujan jakaumaa kutsutaan geometriseksi "onnistumisen" todennäköisyydellä , jota merkitään seuraavasti: . Satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio on muotoa: .

Y=\min \left\{i\mid Z_{i}=1\right\}-1

Y

s

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)

Y

\mathbb{P}(Y = n) = q^np,\; n = 0,1,2,\lpistettä

Huomautus

Joskus määritelmän mukaan oletetaan, että se on ensimmäisen "menestyksen" numero. Sitten todennäköisyysfunktio saa muodon, jossa . Oikealla oleva taulukko näyttää molempien vaihtoehtojen kaavat. $X$ $\mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p,\;$ $n=1,2,3,\ldots$
Todennäköisyysfunktio on geometrinen progressio , josta jakauman nimi tulee.

Moments

Anna ja . Sitten geometrisen jakauman momenttien generoivalla funktiolla on muoto: $X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p)$ $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)$

M_{Y}(t)={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}

missä

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p}}

{\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {q}{p^{2))))

. Se on reilua .

\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={ \frac {q}{p}}

Geometrisen jakauman ominaisuudet

Kaikista diskreeteistä jakaumista, joissa on tuki ja kiinteä keskiarvo , geometrinen jakauma on yksi niistä jakaumista, joilla on suurin informaatioentropia . ${\näyttötyyli \{1,2,3,\pisteet\}}$ $\mu>1$ $\mathrm{Geom}(1/\mu)$
Jos ja ovat riippumattomia , niin $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

X=\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{ Olen oikea)

Geometrinen jakauma on äärettömästi jaollinen .

Muistin puute

Jos , niin , eli menneiden "epäonnistumisten" lukumäärä ei vaikuta tulevien "epäonnistumisten" määrään. $X\sim \mathrm {Geom} (p)$ $\mathbb {P} (X>m+n\mid X\geq m)=\mathbb {P} (X>n)\;,\forall m,n\in \mathbb {N} \cup \ {0\}$

Geometrinen jakauma on ainoa diskreetti jakauma, jolla on ei-muisti- ominaisuus .

Suhde muihin jakeluihin

Geometrinen jakauma on negatiivisen binomijakauman erikoistapaus : . $\mathrm{Geom}(p) \equiv \mathrm{NB}(1,p)$
Jos ja ovat riippumattomia , niin $Y_1,\ldots, Y_n$ $Y_i \sim \mathrm{Geom}(p),\; i=1,\ldots,n$

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p)

Jos parametri r=1 negatiivisessa binomijakaumassa, negatiivisesta binomijakaumasta tulee geometrinen jakauma . Viimeinen jakelu on Bose-Einstein-jakauma yhdelle lähteelle [1]

Esimerkki

Anna noppaa heittää, kunnes kuusi ensimmäistä tulee esiin.

Laske todennäköisyys, että ennen ensimmäistä menestystä suoritettujen kokeiden määrä, mukaan lukien viimeinen onnistunut kokeilu, on enintään kolme.

Anna . Sitten

X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p=1/6)

\mathbb {P} (X\leq 3)=\mathbb {P} (X=1)+\mathbb {P} (X=2)+\mathbb {P} (X=3)=

= \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right) ^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{ 6}\oikea) \noin 0{,}42

Laske todennäköisyys, että "epäonnistumista" ennen ensimmäistä "onnistumista" on enintään kaksi.

Anna . Sitten

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p=1/6)

\mathbb {P} (Y\leq 2)=\mathbb {P} (Y=0)+\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)=

=\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5} {6}}\oikea)^{1}\vasen({\frac {1}{6}}\oikea)+\vasen({\frac {5}{6}}\oikea)^{2}\vasen ({\frac {1}{6}}\oikea)\noin 0{,}42

Katso myös

Binomijakauma .

Linkit

↑ Schopper H. (Toim.) Electron - Positron Interactions. Berliini, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. S. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Arkistoitu 10. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula