Laplacen jakelu

Laplacen jakelu
Todennäköisyystiheys
jakelutoiminto
Vaihtoehdot	$\textstyle\alpha>0$ - skaalaustekijä - siirtokerroin $\beta\in\mathbb{R}$
Kuljettaja	$x\in (-\infty ;\infty )$
Todennäköisyystiheys	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$
jakelutoiminto	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$
Odotettu arvo	$\beeta$
Mediaani	$\beeta$
Muoti	$\beeta$
Dispersio	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2))))$
Epäsymmetriakerroin	$0$
Kurtoosikerroin	$3$
Differentiaalinen entropia	$\ln {\frac {2e}{\alpha ))$
Hetkien funktion luominen	?
ominaista toimintoa	$\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}$

Laplace-jakauma ( double eksponentiaalinen ) - todennäköisyysteoriassa tämä on satunnaismuuttujan jatkuva jakauma , jossa todennäköisyystiheys on

f(x)={\frac {\alpha }{2))\,e^{-\alpha |x-\beta |},\quad -\infty <x<+\infty ,

missä on skaalausparametri, on siirtoparametri. $\alpha >0$ $-\infty<\beta<+\infty$

Jakelufunktio

Määritelmän mukaan jakaumafunktio on jakautumistiheyden integraali :

F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt={\frac {\alpha }{2))\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-\alpha |t-\beta |}\,dt.

Integrointia varten on tarkasteltava kahta tapausta:

F(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta ,\\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta .\end{cases}}

Tuloksena olevan funktion ominaisuuksien tarkistaminen:

$F(x)$ ei vähene, koska se on positiivista. $f(x)$
$F(\beta -0)=F(\beta +0)={\frac {1}{2))$ , siis on jatkuva pisteessä $F(x)$ $\beeta$
$F(x)$ rajoitettu.
Rajat äärettömyydessä:

\lim _{x\to -\infty }F(x)={\frac {1}{2))\lim _{x\to -\infty }e^{\alpha (x-\beta )}=0,

\lim _{x\to +\infty }F(x)=1-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to +\infty }e^{-\alpha (x -\beta )}=1.

Matemaattinen odotus ja varianssi

Tiheysfunktion eksponentti sisältää erotuksen moduulin , joten väli laskelmissa on jaettava ja . Integraalit otetaan osissa , kun äärettömiä ( ) korvataan, otetaan huomioon muodon rajat . Tuloksena $(-\infty,+\infty)$ $(-\infty ,\beta )$ $[\beta,+\infty)$ $\pm\infty$ $\lim_{x\to\pm\infty}r(x)$

\operaattorin nimi {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\beta

laskennan yksityiskohdat

$\operaattorinimi{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\ beta}xe^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}xe^{-\alpha(x-\beta) }dx=$ $=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} xe^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\ alfa}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{\alpha(x-\beta)}dx-\frac{\alpha}{2 }\frac{1}{\alpha} xe^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{ 1}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}+\frac {\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}=\beta-\ frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta$

{\displaystyle \operaattorinimi {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx=\beta ^{2}+{ \frac {2}{\alpha ^{2))))

laskennan yksityiskohdat

$\operaattorinnimi{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\ limits_{-\infty}^{\beta}x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\ infty}x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{\alpha(x-\beta))){\alpha}\bigg|_{-\infty}^{\beta}- \frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}xe^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha }{2}\frac{x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}}{-\alpha}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\ alfa}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}xe^{-\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{\beta^{2}}{2}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{\beta^{2}} {2}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}$

\operaattorinimi{D}\xi=\operaattorinimi{E}\xi^{2}-(\operaattorinimi{E}\xi)^{2}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^ {2}}-\beta^{2}=\frac{2}{\alpha^{2}}

Moments

\operaattorinimi {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx=\sum _{i=0} ^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)! }}

missä on s:n kokonaislukuosa. $\left\lfloor s\right\rfloor$

laskennan yksityiskohdat

$\operaattorinnimi{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\ limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\ infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx$

Käyttämällä osittain integrointikaavaa useita kertoja, saamme:

$\int x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}-\frac {k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{\alpha(x-\beta)}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x ^{k-2}e^{\alpha(x-\beta)}-$ $\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}xe^{\alpha(x-\beta)}+( -1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{\alpha(x-\beta)}$

$\int x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=-\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)} -\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)}{\alpha^{ 3}}x^{k-2}e^{-\alpha(x-\beta)}-$ $\ldots-\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}xe^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1) \cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{-\alpha(x-\beta)}$

Integroinnin rajojen korvaamisen jälkeen:

$\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}-\ frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}-$ $\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k))\beta+(-1)^{k}\frac{k (k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}$

$\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}+ \frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}+\ ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k))\beta+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+ yksi }}$

Koska ensimmäinen integraali riippuu k:n pariteetista, otetaan huomioon kaksi tapausta: k on parillinen ja k on pariton:

$\operaattorinnimi{E}\xi^{k}= \begin{cases} \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2} +\lpisteet+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k)), & k=2n \\ \beta^{k}+\frac{k(k-1) }{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k-1}}\beta, & k=2n+1 \end{cases}$

Tai yleisellä tasolla:

$\operaattorinimi{E}\xi^{k}=\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{ 2i}}\frac{k!}{(k-2i)!}$ , missä on s:n kokonaislukuosa. $\left\lfloor s\right\rfloor$

Ominainen toiminto

\phi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx={\frac {\alpha ^{2}e^{it \beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}

laskennan yksityiskohdat

$\phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty} ^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx }e^{-\alpha(x-\beta)}dx$

Molemmat integraalit löydetään käyttämällä Eulerin kaavaa ja klassista esimerkkiä muodon integraalien löytämisestä ja (katso Integrointi osien mukaan: Esimerkit ): $\textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x$ $\int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx$ $\int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx$

$\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}(\cos tx + i\sin tx)e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta )}dx + i\int\limits_{-\infty}^{\beta}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx=$ $=\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg| _{-\infty}^{\beta}+i\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(a\sin tx -t\cos tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}=$ $=\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}+t(i\cos t \beta-\sin t \beta)\Big )$

$\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{itx}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+ \infty }(\cos tx+i\sin tx)e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+\infty }\cos tx\,e^ {-\alpha (x-\beta )}dx+i\int \limits _{\beta }^{+\infty }\sin tx\,e^{-\alpha (x-\beta )}dx=$ $=\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\ bigg|_{\beta}^{+\infty}+i\frac{e^{-\alpha(x-\beta))){\alpha^{2}+t^{2}}\Big(- a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}=$ $\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)$

Lopullinen ominaistoiminto on:

$\phi(t)=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(ae^{it\beta}+t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{ it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t ^{2}}$

Sovellus

Jakelua sovelletaan signaalinkäsittelyn mallinnukseen, biologisten prosessien mallintamiseen, talouteen ja rahoitukseen. Jakelua voidaan soveltaa:

luottoriskeihin;
vakuutustapahtumiin;
kun työskentelet Kalman-suodattimen kanssa .

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula