Eksponentiaalinen jakautuminen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1.11.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

eksponentiaalinen jakautuminen
Todennäköisyystiheys
jakelutoiminto
Nimitys	$\mathrm {Exp} (\lambda ),{\mathcal {E))(\lambda )$
Vaihtoehdot	$\lambda>0$ - intensiteetti tai käänteinen skaalaustekijä
Kuljettaja	$x\in [0;\infty )$
Todennäköisyystiheys	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x))$
jakelutoiminto	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$
Odotettu arvo	$\lambda ^{-1}$
Mediaani	$\ln(2)/\lambda$
Muoti	$0$
Dispersio	$\lambda ^{-2}$
Epäsymmetriakerroin	$2$
Kurtoosikerroin	$6$
Differentiaalinen entropia	$1-\ln(\lambda )$
Hetkien funktion luominen	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\oikea)^{-1}$
ominaista toimintoa	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}$

Eksponentiaalinen (tai eksponentiaalinen [1] ) jakauma on ehdottoman jatkuva jakauma , joka mallintaa aikaa saman tapahtuman kahden peräkkäisen esiintymisen välillä.

Määritelmä

Satunnaismuuttujalla on eksponentiaalinen jakauma parametrin kanssa, jos sen todennäköisyystiheys on muotoa: $X$ $\lambda>0$

f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda \,e^{{-\lambda x)),&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases))

Esimerkki. Oletetaan, että on myymälä, jossa asiakkaat käyvät silloin tällöin. Tietyillä olettamuksilla kahden peräkkäisen ostajan ilmestymisen välinen aika on satunnaismuuttuja, jolla on eksponentiaalinen jakauma. Keskimääräinen odotusaika uudelle asiakkaalle (katso alla) on . Itse parametri voidaan sitten tulkita uusien asiakkaiden keskimääräiseksi lukumääräksi aikayksikköä kohti. $1/\lambda$ $\lambda$

Tässä artikkelissa oletamme varmuuden vuoksi, että eksponentiaalisen satunnaismuuttujan tiheys on annettu ensimmäisellä yhtälöllä, ja kirjoitamme: . $X$ $X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$

Jakelufunktio

Integroimalla tiheyden saamme eksponentiaalisen jakautumisfunktion :

F_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{{-\lambda x}}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\ end{matrix}}\right.

Moments

Yksinkertaisella integroinnilla huomaamme, että eksponentiaalisen jakauman momenttien generointifunktiolla on muoto:

{\mathrm {M}}_{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{{-1}}

mistä saamme kaikki hetket:

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}

Erityisesti,

{\mathbb {E}}[X]={\frac {1}{\lambda }}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}

\operaattorinimi {D}[X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}

Itsenäisyystapahtumat

Anna . Sitten . $X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ ${\mathbb {P}}(X>s+t\mid X\geqslant s)={\mathbb {P}}(X>t)$

Esimerkki. Anna linja-autojen pysähtyä satunnaisesti, mutta tietyllä kiinteällä keskimääräisellä intensiteetillä. Tällöin matkustajan linja-autoa odotellessa jo käyttämä aika ei vaikuta siihen aikaan, jonka hän vielä joutuu odottamaan.

Suhde muihin jakeluihin

Eksponenttijakauma on tyypin X Pearson-jakauma [2] .
Riippumattomien eksponentiaalisten satunnaismuuttujien minimi on myös eksponentiaalinen satunnaismuuttuja. Olkoon riippumattomat satunnaismuuttujat, ja . Sitten [3] : $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda _{i})$

Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n} \lambda _{i}\right).

Eksponentiaalinen jakauma on gamma-jakauman erikoistapaus :

\mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda ).

Riippumattomien identtisesti jakautuneiden eksponentiaalisten satunnaismuuttujien summalla on gamma-jakauma. Olkoon riippumattomat satunnaismuuttujat, ja . Sitten: $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda ).

Eksponentiaalinen jakauma saadaan jatkuvasta tasajakaumasta käänteismuunnosmenetelmällä . Anna . Sitten: $U\simU[0,1]$

X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).

Eksponentiaalinen jakauma parametrin kanssa on khin neliöjakauman erikoistapaus : $\lambda=1/2$

\mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).

Eksponentiaalinen jakauma on Weibull-jakauman erikoistapaus .
Olkoon riippumattomat satunnaismuuttujat, ja ja . Sitten: $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda )$ $Y=\max {X_{1},...,X_{n)),Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\ frac {X_{n}}{n}}}$

P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n} .

Muistiinpanot

↑ Andrey Rukosuev, Viktor Bashlykov, Konstantin Baldin. Todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilastotieteen perusteet. Oppikirja . - Litraa, 26.3.2016. - S. 80. - 489 s. — ISBN 9785457365889 .
↑ Korolyuk, 1985 , s. 135.
↑ Viktor Kashtanov, Aleksei Medvedev. Monimutkaisten järjestelmien luotettavuusteoria . - 2018. - S. 498. - 608 s.

Kirjallisuus

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen käsikirja. - M .: Nauka, 1985. - 640 s.

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula