Kopula

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15.7.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Copula ( lat. copula "yhteys, nippu") on moniulotteinen jakaumafunktio , joka on määritelty -ulotteiselle yksikkökuutiolle siten , että jokainen sen marginaalijakauma on tasainen välissä . $n$ $[0,\;1]^{n}$ $[0,\;1]$

Sklarin lause

Sklarin lause on seuraava: mielivaltaiselle kaksiulotteiselle jakaumafunktiolle, jossa on yksiulotteisia marginaalijakaumafunktioita ja on olemassa kopula, joka $H(x,\;y)$ $F(x)=H(x,\;\infty )$ $G(y)=H(\infty ,\;y)$

H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),

jossa tunnistamme jakauman sen jakautumisfunktiolla. Kopula sisältää kaiken tiedon kahden satunnaismuuttujan välisen suhteen luonteesta, jota ei löydy marginaalijakaumista, mutta se ei sisällä tietoa marginaalijakaumista. Tämän seurauksena tiedot marginaaleista ja tiedot niiden välisestä riippuvuudesta erotetaan kopulalla toisistaan. $C$

Jotkut kopulan ominaisuudet ovat:

C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,

C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.

Fréchet-Hoefding bounds for copula

Minimikopula on kaikkien kopuloiden alaraja, vain kaksiulotteisessa tapauksessa se vastaa tiukasti negatiivista korrelaatiota satunnaismuuttujien välillä:

W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).

Maksimikopula on yläraja kaikille kopulalle, joka vastaa tiukasti positiivista korrelaatiota satunnaismuuttujien välillä:

M(x,\;y)=\min(x,\;y).

Archimedean kopulat

Yksi erityinen yksinkertainen kopulan muoto:

C(x,\;y)=\Psi ^{{-1}}(\Psi (x)+\Psi (y)),

jossa sitä kutsutaan generaattorifunktioksi . Tällaisia kopuloita kutsutaan Arkhimedeolaisiksi . Mikä tahansa generaattorifunktio, joka täyttää seuraavat ominaisuudet, toimii perustana oikealle kopulalle: $\psi$

\Psi (1)=0;\quad \lim _{{x\to 0}}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x) >0.

Tulokupula , jota kutsutaan myös itsenäiseksi kopulaksi , on kopula, jolla ei ole riippuvuuksia muuttujien välillä, sen tiheysfunktio on aina yhtä suuri kuin yksi.

\Psi (x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.

Claytonin kopula:

\Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^{\theta }+y^{\theta }-1 )^{{1/\theta }}.

Sillä Claytonin kopulassa satunnaismuuttujat ovat tilastollisesti riippumattomia . $\theta=0$

Generaattorifunktion lähestymistapaa voidaan laajentaa luomaan moniulotteisia kopuloita yksinkertaisesti lisäämällä muuttujia.

Empiirinen kopula

Tuntemattoman jakauman dataa analysoitaessa on mahdollista rakentaa "empiirinen kopula" konvoluutiolla siten, että marginaalijakaumat ovat tasaisia. Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa näin:

C_{n}\left({\frac {i}{n)),{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot

Sellaisten parien lukumäärä

(x,y)

x\leq x_{{(i)}}{\teksti{ ja }}y\leq y_{{(j)}}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n

missä x ( i ) edustaa x :n i :nnen kertaluvun tilastoa .

Gaussin kopula

Gaussin kopuloita käytetään laajalti rahoitusalalla. N-ulotteisessa tapauksessa kopula voidaan esittää muodossa [1] [2] :

C\left[G_{1}(u_{1}),...,G_{n}(u_{n})\right]=\Phi _{n}\left[\Phi ^{- 1}(G_{1}(u_{1})),...,\Phi ^{-1}(G_{n}(u_{n})),\rho _{\Phi }\right]

missä:

$G_{i}(u_{i})$ — yksityiset jakelut;
${\displaystyle \Phi _{n))$ — n-ulotteinen yhteisen normaalijakauma positiivisella puolimääräisellä dimensiokorrelaatiomatriisilla ; ${\displaystyle \rho _{\Phi ))$ $n\ kertaa n$
$\Phi ^{-1}$ on Gaussin jakauman käänteisfunktio .

Sovellukset

Copula-riippuvuusmallinnusta käytetään laajasti taloudellisten riskien arvioinnissa ja vakuutusanalyysissä, esimerkiksi vakuudellisten velkasitoumusten (CDO) hinnoittelussa [3] . Lisäksi kopuloita on sovellettu joustavana työkaluna myös muihin vakuutustehtäviin.

Katso myös

Riippumattomuus (todennäköisyysteoria)

Muistiinpanot

↑ Meissner, Gunter. 4.3.1 Gaussian Copula // Korrelaatioriskien mallinnus ja hallinta : sovellettu opas, joka sisältää Basel III -korrelaatiokehyksen . - Wiley, 2014. - S. 76. - ISBN 111879690X .
↑ Blagoveshchensky Yu. N. Kopulateorian pääelementit // Applied Econometrics. - 2012. - Nro 2 (26) . - S. 113-130 .
↑ Meneguzzo, David (2003), Copula-herkkyys vakuudellisissa velkasitoumuksissa ja korin maksukyvyttömyysswapeissa , Journal of Futures Markets , osa 24 (1): 37–70 , DOI 10.1002/fut.10110

Kirjallisuus

Blagoveshchensky Yu. N. Kopulateorian pääelementit // Applied Econometrics, No. 2 (26), 2012. S. 113-130.
Clayton David G. Malli assosiaatiolle kaksimuuttujaisten elinaikataulukoiden ja sen soveltaminen epidemiologisissa tutkimuksissa familiaalista taipumusta kroonisen sairauden esiintyvyyden. - Biometria . - 1978. - 65. - s. 141-151. JSTOR (tilaus)
Frees, EW, Valdez, EA Suhteiden ymmärtäminen kopuloiden avulla. — North American Actuarial Journal. - 1998. - 2. - s. 1-25.
Nelsen Roger B. Johdatus kopulaan. - Springer , 1999. - 236 s. — ISBN 0-387-98623-5 .
Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. - Wiley, 2005. - 369 s. — ISBN 0-471-71886-6 .
Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures margins. - Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris. - 1959. - 8. - s. 229-231.

Linkit

Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Esimerkkejä kopuloiden luomisesta Matlabissa

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula