Binomijakauma

Binomijakauma
Todennäköisyysfunktio
jakelutoiminto
Nimitys	$B(n,p)$
Vaihtoehdot	$n \geqslant 0$ - "kokeilujen" määrä - "menestyksen" todennäköisyys $0\leqslant p\leqslant 1$
Kuljettaja	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\))$
Todennäköisyysfunktio	${\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{nk}$
jakelutoiminto	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Odotettu arvo	$np$
Mediaani	Yksi $\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
Muoti	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor$
Dispersio	$npq$
Epäsymmetriakerroin	${\displaystyle {\frac {qp}{\sqrt {npq))))$
Kurtoosikerroin	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Differentiaalinen entropia	${\frac 12}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n))\oikea )$
Hetkien funktion luominen	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n))$
ominaista toimintoa	$(q+pe^{it})^{n}$

Binomijakauma parametreilla ja todennäköisyysteoriassa - "onnistumisen" lukumäärän jakautuminen riippumattomien satunnaiskokeiden sarjassa siten, että " onnistumisen" todennäköisyys kussakin niistä on vakio ja yhtä suuri kuin . $n$ $s$ $n$ $s$

Määritelmä

Olkoon riippumattomien satunnaismuuttujien äärellinen sarja , jolla on sama Bernoulli-jakauma parametrin kanssa, eli jokaiselle arvo saa arvot ("onnistuminen") ja ("epäonnistuminen") todennäköisyyksien ja vastaavasti. Sitten satunnaismuuttuja ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ $s$ $i=1,\ldots ,n$ $X_{i}$ $yksi$ $0$ $s$ $q = 1-p$

Y=X_{1}+X_{2}+\lpisteet +X_{n}

on binomijakauma parametreilla ja . Tämä on kirjoitettu näin: $n$ $s$

Y\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)

Satunnaismuuttuja tulkitaan yleensä onnistumisten lukumääräksi identtisten riippumattomien Bernoulli-kokeiden sarjassa, jossa on onnistumisen todennäköisyys jokaisessa kokeessa. $Y$ $n$ $s$

Todennäköisyysfunktio saadaan kaavalla:

p_{Y}(k)\equiv {\mathbb {P}}(Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{{nk)),\ \ k =0,\lpistettä ,n,

missä

{\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(nk)!\,k!)}}

on binomikerroin .

Jakelufunktio

Binomijakauman jakautumisfunktio voidaan kirjoittaa summana:

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=\sum \limits _{{k=0}}^{{\lfloor y\rfloor }}{\binom {n }{k}}\,p^{k}q^{{nk}},\;y\in {\mathbb {R}}

jossa tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka ei ylitä , tai epätäydellisenä beetafunktiona : $\lfloor y\rfloor$ $y$

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=I_{{1-p}}(n-\lfloor y\rfloor ,\lfloor y\rfloor +1)

Moments

Binomijakauman momenttien generoiva funktio on muotoa:

M_{Y}(t)=\vasen(pe^{t}+q\oikea)^{n}

missä

{\mathbb {E}}[Y]=np

{\mathbb {E}}\left[Y^{2}\right]=np(q+np)

ja satunnaismuuttujan varianssi .

{\mathbb {D}}[Y]=npq

Binomijakauman ominaisuudet

Anna ja . Sitten . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)$ $Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)$ $p_{{Y_{1}}}(k)=p_{{Y_{2}}}(nk)$
Anna ja . Sitten . $Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1},p)$ $Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{2},p)$ $Y_{1}+Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1}+n_{2},p)$

Suhde muihin jakeluihin

Jos , niin saamme Bernoullin jakauman . $n = 1$
Jos se on suuri, niin keskusrajalauseen nojalla missä on normaalijakauma matemaattisella odotuksella ja varianssilla . $n$ ${\mathrm {Bin}}(n,p)\noin N(np,npq)$ $N(np,npq)$ $np$ $npq$
Jos a on suuri ja kiinteä luku, niin , missä on Poisson-jakauma parametrilla . $n$ $\lambda$ ${\mathrm {Bin}}(n,\lambda /n)\noin {\mathrm {P}}(\lambda )$ ${\mathrm {P}}(\lambda )$ $\lambda$
Jos satunnaismuuttujilla ja on binomiaalijakaumat ja vastaavasti, niin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdon alla on hypergeometrinen . $X$ $Y$ $\mathrm {Bin} (D,p)$ $\mathrm {Bin} (ND,p)$ $X$ $X+Y=n$ ${\mathrm {HG}}(D,N,n)$

Katso myös

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula