Paikallinen de Moivre-Laplace -lause

Moivre - Laplace - lause on yksi todennäköisyysteorian rajoittavista lauseista, jonka Laplace perusti vuonna 1812 . Jos jokaisessa riippumattomassa kokeessa jonkin satunnaisen tapahtuman esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin ja on niiden kokeiden lukumäärä, joissa se todella tapahtuu, niin epäyhtälön validiteetin todennäköisyys on lähellä (suurille ) arvoa Laplace-integraali. $n$ $E$ $p\in(0,1)$ $m$ $E$ $n$

Sovellus

Kun tarkastellaan tapahtuman esiintymistiheyttä Bernoulli -kokeissa, on useimmiten tarpeen löytää todennäköisyys, joka on joidenkin arvojen ja välillä . Koska riittävän suurille väli sisältää suuren määrän ykkösiä, niin binomijakauman suora käyttö $m$ $A$ $n$ $m$ $a$ $b$ $n$ $[a,b]$

$p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(nm)!}}p^{m}q^{{nm}}$

vaatii hankalia laskelmia, koska on tarpeen laskea yhteen suuri määrä tämän kaavan määrittämiä todennäköisyyksiä.

Siksi binomijakauman asymptoottista lauseketta käytetään, jos se on kiinteä, ja . Moivre-Laplacen lauseessa sanotaan, että tällainen asymptoottinen lauseke binomiaalijakaumalle on normaalifunktio. $s$ $n\rightarrow +\infty$

Sanamuoto

Jos Bernoullin mallissa on taipumus äärettömyyteen, arvo on vakio ja arvo on rajoitettu tasaisesti ja ( eli ), niin $n$ $p\in(0,1)$ $x_{m}={\frac {m-np}{{\sqrt {npq))))$ $m$ $n$ $\exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty$

$P_{n}(m)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}} \oikea)(1+\alpha _{n}(m))$

missä . $\left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0$

Likimääräinen kaava

$P_{n}(m)\noin {\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2)){2} }\oikea)$

on suositeltavaa hakea osoitteessa ja . $n>100$ $m>20$

Todiste

Lauseen todistamiseksi käytämme matemaattisen analyysin Stirlingin kaavaa :

s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s)),

(yksi)

missä . $0<\theta _{s}<1/{12s}$

Suurissa arvoissa arvo on hyvin pieni, ja likimääräinen Stirlingin kaava kirjoitettu yksinkertaisessa muodossa $s$ $\theta$

s!={\sqrt {2\pi }}s^{{s+1/2}}e^{{-s}}

(2)

antaa pienen suhteellisen virheen, joka pyrkii nopeasti nollaan . $s\rightarrow +\infty$

Olemme kiinnostuneita arvoista , jotka eivät poikkea kovinkaan todennäköisimmästä. Sitten, kiinteässä ehdossa , se tarkoittaa myös sitä $m$ $s$ $n\rightarrow +\infty$

m\rightarrow +\infty ,nm\rightarrow +\infty .

(3)

Siksi Stirlingin likimääräisen kaavan käyttö kertoimien korvaamiseksi binomijakaumassa on pätevää, ja saamme

p_{n}(m)\noin {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(nm)}}}\left({\frac {np}{m}}\oikea)^{ m}\left({\frac {nq}{nm}}\oikea)^{nm}.

(neljä)

Sinun on myös käytettävä suhteellisen tiheyden poikkeamaa todennäköisimmästä arvosta:

x_{m}={\frac {m}{n}}-p.

(5)

Sitten lauseke (4) saa muodon:

p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{ \frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^ {-n(q-x_{m})}.

(6)

Teeskennetäänpä sitä

x_{m}<pq.

(7)

Ottaen toisen ja kolmannen yhtäläisyystekijän (6) logaritmin, käytämme Taylor-sarjan laajennusta:

-n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln { \left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=

-n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{ 2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_ {m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3} }}-\cdots\right)\right].

(kahdeksan)

Järjestämme tämän valtuuksien laajennuksen ehdot : $x_{m}$

-n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\ oikea)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2} }}\oikea)+\cdots\right].

(9)

Oletetaan, että klo $n\rightarrow +\infty ,$

nx_{m}^{3}\rightarrow 0.

(kymmenen)

Tämä ehto, kuten jo edellä mainittiin, tarkoittaa, että arvioidut arvot eivät ole kovin kaukana todennäköisimmästä. On selvää, että (10) varmistaa (7) ja (3) täyttymisen. $m$

Jättäen nyt huomioimatta laajennuksen (6) toisen ja sitä seuraavat termit, huomaamme, että (8):n oikealla puolella olevan tulon toisen ja kolmannen termin tulon logaritmi on yhtä suuri kuin

-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.

(yksitoista)

Hylkäämällä ensimmäisen tekijän (6) suluissa olevat pienet termit saadaan

p_{n}(m)\approx \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq))}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq }}x_{m}^{2}\right)}.

(12)

Merkitsee

\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},

(13)

kirjoita (12) uudelleen muotoon

p_{n}(m)\noin {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{ \frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),

(neljätoista)

Missä on normaali toiminto. $\varphi (x_{m})$

Koska välissä on vain yksi kokonaisluku , voidaan sanoa, että väliin putoaminen on todennäköistä . Kohdasta (5) seuraa, että muutos 1: llä vastaa muutosta $[m, m+1)$ $m$ $p_{n}(m)$ $m$ $[m, m+1)$ $m$ $x_{m}$

\Delta x={\frac {1}{n)).

(viisitoista)

Siksi todennäköisyys putoaa väliin on yhtä suuri kuin todennäköisyys putoaa väliin $m$ $[m, m+1)$ $x_{m}$ $[x_{m0},x_{m0}+\Delta x),$

P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.

(16)

Jos , niin yhtälö (16) osoittaa myös, että normaalifunktio on satunnaismuuttujan tiheys . $n\rightarrow +\infty$ $\Delta x\rightarrow +0$ $\varphi(x)$ $x_{m}$

Jos siis suhteellisen frekvenssin poikkeamalle todennäköisimmästä arvosta pätee asymptoottinen kaava (16), jossa on c:n ja :n normaalifunktio . $n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0$ $\varphi(x)$ $x_{m}=0$ $\sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}$

Siten lause on todistettu.

Kirjallisuus

Gmurman V. E. Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto, - M .: Korkeakoulutus. 2005
Shiryaev A. N. Todennäköisyys, - M. : Nauka. 1989.
Chistyakov V.P. Todennäköisyysteorian kurssi, Moskova , 1982.