Weibullin jakelu

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. lokakuuta 2013 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 44 muokkausta .

Weibullin jakelu
Todennäköisyystiheys
jakelutoiminto
Nimitys	$\mathrm{W}(k,\lambda)$
Vaihtoehdot	$\lambda >0$ - mittakaavatekijä , - muotokerroin $k>0$
Kuljettaja	$x\in [0;+\infty )$
Todennäköisyystiheys	$(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}$
jakelutoiminto	$1-e^{-(x/\lambda)^k}$
Odotettu arvo	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$
Mediaani	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k))$
Muoti	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ varten $k>1$
Dispersio	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$
Epäsymmetriakerroin	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$
Kurtoosikerroin	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac 4k}\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+{\frac 3k}\right) +6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac 2k}\right)-3\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$
Differentiaalinen entropia	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\oikea)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\oikea)$
Hetkien funktion luominen	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
ominaista toimintoa	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$

Todennäköisyysteorian Weibull-jakauma on kaksiparametrinen ehdottoman jatkuvien jakaumien perhe . Nimetty Waloddy Weibullin mukaan, joka kuvaili sitä yksityiskohtaisesti vuonna 1951, vaikka Fréchet määritteli sen ensimmäisen kerran vuonna 1927, ja sitä käytettiin jo vuonna 1933 kuvaamaan hiukkaskokojen jakautumista.

Määritelmä

Anna satunnaismuuttujan jakauma tiheydellä , jolla on muoto: $X$ $f_{X}(x)$

f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left (\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{matrix} \right..

Sitten sanomme, että sillä on Weibull-jakauma. Kirjoita :. $X$ $X\sim \mathrm {W} (k,\lambda )$

Jos X :n arvoksi otetaan aika epäonnistumiseen , saadaan jakauma, jossa vikasuhde on verrannollinen aikaan. Sitten:

k < 1 osoittaa, että epäonnistumisprosentti pienenee ajan myötä
k = 1 osoittaa, että epäonnistumisprosentti ei muutu ajan myötä
k > 1 osoittaa, että epäonnistumisprosentti kasvaa ajan myötä

Materiaalitieteessä kerroin k tunnetaan Weibull-moduulina .

Ominaisuudet

Tiheysfunktio

Weibull-tiheysfunktion muoto riippuu voimakkaasti k :n arvosta . Kun 0 < k < 1, tiheys pyrkii äärettömyyteen ja pienenee tiukasti. Kun k = 1, tiheys pyrkii arvoon 1/λ ja se pienenee tiukasti. Kun k > 1, tiheys pyrkii arvoon 0 kohdassa , kasvaa kunnes saavuttaa moodinsa ja pienenee sen jälkeen. On mielenkiintoista huomata, että tiheydellä on ääretön negatiivinen kulmakerroin kohdassa x = 0, kun 0 < k < 1, ääretön positiivinen kulmakerroin kohdassa x = 0, kun 1 < k < 2, ja nolla kulmakerroin kohdassa x = 0 kun k > 2. Kun k = 2, tiheydellä on äärellinen positiivinen kulmakerroin kohdassa x = 0. Kohteessa , Weibull-jakauma konvergoi deltafunktioon, jonka keskipiste on x = λ . Lisäksi epäsymmetriakerroin ja variaatiokerroin riippuvat vain muotokertoimesta. $x\to 0+$ $x\to 0+$ $x\to 0+$ $k\to \infty$

Jakelufunktio

Weibullin jakelufunktio:

F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k))

x ≥ 0 ja F (x; k; λ) = 0 x < 0

Weibull-jakauman kvantiili :

{\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k))

0 ≤ p < 1.

Vikaprosentti h :

h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.

Moments

Weibull-jakauman satunnaismuuttujan logaritmin momenttien funktion generointi

\mathbb {E} \left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k))+1\oikea),

missä Γ on gammafunktio . Vastaavasti X :n logaritmin ominaisfunktio saadaan kaavalla

\mathbb {E} \left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k))+1\oikea).

Weibull-jakauman satunnaismuuttujan momenteilla on muoto $X$

\mathbb{E}\left[X^n\oikea] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\oikea)

, missä on gammafunktio ,

\Gamma

missä

\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\vasen(1 + \frac{1}{k}\oikea)

\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \vasen[\Gamma\vasen(1 + \frac{2}{k}\oikea) - \Gamma^2\vasen(1 + \frac{1}{ k}\oikea)\oikea]

Epäsymmetriakerroin saadaan funktiosta

\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k))\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2} -\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}

Kurtoosikerroin

\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{ 2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{ 2}}},

missä , voidaan kirjoittaa myös: $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$

\gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k)))-4\gamma _{1}\sigma ^{3} \mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3

Hetkien funktion luominen

Itse hetken generoivalle funktiolle on monia lausekkeita. $X$

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{ n!}}\Gamma \vasen(1+{\frac {n}{k}}\oikea).

Voit myös työskennellä suoraan integraalin kanssa

\mathbb {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left( {\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.

Jos kerroin k oletetaan olevan rationaaliluku , joka ilmaistaan muodossa k = p/q , missä p ja q ovat kokonaislukuja, integraali voidaan laskea analyyttisesti. [1] Kun t on korvattu -t :llä , saadaan

\mathbb {E} \left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k))}\,{\frac {p ^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\, q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p)),{\frac {2-k}{p)),\pisteet ,{\frac {pk}{p))\\{\frac {0}{q)),{\frac {1}{q)),\dots ,{\frac {q-1}{q))\end{matriisi }}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\oikea)^{q}}}\oikea ),

jossa G on Meyerin G-funktio.

Tietoentropia

Tietoentropia annetaan tällä tavalla

H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k }}\oikea)+1,

missä on Euler-Mascheronin vakio . $\gamma$

Kertoimien estimointi

Suurin todennäköisyys

Kertoimen enimmäistodennäköisyysarvio $\lambda$

{\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}

varten $k$

{\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}

Ehdollinen Weibull-luotettavuustoiminto

2-parametrisessa Weibull-jakaumassa funktiolla on muoto:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t}{\ lambda }}\oikea)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T}{\lambda }}\oikea)^{k}}}}

tai

R(t|T)=e^{-\left[\left({\frac {T+t}{\lambda }}\right)^{k}-\left({\frac {T} {\lambda }}\right)^{k}\right]}

3-parametriselle:

R(t|T)={\frac {R(T+t)}{R(T)))={\frac {e^{-\left({\frac {T+t-\theta }{\lambda }}\oikea)^{k}}}{e^{-\left({\frac {T-\theta }{\lambda }}\oikea)^{k}}}}

Sitä kutsutaan ehdolliseksi, koska se näyttää todennäköisyyden, että objekti toimii pidempään , jos se on jo toiminut . $t$ $T$

Weibullin juoni

Weibull-jakauman tiedot voidaan arvioida visuaalisesti käyttämällä Weibull-diagrammia [2] . Tämä on QQ-tyyppinen kaavio näytejakaumafunktiosta erikoisakseleilla. Akselit - ja Syy muuttujien muutokseen on se, että näyte Weibull-jakaumafunktio voidaan esittää lineaarisessa muodossa $\ln(-\ln(1-{\hat {F))(x)))$ $\ln(x)$

{\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k))\\-\ln(1-F(x))&=(x/ ? \textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}

Siksi, jos tiedot ovat peräisin Weibull-jakaumasta, Weibull-kaaviossa voidaan odottaa suoraa viivaa.

On monia tapoja saada otosjakaumafunktio tiedoista: yksi tapa on saada kunkin pisteen pystysuora koordinaatti käyttämällä , jossa on datapisteen sijoitus ja pisteiden kokonaismäärä. [3] ${\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}$ $i$ $n$

Käyttö

Weibull-jakaumaa käytetään:

Selviytymisanalyysissä _
Luotettavuus- ja vikaanalyysissä
Sähkötekniikassa edustamaan sähköpiireissä esiintyvää ylijännitettä
Teollisuustekniikassa _
Ääriarvoteoriassa

Sääennusteissa _
- Kuvaa tuulen nopeuden jakaumaa jakaumana, joka yleensä vastaa Weibullin jakaumaa tuulivoimassa
Tutkajärjestelmissä joidenkin tyyppisten häiriöiden aiheuttaman vastaanotetun signaalitason hajaantumisen mallintamiseen
Signaalin häipymisen mallintamisessa langattomassa tietoliikenteessä
Teknologisen muutoksen ennustamisessa
Hydrologiassa Weibullin jakaumaa voidaan soveltaa ääritapahtumiin, kuten vuotuisiin sateisiin päivässä tai joen tulvimiseen. Kuvassa näkyy tällainen vastaavuus sekä 90 % :n luottamusväli binomijakauman perusteella .
Murskaamalla, jauhamalla tai murskaamalla saatujen hiukkasten koon kuvauksessa
Laskentataulukoissa käytetystä saavutettavuudesta johtuen , kun taustalla oleva käyttäytyminen on itse asiassa paremmin kuvattu Erlang - jakaumalla

Suhde muihin jakeluihin

Tavallinen Weibull-jakauma pelkistyy muuttujan muutoksella gamma-jakaumaan .
3-parametrinen Weibull-jakauma. Siinä on tiheystoiminto

f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-( {x-\theta \over \lambda })^{k}}

missä ja f ( x ; k , λ, θ) = 0, kun x < θ, missä on muotokerroin, on skaalaustekijä ja on jakauman siirtokerroin . Kun θ=0, se pelkistyy 2-parametriseen Weibull-jakaumaan. $x\geq \theta$ $k>0$ $\lambda >0$ $\theta$

1-parametrinen Weibull-jakauma. Se on johdettu olettaen ja : $\theta=0$ $k=C=Vakio$

f(t)={\frac {C}{\lambda }}\left({\frac {t}{\lambda }}\right)^{C-1}e^{-\left({ \frac {t}{\lambda }}\right)^{C}}

Weibull-jakauma voidaan saada eksponentiaalin funktiona .

Jos on parametrin eksponentiaalinen jakauma , niin satunnaismuuttujalla on Weibull-jakauma . Todisteeksi harkitse jakelufunktiota : $X$ $\operaattorin nimi {Exp} (\lambda )$ $\lambda$ $Y=X^{1/k}~(k>0)$ $\operaattorin nimi {W} (\lambda ^{1/k},k)$ $Y$

$F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{1/k}\leq y)=P(X\leq y^{k})=1-e^{ -\lambda \cdot y^{k}}=1-e^{-(\lambda ^{1/k}\cdot y)^{k}},~y>0$

Tuloksena oleva funktio on Weibull-jakauman jakautumisfunktio.

Käänteinen muunnosmenetelmä : jos , niin $U\sim \mathrm {U} (0,1)$

\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda)

Fréchet-jakauman kanssa: jos , niin . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}(k=\alpha ,\lambda =m)$ ${\tfrac {m^{2}}{\mathrm {X} }}\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)$
Gumbel-jakauman kanssa: jos , niin . $\mathrm {X} \sim {\textrm {Weibull}}$ $\log(X)\sim {\textrm {Gumbel))$
Rayleigh-jakauma on Weibull-jakauman erikoistapaus ja [4] $k = 2$ $\lambda ={\sqrt {2}}\sigma$
Weibull-jakauma on erikoistapaus ääriarvojen yleistetystä jakaumasta [5]
Ensimmäistä kertaa Weibull-jakaumaa sovellettiin kuvaamaan hiukkaskokojakaumaa. Sitä on käytetty laajasti mineraalien käsittelyssä hionnan aikana . Tässä asiayhteydessä

jakelufunktiolla on muoto

f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{ \rm {80}}}}\oikea)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}

missä

x

: Hiukkaskoko

P_{\rm {80}}

: hiukkaskokojakauman 80. persentiili

m

: Jakauman vaihteluväliä kuvaava kerroin

Muistiinpanot

↑ Katso ( Cheng, Tellambura & Beaulieu 2004 ) kokonaisluvun k tapauksesta ja ( Sagias & Karagiannidis 2005 ) rationaalisesta tapauksesta.
↑ Weibullin juoni . Käyttöpäivä: 20. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 25. maaliskuuta 2008. (määrätön)
↑ Wayne Nelson (2004) Applied Life Data Analysis . Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5
↑ Rayleigh Distribution - MATLAB & Simulink - MathWorks Australia . Haettu 21. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 12. lokakuuta 2014. (määrätön)
↑ Maailman ilmatieteen järjestö. Opas hydrologiseen harjoitteluun. - 6. - Sveitsi, 2012. - V. 2. - S. 165. - ISBN 978-92-63-40168-7 ..

Kirjallisuus

Fréchet, Maurice (1927), Sur la loi de probabilité de l'écart maximum, Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie T. 6: 93–116 .
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel & Balakrishnan, N. (1994), Jatkuvat yksimuuttujat. Voi. 1 (2. painos), Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-58495-7
Muraleedharan, G.; Rao, AD; Kurup, PG & Nair, N. Unnikrishnan (2007), Modified Weibull Distribution for Maxim and Significant Wave Height Simulation and Prediction , Coastal Engineering osa 54(8): 630–638 , doi 10.1016/j.coastaleng.5.007.
Muraleedharan, G. & Soares, CG (2014), Characteristic and Moment Generating Functions of Generalized Pareto (GP3) and Weibull Distributions , Journal of Scientific Research and Reports , osa 3 (14): 1861–1874 , DOI 10.9734/J4SRR /10087 .
Rosin, P. & Rammler, E. (1933), The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal, Journal of Institute of Fuel, osa 7: 29–36 .
Sagias, Nikos C. & Karagiannidis, George K. (2005), Gauss-luokan monimuuttuja Weibull-jakaumat: teoria ja sovellukset häipymiskanavissa , Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory vol. 51 (10): 3608-3619, ISSN 0018-9448 , doi : 10.1109/TIT.2005.855598 , < http://pelopas.uop.gr/~nsagias/Files/Papers/2/05/Journals J4_2005.pdf > (linkki ei saatavilla)
Weibull, W. (1951), A tilastollinen jakautumisfunktio, jolla on laaja käyttökelpoisuus , J. Appl. Mech.-Trans. ASME T. 18(3): 293-297 , < http://www.barringer1.com/wa_files/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf > .
Teknisten tilastojen käsikirja . National Institute of Standards and Technology (2008). (määrätön)
Nelson, Jr., Ralph Dispersing Powders in Liquids, osa 1, luku 6: Hiukkasten tilavuuden jakautuminen (5. helmikuuta 2008). Haettu 5. helmikuuta 2008. Arkistoitu alkuperäisestä 13. helmikuuta 2008. (määrätön)
Levin B.R. Luotettavuuden käsikirja. — Luotettavuuden käsikirja / Toim. Levina B.R., 3 osaa, V.1. M.: Mir, 1969, 339 s. - M.: Mir, 1969. - S. 176. - 339 s.
J. Cheng, C. Tellambura ja N. C. Beaulieu Weibull-häipyvien kanavien digitaalisten modulaatioiden suorituskykyanalyysi / Proc. IEEE Veh. Technol. Conf. 2004.

Linkit

Weibull-jakaumafunktion esimerkkejä
Weibullin jakelu
Weibullin juoni
Weibull-jakauman piirtäminen excelissä (venäjä)

Todennäköisyysjakaumat
Diskreetti	Bernoulli Binomi Geometrinen hypergeometrinen Logaritminen Negatiivinen binomi Poisson Diskreetti univormu Multinomi
Ehdottomasti jatkuvaa	Beeta Weibulla Gamma- hypereksponentiaalinen Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormaali Normaali (Gaussin) Logistinen Nakagami Pareto Pearson puoliympyrän muotoinen jatkuva yhtenäinen Riisi Rayleigh Opiskelija Tracey - Vidoma Fisher Chi-neliö Eksponentiaalinen Varianssi-gamma Monimuuttuja normaali kopula