Kalman suodatin

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. lokakuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Kalman-suodatin on tehokas rekursiivinen suodatin , joka arvioi dynaamisen järjestelmän tilavektorin käyttämällä useita epätäydellisiä ja kohinaisia mittauksia. Nimetty Rudolf Kalmanin mukaan .

Kalman-suodatinta käytetään laajasti suunnittelu- ja ekonometrisissä sovelluksissa tutka- ja näköjärjestelmistä makrotaloudellisten mallien parametrien arviointeihin [1] [2] . Kalman-suodatus on tärkeä osa ohjausteoriaa ja sillä on suuri rooli ohjausjärjestelmien luomisessa. Yhdessä lineaari-neliöohjauksen kanssa Kalman-suodatin mahdollistaa lineaari-neliöllisen Gaussin ohjauksen ongelman ratkaisemisen . Kalman-suodatin ja lineaari-neliöohjain ovat mahdollinen ratkaisu useimpiin säätöteorian perusongelmiin.

Useimmissa sovelluksissa kohteen tilavektorin ulottuvuus ylittää havaintodatavektorin ulottuvuuden . Samalla Kalman-suodatin mahdollistaa kohteen täydellisen sisäisen tilan arvioinnin.

Kalman-suodatin on tarkoitettu a priori tunnetun dynaamisen järjestelmän tilavektorin rekursiiviseen aliarviointiin, eli järjestelmän nykyisen tilan laskemiseksi on tiedettävä nykyinen mittaus sekä suodattimen aiempi tila. itse. Siten Kalman-suodatin, kuten muutkin rekursiiviset suodattimet, on toteutettu ajallisesti, ei taajuusesityksenä, mutta toisin kuin muut vastaavat suodattimet, Kalman-suodatin toimii paitsi tilaestimaattien, myös estimaattien epävarmuuden (jakauman tiheyden) kanssa. tilavektori, joka perustuu Bayesin ehdollisen todennäköisyyden kaavaan .

Algoritmi toimii kahdessa vaiheessa. Ennustevaiheessa Kalman-suodatin ekstrapoloi tilamuuttujien arvot sekä niiden epävarmuudet. Toisessa vaiheessa (jollakin virheellä saatujen) mittaustietojen mukaan ekstrapolointitulos tarkennetaan. Algoritmin vaiheittaisesta luonteesta johtuen se voi seurata kohteen tilaa reaaliajassa (katsomatta eteenpäin, käyttämällä vain tämänhetkisiä mittauksia ja tietoa edellisestä tilasta ja sen epävarmuudesta).

On olemassa harhakäsitys, että Kalman-suodattimen oikea toiminta edellyttäisi syöttödatan Gaussin jakaumaa. Kalmanin alkuperäisessä työssä tulokset minimisuodattimen kovarianssista saatiin ortogonaalisten projektioiden perusteella ilman Gaussin mittausvirheiden oletusta [3] . Sitten yksinkertaisesti osoitettiin, että Gaussin virhejakauman erikoistapauksessa suodatin antaa tarkan arvion järjestelmän tilajakauman ehdollisesta todennäköisyydestä.

Selvä esimerkki suodattimen ominaisuuksista on saada optimaaliset, jatkuvasti päivitetyt arviot kohteen sijainnista ja nopeudesta sen sijainnin epätarkkojen mittausten aikasarjan tulosten perusteella. Esimerkiksi tutkassa tehtävänä on seurata kohdetta, määrittää sen sijainti, nopeus ja kiihtyvyys, kun taas mittaustulokset tulevat vähitellen ja ovat erittäin meluisia. Kalman-suodatin käyttää todennäköisyyspohjaista kohdedynamiikkamallia, joka määrittää todennäköisesti liikkuvan kohteen tyypin, mikä vähentää kohinan vaikutusta ja antaa hyvät arviot kohteen sijainnista nykyisellä, tulevalla tai menneellä hetkellä.

Johdanto

Kalman-suodatin toimii järjestelmän tilavektorin (parametrijoukko, joka kuvaa järjestelmän tilaa tietyllä hetkellä) ja sen tilastollisen kuvauksen kanssa. Yleisessä tapauksessa jonkin tilavektorin dynamiikkaa kuvaavat sen komponenttien jakauman todennäköisyystiheydet kullakin ajanhetkellä. Tietyn järjestelmän havaintojen matemaattisen mallin sekä tilavektorin parametrien a priori muutoksen mallin läsnä ollessa (eli Markovin muodostusprosessina ), voidaan kirjoittaa yhtälö a posteriori tilavektorin todennäköisyystiheys milloin tahansa. Tätä differentiaaliyhtälöä kutsutaan Stratonovichin yhtälöksi . Stratonovichin yhtälöä yleisessä muodossa ei ole ratkaistu. Analyyttinen ratkaisu voidaan saada vain useiden rajoitusten (oletusten) tapauksessa:

Tilavektorin Gaussin a priori ja a posteriori todennäköisyystiheydet millä tahansa ajanhetkellä (mukaan lukien alkuperäinen)
Gaussin muotoileva kohina
Gaussin havaintokohina
valkoisen melun havainnot
havaintomallin lineaarisuus
muovausprosessin mallin lineaarisuus (jonka, muistamme, täytyy olla Markovin prosessi)

Klassinen Kalman-suodatin on yhtälö posteriorisen todennäköisyystiheyden (matemaattisten odotusten vektorin ja varianssimatriisin, mukaan lukien keskinäiset) ensimmäisen ja toisen momentin laskemiseksi tietyin rajoituksin. Ottaen huomioon sen tosiasian, että normaalille todennäköisyystiheydelle matemaattinen odotus ja dispersiomatriisi määrittelevät täysin todennäköisyystiheyden, voidaan sanoa, että Kalman-suodatin laskee tilavektorin posteriorisen todennäköisyystiheyden kullakin ajanhetkellä ja siten täysin kuvaa tilavektorin satunnaisvektorisuureena.

Lasketut matemaattisten odotusten arvot ovat tässä tapauksessa optimaalisia arvioita neliövirheen kriteerin mukaan, mikä aiheuttaa sen laajan käytön.

On olemassa useita Kalman-suodattimia, jotka eroavat likiarvoista ja temppuista, joita on käytettävä suodattimen pienentämiseksi kuvattuun muotoon ja sen mittasuhteiden pienentämiseksi:

laajennettu Kalman-suodatin (EKF, laajennettu Kalman-suodatin). Epälineaaristen havaintomallien ja muotoiluprosessin yhteensovittaminen linearisoinnin kanssa Taylor-sarjan laajennuksen avulla ;
sigma-point Kalman-suodatin (UKF, hajusteeton Kalman-suodatin). Sitä käytetään ongelmissa, joissa yksinkertainen linearisointi johtaa hyödyllisten linkkien tuhoutumiseen tilavektorin komponenttien välillä. Tässä tapauksessa "linearisointi" perustuu sigma-pistemuunnokseen ;
Ensemble Kalman -suodatin (EnKF). Käytetään vähentämään ongelman laajuutta;
vaihtoehdot, joissa on epälineaarinen lisäsuodatin, ovat mahdollisia, mikä mahdollistaa ei-Gaussin havaintojen vähentämisen normaaleihin;
vaihtoehdot "valkaisusuodattimella" ovat mahdollisia, jolloin voit työskennellä "värillisen" kohinan kanssa ;
jne.

Lisäksi on olemassa Kalman-suodattimen analogeja, jotka käyttävät täysin tai osittain jatkuvan ajan mallia:

Kalman-Bucy-suodatin, jossa sekä järjestelmän kehitys että mittaukset ovat jatkuvan ajan funktioita;
hybridi Kalman-suodatin, joka käyttää jatkuvaa aikaa kuvaamaan järjestelmän kehitystä ja diskreettejä aikoja mittauksissa.

Historiallinen yleiskatsaus ja nimet

Suodatin on nimetty Yhdysvaltoihin muuttaneen unkarilaisen matemaatikon Rudolf E. Kalmanin mukaan, vaikka Thorvald Nicolai Thiele [4] [5] ja Peter Swerling kehittivät samanlaisen algoritmin aikaisemmin (Thiele käsitteli vain tiettyä asetusta, kun taas Swerlingin algoritmi on käytännössä identtinen Kalmanin kanssa). Richard S. Bucy Etelä-Kalifornian yliopistosta osallistui teoriaan, joka johti niin kutsuttuun Kalman-Bucy-suodattimeen. Stanley F. Schmidtiä pidetään ensimmäisenä, joka otti käyttöön Kalman-suodattimen Kalmanin vierailun aikana Amesin tutkimuskeskuksessa , joten Kalman näki ideoidensa soveltuvuuden Apollo-ohjelman liikeradan arvioinnin ongelmaan , mikä lopulta johti mukaan ottamiseen. tämän suodattimen Apollo-navigointijärjestelmässä. Swerling (1958), Kalman (1960) ja Kalman ja Bucy (1961) kuvasivat ja kehittivät ensin Kalman-suodattimen.

Kalman-suodattimet osoittautuivat kriittisiksi Yhdysvaltain laivaston ydinballististen ohjusten sukellusveneiden navigointijärjestelmien käyttöönotossa risteilyohjusten navigointijärjestelmissä, kuten Tomahawksissa . Sitä käytettiin myös NASAn Space Shuttle -projektin navigointi- ja ohjausjärjestelmissä, käytetään ISS :n ohjaus- ja navigointijärjestelmissä .

Digitaalista Kalman-suodatinta kutsutaan joskus Stratonovich-Kalman-Bucy-suodattimeksi, koska se on erikoistapaus yleisemmästä epälineaarisesta suodattimesta, jonka Neuvostoliiton matemaatikko R. L. Stratonovich on kehittänyt jonkin verran aikaisemmin [6] [7] [8] [9] . Itse asiassa jotkut lineaarisen suodattimen yksittäisten tapausten yhtälöt esiintyivät näissä Stratonovichin kirjoissa, jotka julkaistiin ennen kesää 1960, kun Kalman tapasi Stratonovichin konferenssissa Moskovassa.

Käytetty dynaaminen järjestelmämalli

Kalman - suodattimet perustuvat aikanäytteistettyihin lineaarisiin dynaamisiin järjestelmiin . Markovin ketjut mallintavat tällaisia järjestelmiä käyttäen lineaarisia operaattoreita ja termejä normaalijakaumalla . Järjestelmän tilaa kuvaa äärellisen ulottuvuuden vektori - tilavektori . Lineaarinen operaattori vaikuttaa jokaisessa aikavaiheessa tilavektoriin ja siirtää sen toiseen tilavektoriin (deterministinen tilanmuutos), johonkin normaalikohinavektoriin (satunnaistekijät) ja yleisessä tapauksessa ohjausvektoriin, joka simuloi tilavektorin vaikutusta. ohjausjärjestelmä on lisätty. Kalman-suodatinta voidaan pitää piilotettujen Markov-mallien analogina sillä erolla, että järjestelmän tilaa kuvaavat muuttujat ovat reaalilukujen äärettömän joukon elementtejä (toisin kuin piilotettujen Markovin mallien tilaavaruuden äärellinen joukko ). Lisäksi piilotetut Markov-mallit voivat käyttää mielivaltaisia jakaumia seuraaville tilavektoriarvoille, toisin kuin Kalman-suodatin, joka käyttää normaalijakaumaa kohinamallia. Kalman-suodattimen ja piilotetun Markovin mallin yhtälöiden välillä on tiukka suhde. Roweis ja Chahramani (1999) antavat katsauksen näistä ja muista malleista [10] .

Käytettäessä Kalman-suodatinta prosessin tilavektorin arvioiden saamiseksi kohinaisten mittausten sarjasta, on välttämätöntä esittää tämän prosessin malli suodattimen rakenteen mukaisesti - tietyn tyyppisen matriisiyhtälön muodossa. Kullekin suodatintoiminnan vaiheelle k on tarpeen määrittää matriisit alla olevan kuvauksen mukaisesti: prosessin Fk kehitys ; havaintomatriisi H k ; prosessin Q k kovarianssimatriisi ; mittauskohinakovarianssimatriisi R k ; ohjaustoimintojen läsnä ollessa - niiden kertoimien matriisi B k .

Järjestelmä (prosessi) malli tarkoittaa, että todellinen tila hetkellä k saadaan todellisesta tilasta hetkellä k −1 yhtälön mukaisesti

\textbf{x}_{k} = \textbf{F}_{k} \textbf{x}_{k-1} + \textbf{B}_{k} \textbf{u}_{k} + \textbf{w}_{k}

missä

F k on vektoriin x k −1 vaikuttavan järjestelmän (prosessin) kehitysmatriisi (tilavektori hetkellä k −1 );
B k on ohjausmatriisi, jota sovelletaan ohjaustoimintojen vektoriin u k ;
w k on normaali satunnaisprosessi, jossa on nolla matemaattista odotusta ja kovarianssimatriisi Q k , joka kuvaa järjestelmän (prosessin) evoluution satunnaista luonnetta:

\textbf{w}_{k} \sim N(0, \textbf{Q}_k)

Tällä hetkellä k suoritetaan todellisen tilavektorin x k havainto (mittaus) z k , jotka yhdistetään yhtälöllä

\textbf{z}_{k} = \textbf{H}_{k} \textbf{x}_{k} + \textbf{v}_{k}

jossa H k on mittausmatriisi, joka yhdistää todellisen tilavektorin ja suoritettujen mittausten vektorin, v k on valkoinen Gaussin mittauskohina nollalla matemaattisella odotuksella ja kovarianssimatriisi Rk :

\textbf{v}_{k} \sim N(0, \textbf{R}_k)

Satunnaisprosessien alkutila ja vektorit kussakin vaiheessa { x 0 , w 1 , …, w k , v 1 , …, v k } katsotaan riippumattomiksi .

Monia todellisia dynaamisia järjestelmiä ei voida kuvata tarkasti tällä mallilla. Käytännössä mallissa huomioimaton dynamiikka voi vakavasti pilata suodattimen suorituskyvyn, varsinkin käytettäessä sisääntulossa tuntematonta stokastista signaalia. Lisäksi mallissa huomioimaton dynamiikka voi tehdä suodattimesta epävakaan . Toisaalta riippumaton valkoinen kohina signaalina ei aiheuta algoritmin poikkeamista. Mittauskohinan erottaminen mallissa huomioimattomasta dynamiikasta on vaikea, se on ratkaistu robustisten ohjausjärjestelmien teorialla .

Kalman-suodatin

Kalman-suodatin on eräänlainen rekursiivinen suodatin . Laskeakseen arvion järjestelmän tilasta nykyiselle työkierrolle se tarvitsee arvion tilasta (arviona järjestelmän tilasta ja arvion virheestä tämän tilan määrittämisessä) edellinen työjakso ja nykyisen syklin mittaukset. Tämä ominaisuus erottaa sen pakettisuodattimista, jotka vaativat tietoa nykyisen toimintasyklin mittausten ja/tai arvioiden historiasta. Lisäksi tietueen alla ymmärrämme todellisen vektorin estimaatin hetkellä n , ottaen huomioon mittaukset työn alkamishetkestä hetkeen m mukaan lukien. $\hat{\textbf{x}}_{n|m}$ $\textbf{x}$

Suodattimen tila asetetaan kahdella muuttujalla:

$\hat{\textbf{x}}_{k|k}$ on jälkiarvio objektin tilasta ajanhetkellä k , saatu havaintojen tuloksista ajan k mukaan lukien (venäjänkielisessä kirjallisuudessa se on usein merkitty , missä se tarkoittaa "arviota", ja k on sen toimenpiteen numero, jolla se saatiin); $\hat{\textbf{x}}_{k}$ $\hattu{}$
$\textbf{P}_{k|k}$ on jälkikäteinen virhekovarianssimatriisi, joka määrittää arvion tilavektorin saadun estimaatin tarkkuudesta ja sisältää arvion lasketun tilan ja kovarianssin virhevariansseista. Se näyttää tunnistetut suhteet järjestelmän tilaparametrien välillä (jota usein merkitään venäläinen kirjallisuus ). $\hat{\textbf{D}}_{k}$

Jokainen Kalman-suodattimen iteraatio on jaettu kahteen vaiheeseen: ekstrapolointiin (ennustukseen) ja korjaukseen. Ekstrapoloinnin aikana suodatin saa alustavan arvion järjestelmän tilasta (venäläisessä kirjallisuudessa sitä usein merkitään , missä se tarkoittaa "ekstrapolaatiota" ja k on sen vaiheen numero, jossa se saatiin) nykyiselle vaiheelle. edellisen vaiheen lopullisen tilaarvion mukaan (tai seuraavan vaiheen alustavan arvion nykyisen vaiheen lopullisen arvion mukaan, tulkinnasta riippuen). Tätä alustavaa arviota kutsutaan myös ennakkotilaestimaatiksi, koska sen saamiseen ei käytetä vastaavan vaiheen havaintoja. Korjausvaiheessa a priori ekstrapolointia täydennetään asiaankuuluvilla virtamittauksilla arvion korjaamiseksi. Oikaistua estimaattia kutsutaan myös posterioritilaestimaatiksi tai yksinkertaisesti tilavektoriestimaatiksi . Yleensä nämä kaksi vaihetta vuorottelevat: ekstrapolointi suoritetaan korjauksen tulosten perusteella seuraavaan havaintoon asti ja korjaus tehdään yhdessä seuraavassa vaiheessa käytettävissä olevien havaintojen kanssa jne. Kuitenkin myös toinen skenaario on mahdollinen: jos joillekin Jos havainto on osoittautunut mahdottomaksi, korjausvaihe voidaan ohittaa ja ekstrapoloida korjaamattomasta estimaatista (a priori ekstrapolointi). Vastaavasti, jos itsenäisiä mittauksia on saatavilla vain erillisissä työsykleissä, korjaukset ovat silti mahdollisia (yleensä käyttämällä eri havaintomatriisia H k ). $\hat{\textbf{x}}_{k|k-1}$ $\tilde{\textbf{x}}_{k}$ $\tilde{}$ $\hat{\textbf{x}}_{k}$

Seuraavaksi tarkastellaan klassisen optimaalisen Kalman-suodattimen toimintaa.

Ekstrapolointivaihe

Järjestelmän tilavektorin ekstrapolointi (ennustus) tilavektorin estimaatin ja käytetyn ohjausvektorin mukaan vaiheesta ( k −1 ) vaiheeseen k :	$\hat{\textbf{x}}_{k\|k-1} = \textbf{F}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k-1\|k-1} + \textbf{ B}_{k}\textbf{u}_{k}$
Kovarianssimatriisi ekstrapoloidulle tilavektorille :	$\textbf{P}_{k\|k-1} = \textbf{F}_{k} \textbf{P}_{k-1\|k-1} \textbf{F}_{k}^{T } + \textbf{Q}_{k}$

Korjausvaihe

Vaiheessa k saadun havainnon poikkeama ekstrapoloinnissa odotetusta havainnosta:	$\tilde{\textbf{y}}_{k} = \textbf{z}_{k} - \textbf{H}_{k}\hat{\textbf{x}}_{k\|k-1}$
Poikkeamavektorin kovarianssimatriisi (virhevektori):	$\textbf{S}_{k} = \textbf{H}_{k}\textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_{k}^{T}+\textbf{R }_{k}$
Käytettävissä olevan tilavektorin ekstrapoloinnin kovarianssimatriisien ja saatujen mittausten perusteella muodostettu Kalman-optimaalinen vahvistusmatriisi (poikkeamavektorin kovarianssimatriisin kautta):	$\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k\|k-1}\textbf{H}_{k}^{T}\textbf{S}_{k}^{-1}$
Aiemmin saadun tilavektorin ekstrapoloinnin korjaus - järjestelmän tilavektorin arvion saaminen:	$\hat{\textbf{x}}_{k\|k} = \hat{\textbf{x}}_{k\|k-1} + \textbf{K}_{k}\tilde{\textbf{y }}_{k}$
Kovarianssimatriisin laskenta järjestelmän tilavektorin estimoimiseksi:	$\textbf{P}_{k\|k} = (I - \textbf{K}_{k} \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k\|k-1}$

Kovarianssimatriisin lauseke järjestelmän tilavektorin estimoimiseksi on pätevä vain, kun käytetään pelkistettyä optimaalista kertoimien vektoria. Yleensä tällä ilmauksella on monimutkaisempi muoto.

Invariantit

Jos malli on ehdottoman tarkka ja alkuehdot ja ovat ehdottoman tarkasti määriteltyjä , seuraavat arvot säilyvät minkä tahansa suodattimen iteraatioiden jälkeen, eli ne ovat invariantteja: $\hat{\textbf{x}}_{0|0}$ $\textbf{P}_{0|0}$

Järjestelmän tilavektorin arvioiden ja ekstrapolaatioiden matemaattiset odotukset, virhematriisit ovat nollavektoreita:

$\textsf{E}[\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k}] = \textsf{E}[\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x }}_{k|k-1}] = 0$
$\textsf{E}[\tilde{\textbf{y}}_k] = 0$

missä on matemaattinen odotus . $\textsf{E}[\xi]$ $\xi$

Ekstrapolaatioiden lasketut kovarianssimatriisit, järjestelmän tilan estimaatit ja virhevektori ovat yhtäpitäviä todellisten kovarianssimatriisien kanssa:

$\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k})$
$\textbf{P}_{k|k-1} = \textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{x}}_{k|k-1})$
$\textbf{S}_{k} = \textrm{cov}(\tilde{\textbf{y}}_k)$

Esimerkki suodattimen rakentamisesta

Kuvittele vaunu , joka seisoo äärettömän pitkillä kiskoilla ilman kitkaa . Aluksi se lepää asennossa 0, mutta satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta sillä on satunnainen kiihtyvyys . Mittaamme vaunun asennon ∆t sekunnin välein , mutta mittaukset ovat epätarkkoja. Haluamme saada arvioita kärryn sijainnista ja nopeudesta. Käyttämällä Kalman-suodatinta tähän tehtävään määritämme kaikki tarvittavat matriisit.

Tässä tehtävässä matriisit F , H , R ja Q eivät ole riippuvaisia ajasta, joten jätämme niiden indeksit pois.

Vaunun koordinaatti ja nopeus kuvataan vektorilla lineaarisessa tilaavaruudessa

\textbf{x}_{k} = \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix}

missä on nopeus (koordinaatin ensimmäinen derivaatta ajan suhteen). $\piste{x}$ $x$

Oletetaan, että ( k −1 )-:nnen ja k -nnen syklin välillä vaunu liikkuu vakiokiihtyvyydellä a k , joka jakautuu normaalin lain mukaan nollalla matemaattisella odotuksella ja keskihajonnalla σ a . Newtonin mekaniikan mukaan kirjoittaa

\textbf{x}_{k} = \textbf{F} \textbf{x}_{k-1} + \textbf{G}a_{k}

missä

\textbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Ohjausmatriisi on kirjoitettu vektoriksi

\textbf{G} = \begin{bmatrix} \frac{\Delta t^{2}}{2} \\ \Delta t \end{bmatrix}

Ohjausvektori degeneroituu skalaariksi a k .

Satunnaisvaikutusten kovarianssimatriisi

\textbf{Q} = \textrm{cov}(\textbf{G}a) = \textsf{E}[(\textbf{G}a)(\textbf{G}a)^{\text{T)) ] = \textbf{G} \textsf{E}[a^2] \textbf{G}^{\text{T)) = \textbf{G}[\sigma_a^2]\textbf{G}^{\ teksti{T}} = \sigma_a^2 \textbf{G}\textbf{G}^{\text{T}}

( σ a on skalaari).

Jokaisella työjaksolla mitataan vaunun asento. Oletetaan, että mittausvirheellä v k on normaalijakauma, jossa on nolla matemaattinen odotus ja keskihajonta σ z . Sitten

\textbf{z}_{k} = \textbf{H x}_{k} + \textbf{v}_{k}

missä

\textbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}

ja havainnointikohinakovarianssimatriisilla on muoto

\textbf{R} = \textsf{E}[\textbf{v}_k \textbf{v}_k^{\text{T}}] = \begin{bmatrix} \sigma_z^2 \end{bmatrix}

Vaunun alkuasento tiedetään tarkasti:

\hat{\textbf{x}}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\textbf{P}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Jos vaunun sijainti ja nopeus tunnetaan vain likimääräisesti, niin varianssimatriisi voidaan alustaa riittävän suurella numerolla L niin, että tämä luku ylittää koordinaattimittausten varianssin:

\hat{\textbf{x}}_{0|0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\textbf{P}_{0|0} = \begin{bmatrix} L & 0 \\ 0 & L \end{bmatrix}

Tässä tapauksessa suodatin käyttää ensimmäisillä toimintajaksoilla mittaustuloksia suuremmalla painoarvolla kuin käytettävissä oleva ennakkotieto.

Kaavojen johtaminen

Tilavektorin estimointikovarianssimatriisi

Kovarianssimatriisin P k | määritelmän mukaan k

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k})

Korvaamme lausekkeen tilavektorin arvioimiseksi $\hat{\textbf{x}}_{k|k}$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{ K}_k\tilde{\textbf{y}}_{k}))

ja kirjoita lauseke virhevektorille $\tilde{\textbf{y}}_k$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{ K}_k(\textbf{z}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1})))

ja mittausvektori $\textbf{z}_{k}$

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}(\textbf{x}_{k} - (\hat{\textbf{x}}_{k|k-1} + \textbf{ K}_k(\textbf{H}_k\textbf{x}_k + \textbf{v}_k - \textbf{H}_k\hat{\textbf{x}}_{k|k-1})))

Poistetaan mittausvirhevektori v k

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})(\textbf{x}_k - \hat{\textbf {x}}_{k|k-1}) - \textbf{K}_k \textbf{v}_k )

Koska mittausvirhevektori v k ei korreloi muiden argumenttien kanssa, saadaan lauseke

\textbf{P}_{k|k} = \textrm{cov}((I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})(\textbf{x}_k - \hat{\textbf {x}}_{k|k-1})) + \textrm{cov}(\textbf{K}_k \textbf{v}_k )

Vektorien kovarianssin ominaisuuksien mukaisesti tämä ilmaisu muunnetaan muotoon

\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})\textrm{cov}(\textbf{x}_k - \hat{\textbf{ x}}_{k|k-1})(I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k})^{\text{T}} + \textbf{K}_k\textrm{cov }(\textbf{v}_k )\textbf{K}_k^{\text{T))

Tilavektorin ekstrapoloinnin kovarianssimatriisin lausekkeen korvaaminen P k | :llä k −1 ja havainnointikohinan kovarianssimatriisin määritelmä R k :llä saadaan

\textbf{P}_{k|k} = (I - \textbf{K}_k \textbf{H}_{k}) \textbf{P}_{k|k-1} (I - \textbf{ K}_k \textbf{H}_{k})^\text{T} + \textbf{K}_k \textbf{R}_k \textbf{K}_k^\text{T}

Tuloksena oleva lauseke pätee mielivaltaiselle kerroinmatriisille, mutta jos kertoimien matriisi on Kalmanin optimaalinen, niin tämä kovarianssimatriisin lauseke voidaan yksinkertaistaa.

Optimaalinen vahvistusmatriisi

Kalman-suodatin minimoi odotettavissa olevien tilavektorien estimointivirheiden neliösumman.

Tilavektorin estimointivirhevektori

\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}

Tehtävänä on minimoida tämän vektorin komponenttien neliöiden matemaattisten odotusten summa:

\textsf{E}[\;|\textbf{x}_{k} - \hat{\textbf{x}}_{k|k}|^2\,]

joka vastaa tilavektoriestimaatin P k | kovarianssimatriisin jäljen minimoimista k . Korvataan saatavilla olevat lausekkeet tilavektorin estimaatin kovarianssimatriisin lausekkeeseen ja täydennetään se täysneliöön:

$\textbf{P}_{k\|k}$		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k (\textbf{H}_k \textbf{P}_{k \|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k) \textbf{K}_k^\text{T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k \textbf{S}_k\textbf{K}_k^\text {T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1 } \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} + (\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H} _k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1}) \textbf{S}_k(\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \ textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1})^\text{T}$ .

Huomaa, että viimeinen termi on jonkin satunnaismuuttujan kovarianssimatriisi, joten sen jälki on ei-negatiivinen. Jäljitysminimi saavutetaan, kun viimeinen termi asetetaan nollaan:

\textbf{K}_{k} = \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1}

Väitetään, että tämä matriisi on haluttu ja, kun sitä käytetään kertoimien matriisina Kalman-suodattimessa, minimoi tilavektorien estimointivirheiden keskineliöiden summan.

Tilavektorin estimointikovarianssimatriisi käytettäessä optimaalista kerroinmatriisia

Tilavektoriestimaation P k | kovarianssimatriisin lauseke k käytettäessä kertoimien optimimatriisia on muotoa:

\textbf{P}_{k|k} = \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{P}_{k|k-1} \textbf{H}_k^\text{T } \textbf{S}_k^{-1} \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1}

$= \textbf{P}_{k|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k|k-1} = (I - \textbf{K}_ {k} \textbf{H}_{k})\textbf{P}_{k|k-1}$ .

Tämä kaava on laskennallisesti yksinkertaisempi ja siksi sitä käytetään lähes aina käytännössä, mutta se on oikea vain optimaalista kertoimien matriisia käytettäessä. Jos laskennan stabiilisuudessa on huonon laskentatarkkuuden vuoksi ongelma tai jos käytetään erityisesti epäoptimaalista kerroinmatriisia, tulee käyttää tilavektorin estimointikovarianssimatriisin yleiskaavaa.

Kalman-Bucy-suodatin

Kalman-Bucy-suodatin (nimetty Richard Snowden-Bucyn mukaan) on jatkuvaaikainen versio Kalman-suodattimesta [11] [12] , joka perustuu seuraavaan jatkuvan dynaamisen tilamalliin:

\frac{d}{dt}\mathbf{x}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)

\mathbf{z}(t) = \mathbf{H}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t)

Tässä ja edustavat kahden termin intensiteettiä (jossa on valkoisen kohinan ominaisuudet) ja vastaavasti. $\mathbf{Q}(t)$ $\mathbf{R}(t)$ $\mathbf{w}(t)$ $\mathbf{v}(t)$

Suodatin koostuu kahdesta differentiaaliyhtälöstä, joista toista käytetään arvioimaan järjestelmän tilaa ja toista kovarianssia:

\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{F}(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t) ​​​​+ \mathbf{K}(t) (\mathbf{z}(t)-\mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t))

\frac{d}{dt}\mathbf{P}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}^{T }(t) + \mathbf{Q}(t) - \mathbf{K}(t)\mathbf{R}(t)\mathbf{K}^{T}(t)

jossa Kalmanin kerroin saadaan kaavalla

\mathbf{K}(t)=\mathbf{P}(t)\mathbf{H}^{T}(t)\mathbf{R}^{-1}(t)

Huomaa, että havaintokohinan kovarianssin lausekkeessa edustaa samalla ennustevirheen kovarianssia ja nämä kovarianssit ovat yhtä suuret vain jatkuvan ajan tapauksessa [13] . $\mathbf{K}(t)$ $\mathbf{R}(t)$ $\tilde{\mathbf{y}}(t)=\mathbf{z}(t)-\mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)$

Ero ennustus- ja korjausaskeleiden välillä diskreetissä Kalman-suodatuksessa ei päde jatkuvassa tapauksessa.

Toinen kovarianssin differentiaaliyhtälö on esimerkki Riccatin yhtälöstä .

Hybridi Kalman-suodatin

Useimmissa fysikaalisissa järjestelmissä on jatkuva aikamalli järjestelmän tilan kehitykselle ja diskreetti mittausmalli tilan tarkentamiseksi. Siksi suodatinmalli voidaan esittää seuraavasti:

\begin{align} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}(t)\mathbf{u}( t)+\mathbf{w}(t), &\mathbf{w}(t) &\sim N\bigl(\mathbf{0},\mathbf{Q}(t)\bigr) \\ \mathbf{ z}_k &= \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k+\mathbf{v}_k, &\mathbf{v}_k &\sim N(\mathbf{0},\mathbf{R}_k) \ end{align}

missä

\mathbf{x}_k=\mathbf{x}(t_k)

. Alustus

\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0}=E\bigl[\mathbf{x}(t_0)\bigr], \mathbf{P}_{0\mid 0}=Var\bigl[ \mathbf{x}(t_0)\bigr]

Ennuste

\begin{align} &\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) = \mathbf{F}(t) \hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}( t) \mathbf{u}(t) ​​​​\text{, missä } \hat{\mathbf{x}}(t_{k-1}) = \hat{\mathbf{x}}_{k-1 \mid k-1} \\ \Rightarrow &\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} = \hat{\mathbf{x}}(t_k)\\ &\piste{\mathbf {P }}(t) = \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t)+\mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^T+\mathbf{Q}(t ) \ text{, missä } \mathbf{P}(t_{k-1}) = \mathbf{P}_{k-1\mid k-1}\\ \Rightarrow &\mathbf{P}_{k \mid k-1} = \mathbf{P}(t_k) \end{align}

Ennusteyhtälöt on otettu Kalman-Bucy-suodattimesta jatkuvalla ajalla . Tilan ja kovarianssin ennuste saadaan integroimalla differentiaaliyhtälöt edellisestä korjausvaiheesta otetun alkuarvon kanssa. $\mathbf{K}(t)=0$

Korjaus

\mathbf{K}_{k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_{k}^T\bigl(\mathbf{H}_{k}\mathbf{ P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_{k}^T+\mathbf{R}_{k}\bigr)^{-1}

\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k(\mathbf{z}_k- \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1})

\mathbf{P}_{k\mid k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_{k}\mathbf{H}_{k})\mathbf{P}_{k\mid k -yksi}

Korjausyhtälöt ovat identtisiä diskreetin Kalman-suodattimen kanssa.

Kalman-suodattimen kritiikki

Tällä hetkellä Kalman-suodattimen pääkritiikki kohdistuu seuraaviin alueisiin [14] :

Kalman-suodattimessa virheitä edustaa valkoinen kohina, jota luonnossa ei todellisuudessa ole.
Tarvittavaa ja riittävää optimaalisuusehtoa ei ole

\textsf{M}[\varepsilon(t)\,\textbf{Z}_{k}]^\text{T} = 0

00klo00

\textbf{t}_{0} \le \tau \le t

Virhe Kalman-suodattimen lähdössä - algoritmin eri yhtälöiden pätevyydelle vaaditaan ristiriitaisia ehtoja: joissakin niin, että τ < t ja toisissa τ = t .

Näin ollen tämän suodattimen optimaalisuuden kannattajien kanta on, että [15] :

On mahdollista luoda muokattu Kalman-suodatin, jossa virheet esitetään värillisenä kohinana .
Optimaalisuusehdon käyttö johtaa tietyissä tapauksissa epätarkampaan tulokseen kuin Kalman-suodattimessa käytetty. $\textsf{M}[\varepsilon(t)\,\textbf{Z}_{k}]^\text{T} = 0\quad$
Kalman-suodatinta johdettaessa voidaan hyväksyä ehdot: τ < t , τ → t , mikä eliminoi ristiriidan.

Missä on

Otsikko pystysuorat
Autopilotti
Navigointijärjestelmät :
- Inertiaalinen
- Reliefometrinen (alueen digitaalisten karttojen mukaan)
- Satelliitti

Katso myös

Marellan lause
Matemaattinen malli lineaarisesta järjestelmästä, jossa on Markov-rakenne
Markovin rakenteella olevan lineaarisen järjestelmän tilan ennustaminen
Arvioiden korjaus Markov-rakenteella olevan lineaarisen järjestelmän tilasta

Muistiinpanot

↑ Ingvar Strid & Karl Walentin (2009), Block Kalman Filtering for Large-Scale DSGE Malls , Computational Economics (Springer) . — V. 33 (3): 277–304 , < http://www.riksbank.se/Upload/Document_riksbank/Kat_publicerat/WorkingPapers/2008/wp224ny.pdf > Arkistoitu 20. huhtikuuta 2015 Wayback Machinessa
↑ Martin Møller Andreasen (2008), Epälineaariset DSGE-mallit, The Central Difference Kalman Filter ja The Mean Shifted Particle Filter , < ftp://ftp.econ.au.dk/creates/rp/08/rp08_33.pdf >
↑ Kalman, RE (1960). "Uusi lähestymistapa lineaariseen suodatukseen ja ennustusongelmiin". Journal of Basic Engineering 82(1): s. 35-45
↑ Lauritzen S. L. . Aikasarja-analyysi vuonna 1880. Keskustelu TN Thielen panoksesta: [ fin. ] // International Statistical Review. - 1981. - Voi. 49, nro 3 (joulukuu). - s. 319-331. - doi : 10.2307/1402616 . — . Hän johtaa rekursiivisen menetelmän regressiokomponentin arvioimiseksi ja Brownin liikkeen ennustamiseksi. Menettely tunnetaan nykyään Kalman-suodatuksena.
↑ Lauritzen S. L. Thiele: Tilastojen edelläkävijä : [ arch. 22. huhtikuuta 2022 ]. - New York: Oxford University Press , 2002. - S. 41. - ISBN 0-19-850972-3 . Hän ratkaisee regressiokertoimien arvioinnin ja Brownin liikkeen arvojen ennustamisen pienimmän neliösumman menetelmällä ja antaa tyylikkään rekursiivisen menetelmän laskelmien suorittamiseen. Menettely tunnetaan nykyään nimellä Kalman-suodatus.
↑ Stratonovich, R. L. (1959). Optimaaliset epälineaariset järjestelmät, jotka erottavat vakioparametreilla olevan signaalin kohinasta . Radiofizika, 2:6, s. 892-901.
↑ Stratonovich, R. L. (1959). Satunnaisfunktioiden optimaalisen epälineaarisen suodatuksen teoriasta . Todennäköisyysteoria ja sen sovellukset, 4, s. 223-225.
↑ Stratonovich, RL (1960) Markovin prosessiteorian soveltaminen optimaaliseen suodatukseen . Radiotekniikka ja elektroniikkafysiikka, 5:11, s. 1-19.
↑ Stratonovich, R. L. (1960). Ehdolliset Markovin prosessit . Todennäköisyysteoria ja sen sovellukset, 5, pp. 156-178.
↑ Roweis, S. ja Ghahramani, Z., Lineaaristen Gaussin mallien yhdistävä katsaus Arkistoitu 28. toukokuuta 2016 at the Wayback Machine , Neural Comput. Voi. 11, ei. 2, (helmikuu 1999), s. 305-345.
↑ Bucy, RS ja Joseph, PD, Filtering for Stochasts Processes with Applications to Guidance, John Wiley & Sons, 1968; 2. painos, AMS Chelsea Publ., 2005. ISBN 0-8218-3782-6
↑ Jazwinski, Andrew H., Stokastiset prosessit ja suodatusteoria, Academic Press, New York, 1970. ISBN 0-12-381550-9
↑ Kailath, Thomas, "Innovaatio lähestymistapa pienimmän neliösumman arviointiin Osa I: Lineaarinen suodatus additiivisessa valkoisessa kohinassa", IEEE Transactions on Automatic Control , 13(6), 646-655, 1968
↑ http://www.tgizd.ru/mag/aviakos/aviakos_7_6_7.shtml Arkistokopio , päivätty 10. marraskuuta 2011 Wayback Machinessa G. F. Savinov Joistakin Kalman-Bucyn optimaalisen suodatusalgoritmin ominaisuuksista // Aerospace Instrumentation No. 6, 2007 .
↑ A. Yu. Gorbatšov Kriteerit optimaalisten suodatusalgoritmien arvioimiseksi (linkki ei saavutettavissa) // Aerospace Instrumentation No. 6, 2008

Kirjallisuus ja julkaisut

Peter Joseph JOHDANTO: Yksiulotteinen Kalman-suodatin
Perov, AI Statistical Theory of Radio Engineering Systems. - M . : Radiotekniikka, 2003. - 400 s. — ISBN 5-93108-047-3 .
Tsyplakov, A. (2011) Johdatus tila-avaruusmallinnukseen. - Kvantiili, nro 9, s. 1-24.

$\textbf{P}_{k\|k}$		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k (\textbf{H}_k \textbf{P}_{k \|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} + \textbf{R}_k) \textbf{K}_k^\text{T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{K}_k \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\| k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{K}_k^\text{T} + \textbf{K}_k \textbf{S}_k\textbf{K}_k^\text {T}$
		$= \textbf{P}_{k\|k-1} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1 } \textbf{H}_k \textbf{P}_{k\|k-1} + (\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \textbf{H} _k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1}) \textbf{S}_k(\textbf{K}_{k} - \textbf{P}_{k\|k-1} \ textbf{H}_k^\text{T} \textbf{S}_k^{-1})^\text{T}$ .

Kalman suodatin

Johdanto

Historiallinen yleiskatsaus ja nimet

Käytetty dynaaminen järjestelmämalli

Kalman-suodatin

Ekstrapolointivaihe

Korjausvaihe

Invariantit

Esimerkki suodattimen rakentamisesta

Kaavojen johtaminen

Tilavektorin estimointikovarianssimatriisi

Optimaalinen vahvistusmatriisi

Tilavektorin estimointikovarianssimatriisi käytettäessä optimaalista kerroinmatriisia

Kalman-Bucy-suodatin

Hybridi Kalman-suodatin

Kalman-suodattimen kritiikki

Missä on

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus ja julkaisut

Linkit