Riccatin yhtälö

Riccatin yhtälö on muodon ensimmäisen asteen tavallinen differentiaaliyhtälö

{\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)

Riccati-yhtälöä kutsutaan myös moniulotteiseksi analogiksi , eli järjestelmäksi tavallisia differentiaaliyhtälöitä, joissa on riippumattomia muuttujia, joiden oikeat osat ovat toisen asteen polynomeja muuttujissa , joiden kertoimet riippuvat . Yksi- ja moniulotteiset Riccati-yhtälöt löytävät käyttökohteita matematiikan eri osa-alueilla: algebrallinen geometria [1] , täysin integroitavien Hamiltonin järjestelmien teoria [2] , variaatioiden laskeminen [3] , konformisten kartoitusten teoria , kvanttikenttäteoria [4] ] . $(*)$ $x_{1},\ldots ,x_{n},$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ $t$

Historia

Tällaisen yhtälön erikoistapaus:

b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{{\alpha }},\quad (**)

missä ovat nollasta poikkeavat vakiot, tutkivat ensin italialaiset matemaatikot Jacopo Francesco Riccati ja Bernoullin perhe (Daniel, Johann, Nikolai Sr. ja Nikolai Jr.) [5] [6] [7] . He löysivät ehdon, jossa tämä yhtälö sallii muuttujien erottamisen ja siten integroinnin kvadratuuriin: tai Kuten Joseph Liouville (1841) osoitti , muille arvoille yhtälön ratkaisua ei voida ilmaista kvadratuureilla alkeisfunktioista; sen yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa lieriömäisillä funktioilla . ${\näyttötyyli \alpha ,\,a,\,b}$ $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ $\alpha =-2.$ $\alpha$ $(**)$

Tyyppiyhtälöä kutsutaan usein yleiseksi Riccati-yhtälöksi , ja tyyppiyhtälöä kutsutaan usein erityiseksi Riccati-yhtälöksi . $(*)$ $(**)$

Ominaisuudet

Riccati-yhtälö kotelossa on lineaarinen ja voidaan integroida kvadratuuriin. $a(t) = 0$
Riccatin yhtälö tapauksessa on Bernoullin yhtälö ja se on integroitu kvadratuuriin muutoksen avulla $c(t) = 0$ $y = 1/x.$
Riccatin yhtälön yleinen ratkaisu on integrointivakion lineaarinen murto- osafunktio , ja päinvastoin mikä tahansa ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälö, jolla on tämä ominaisuus, on Riccatin yhtälö.
Jos Riccatin yhtälön tietyt ratkaisut vastaavat integrointivakion arvoja, niin meillä on identiteetti $x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)$ $c_{1},\ldots,c_{4}$

{\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t))):{\frac {x_{4}(t) -x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_ {2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)

Identiteetin vasen puoli, neljän tietyn ratkaisun kaksoissuhde , on Riccatin yhtälön ensimmäinen integraali . Siten yhtälön yleinen ratkaisu palautetaan kolmesta riippumattomasta erityisratkaisusta käyttämällä kaavaa . $(***)$ $(***)$

Sovellukset

Riemannin geometriassa Riccatin yhtälö $S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0$

täyttävät muotooperaattorit tasaetäisyyspinnoille geodeettisesti kohtisuorassa niitä vastaan tangentiaalisella kentällä . Kuten Jacobin yhtälöä , tätä yhtälöä sovelletaan geodesiikan tutkimuksessa.

T

Muunnelmia ja yleistyksiä

Matriisi Riccatin yhtälö on differentiaaliyhtälö

{\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)

suhteessa tuntemattomaan kertaluvun neliömatriisiin , jossa on kertaluvun neliömatriisit muuttujasta riippuvaisilla kertoimilla. $X=(x_{{ij}})$ $n$ $A,B_{1},B_{2},C$ $n$ $t$

Variaatioiden laskennassa tärkeä rooli on muodon matriisi Riccati-yhtälöllä

{\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{{-1}}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t )

suhteessa tuntemattomaan neliömatriisiin järjestyksen , jossa on annettu neliömatriisi järjestyksen muuttujariippuvaisia kertoimia, jossa tähti tarkoittaa transponointia . Se liittyy läheisesti Jacobin yhtälöön integraalifunktion toiselle variaatiolle $W=(w_{{ij}})$ $n$ $P, Q, R$ $n$ $t$ $\det P\neq 0,$

J=\int f(t,x,{\piste x})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),

paikallaan olevassa pisteessä Tässä tapauksessa matriisit $\widehat x(\cdot ).$

P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot x}_{i}\partial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat x(t)}}),\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ i }\partial x_{j))}{\Bigl )}{\Bigl |}_({\widehat x(t)))),\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac { \partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot x}_{j))}{\Bigr )}{\Bigl |}_({\widehat x(t))).

Kirjallisuus

Zelikin M. I. Homogeeniset avaruudet ja Riccatin yhtälö variaatiolaskelmassa , - Factorial, Moskova, 1998.
Egorov A. I. Riccati Equations, Fizmatlit, Moskova, 2001.
Laufer M. Ya. Riccati-yhtälöiden ratkaisusta // Laufer M. Ya. Matemaattisen fysiikan valikoituja ongelmia. la - Severodvinsk: NTO Shipbuilders. akad. A. N. Krylova, Sevmashvtuz, Severodv. Lomonosovin osasto. Rahasto, 2005.- s. 137-140.- ISBN 5-7723-0605-9 .

Linkit

Muistiinpanot

↑ Wilczinski EJ Projektiivinen käyrien ja viivapintojen differentiaaligeometria. Teubner, Leipzig, 1906.
↑ Zakharov V. E., Faddeev L. D. Korteweg-de Vriesin yhtälö on täysin integroitava Hamiltonin järjestelmä.
↑ Zelikin M. I. Homogeeniset avaruudet ja Riccatin yhtälö variaatiolaskelmassa, - Factorial, Moskova, 1998.
↑ Winternitz P. Epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden valheryhmät ja ratkaisut. Lecture Notes in Physics, 1983, voi. 189, s. 263-331.
↑ Riccati JF Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
↑ Kantori M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (V. 4). Leipzig, 1901. (linkki, jota ei voi käyttää)
↑ Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati - Nicola 2 Bernulli. J. Riccati ja Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firenze, 1992.