Konformaalinen kartoitus

Konformaalinen kartoitus on jatkuva kartoitus , joka säilyttää käyrien väliset kulmat ja siten äärettömän pienten lukujen muodon.

Määritelmä

Alueen D yksi-yhteen kartoitusta alueeseen D * ( euklidinen avaruus tai Riemannin monisto ) kutsutaan konformiseksi ( lat. conformis - samanlainen), jos minkä tahansa pisteen D läheisyydessä tämän muunnoksen differentiaali on ortogonaalisen muunnoksen ja homoteetin koostumus .

Tämä termi tulee monimutkaisesta analyysistä , jota käytettiin alun perin vain tasoalueiden konformisissa kartoituksissa.

Jos orientaatio säilyy konformisessa kartoituksessa , puhutaan ensimmäisen tyyppisestä konformisesta kartoituksesta ; jos se muuttuu päinvastaiseksi, silloin puhutaan toisen tyyppisestä konformisesta kartoituksesta tai antikonformisesta kartoituksesta .
Kahden sileän jakosarjan metriikan sanotaan olevan konformisesti ekvivalentteja , jos on olemassa sileä funktio , joka . Tässä tapauksessa funktiota kutsutaan konformiseksi tekijäksi . $g,{\tilde g}$ $M$ $\psi :M\to \mathbb{R}$ ${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$ $e^{\psi }$ ${\tilde g}$

Konformaalinen kartoitus säilyttää infinitesimaalien hahmojen muodon;
Konformaalinen kartoitus säilyttää käyrien väliset kulmat niiden leikkauspisteissä ( kulman säilyttävä ominaisuus ).
- Tätä ominaisuutta voidaan pitää myös konformisen mappauksen määritelmänä.
Riemannin lause : Mikä tahansa yksinkertaisesti kytketty avoin alue tasossa, muu kuin koko taso, sallii konformisen bijektion yksikkölevylle.
Liouvillen lause : Mikä tahansa euklidisen avaruuden alueen konforminen kartoitus voidaan esittää äärellisen määrän inversioita superpositiona . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geq 3$
Weilin kaarevuus säilyy konformisen mappauksen alla, eli jos ja ovat konformisesti ekvivalentteja metrisiä tensoreja , niin ${\tilde g}$ $g$ ${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

missä ja merkitsevät Weyl-tensoreja ja vastaavasti.

{\tilde W}

W

{\tilde g}

g

Yhteydet yhdistetään seuraavalla kaavalla: ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .$
Kaarevat ovat yhteydessä seuraavalla kaavalla: $g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ $-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

jos a tarkoittaa funktion Hessianista .

g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0

Hess_{\psi }

\psi

Kaksiulotteisessa tapauksessa , joten kaava voidaan kirjoittaa muodossa ${\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2))$

e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\kolmio _{g}\psi

jossa tarkoittaa laplalaista suhteessa .

{\näyttötyyli \kolmio _{g}}

g

Ortonormaalille vektoriparille ja , poikkileikkauksen kaarevuus suunnassa voidaan kirjoittaa seuraavasti: $X$ $Y$ $X\wedge Y$ ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

missä .

f=e^{{-\psi }}

Laskettaessa -ulotteisen Riemannin moniston skalaarikaarevuutta on kätevämpää kirjoittaa konformitekijä muotoon . Tässä tapauksessa: $n$ ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$ ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{ \frac {n-2}{n+2}}$

Aleshkov Yu. Z. Luennot kompleksisen muuttujan funktion teoriasta, Pietari: Pietarin valtionyliopiston kustantamo, 1999;
Ivanov V. I. Konformaaliset kartoitukset ja niiden sovellukset (lyhyt historiallinen essee). // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M. : Janus-K, 2001. - Nro 41 (6) . - S. 255-266. .
Carathéodory K. Konformaalinen kartoitus. M.-L.: Valtion Tekninen ja Teoreettinen Kustantaja ONTI, 1934 / Per. englannista. M. V. Keldysha
Lavrentiev M.A. Yhdenmukaiset kartoitukset. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 s.
Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. - M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Yanushauskas AI Konformaalisten kartoitusten kolmiulotteiset analogit. Novosibirsk: Nauka, 1982. 173 s., 2650 kpl.
Radygin V. M. , Polyansky I. S. Menetelmät polyhedrien konformiseen kartoitukseen // Vestn. Udmurtsk. yliopisto Matto. Turkista. Tietokone. Nauki, 27:1 (2017), 60–68. $\mathbb {R} ^{3}$

Esimerkkejä joidenkin perusfunktioiden suorittamista konformisista kartoituksista .

↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (saksa) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 . - S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01656573 .