Inversio (geometria)

Käännös ( latinan sanasta inversio " käännös ") ympyrän suhteen on euklidisen tason muunnos, joka muuttaa yleiset ympyrät (ympyrät tai suorat viivat) yleistetyiksi ympyröiksi, joissa yksi ympyröistä käännetään pistemäisesti itselleen.

Määritelmä

Olkoon euklidisessa tasossa jokin ympyrä , jonka keskus (kutsutaan inversionapaksi tai inversiokeskukseksi , tämä piste on rei'itetty) ja säde . Pisteen inversio suhteessa on piste , joka sijaitsee säteen päällä siten, että $\Gamma$ $O$ $R$ $P$ $\Gamma$ $P'$ $OP$

|OP'|\cdot |OP|=R^{2}.

Inversio muuttaa ympyrän sisäalueen ulommaksi ja päinvastoin.

Usein "piste äärettömässä" lisätään tasoon ja pidetään sitä käänteisesti ja - käänteisesti . Tässä tapauksessa inversio on tämän laajennetun "ympyrän tason" bijektiivinen muunnos . $\infty$ $O$ $O$ $\infty$

Euklidisen avaruuden inversio suhteessa palloon ja inversio korkeampien ulottuvuuksien euklidisissa avaruksissa määritellään samalla tavalla.

Ominaisuudet

Käänteisillä ympyrän ympärillä, jonka keskipiste on O , on seuraavat perusominaisuudet: $\Gamma$

Inversio on involuutio : jos piste P menee pisteeseen Q , niin piste Q menee pisteeseen P.
O : n kautta kulkeva viiva menee itseensä.
Suora viiva, joka ei kulje O :n kautta, menee ympyrään, joka kulkee O :n kautta ja jonka piste O on rei'itetty ; ja päinvastoin, ympyrä, joka kulkee O :n kautta, menee suoraksi, joka ei kulje O :n läpi .
Ympyrä, joka ei kulje O :n läpi, menee ympyrään, joka ei kulje O :n läpi (ja sen keskustan kuva ei ole kuvan keskipiste).
Inversio on toisen tyyppinen konforminen kartoitus (eli se säilyttää käyrien väliset kulmat ja kääntää suunnan ).

Inversio suhteessa Apolloniuksen ympyrään , jonka määrittelee , vaihtaa pisteet ja . $k={\tfrac {PA}{PB}}$ $A$ $B$
Ympyrä tai viiva kohtisuorassa , menee itseensä. $\Gamma$

Huomautus

Ympyröiden ja inversion teoriassa kahden suorassa kulmassa leikkaavan ympyrän sanotaan olevan ortogonaalisia ( kohtisuora ). Ympyröitä voidaan pitää ortogonaalisina , jos ne muodostavat suoran kulman keskenään. Yleensä käyrien välinen kulma on niiden leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien välinen kulma.
Ympyrä- ja inversioteoriassa suora on kohtisuorassa ympyrään nähden, jos se kulkee sen keskustan läpi. $\Gamma$

Rakennus

Voit saada pisteen P kuvan P' käänteisessä ympyrässä, jonka keskipiste on O , seuraavasti [1] :

Jos etäisyys P :stä O :han on suurempi kuin ympyrän säde, piirrä ympyrän tangentti kohdasta P , jolloin suoraa OP kosketuspisteestä tuleva kohtisuora leikkaa tämän suoran halutussa pisteessä P' .
Jos etäisyys P :stä O :han on pienempi kuin ympyrän säde, vedä P :n kautta kohtisuoraan OP :n kanssa ja sen ja ympyrän leikkauspisteen kautta - sen tangentti, joka leikkaa OP :n halutussa pisteessä P'. .
Jos etäisyys P :stä O :han on yhtä suuri kuin ympyrän säde, P :n kuva osuu yhteen itsensä kanssa.

Koordinaattiesitykset

Suorakulmaiset koordinaatit

Inversio origoon keskitetyn yksikköympyrän ympärille saadaan kaavalla

(x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{ 2}}}\oikea)

Jos tason piste on annettu yhdellä kompleksikoordinaatilla , tämä lauseke voidaan esittää muodossa $z=x+iy$

{\displaystyle z\mapsto ({\bar {z)))^{-1))

missä on kompleksikonjugaattinumero . _ Tämä kompleksisen muuttujan funktio on antiholomorfinen , mikä tarkoittaa erityisesti, että inversio on konforminen. ${\barz}$ $z$

Yleisessä tapauksessa inversio ympyrän suhteen, jonka keskipiste on pisteessä ja jonka säde on annettu relaatiolla $O=(x_{0},y_{0})$ $r$

(x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+ (y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2 }+(y-y_{0})^{2}}}\oikea)

Napakoordinaatit

Inversio origoon keskitetyn sädeympyrän ympärille saadaan kaavalla $r$

(\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )

Sovellukset

Inversion soveltaminen ratkaisee
- Apolloniuksen tehtävä ,
- Ptolemaioksen identiteetti .

Lipkin-Posselier-mekanismi perustuu inversion ominaisuuksiin .

Inversiolla todistetaan Mohr-Mascheronin lause , jonka mukaan kaikki kompassilla ja suoraviivalla tehtävissä olevat rakenteet voidaan tehdä yhdellä kompassilla (suora katsotaan rakennetuksi, jos sen kaksi pistettä tunnetaan) [ 2] [3]

Apolloniuksen ympyrän ominaisuuksille on olemassa todiste , joka perustuu inversioominaisuuteen. [neljä]

Inversiolla todistetaan Steinerin porismi : todistus käyttää sitä tosiasiaa, että kaikilla ei-leikkautuvilla ympyröillä on inversio, joka muuttaa ne samankeskisiksi ympyröiksi.

Inversion avulla osoitetaan, että kaksi Arkhimedeen kaksoisympyrää arbeloissa ovat yhtä suuret . [2]

Käännöksellä todistetaan ympyröiden ominaisuudet Aleksandrian Pappuksen porismissa . [2]

Inversion avulla perhoslause on todistettu . [2]

Muunnelmia ja yleistyksiä

Inversio suhteessa kartioleikkaukseen

On mahdollista määrittää inversio mielivaltaisen ei-degeneroituneen kartioleikkauksen suhteen, sillä ainoa ero on, että suure on (muuttuva) etäisyys vastaavan käyrän keskipisteestä ( ellipsin ja hyperbolin tapauksessa ) käyrän leikkauspisteisiin viivan kanssa . $R$ $O$ $OP$

Inversion tapauksessa hyperbelin suhteen riippuen sektorista, jossa asymptootien välinen piste sijaitsee , tapaus, jossa suora ei leikkaa hyperbolia, on mahdollinen. Sitten laskemista varten otetaan tämän suoran leikkauspiste konjugaattihyperbolin kanssa (ellei piste ole asymptootissa) ja vastaava arvo otetaan miinusmerkillä, eli säde on suunnattu suuntaan vastapäätä sädettä . $P$ $OP$ $R$ $P$ $R^2$ $OP'$ $OP$

Inversio paraabelin ympäri on yksinkertaisesti symmetrinen heijastus sen ympärillä paraabelin akselin suuntaista suoraa pitkin.

Vaihtoehtoinen määritelmä on inversio suhteessa kartioleikkaukseen napapisteen suhteen leikatun jänteen keskipisteenä . Kuitenkin siinä tapauksessa, että vastaava napa ei leikkaa , määritelmän täydellisyyden vuoksi on välttämätöntä soveltaa tätä osittaista määritelmää vastakkaiseen suuntaan (eli tämä on sellainen piste, joka on jänteen leikkaaman jänteen keskikohta. polar on ), mikä ei aina ole kätevää. ${\mathcal {K}}$ $P$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ ${\mathcal {K}}$ $P'$ $P$ $P'$ ${\mathcal {K}}$

Katso myös

Käänteinen geometria
Käyrän inversio

Muistiinpanot

↑ Pogorelov A.V. Geometria . - M .: Nauka , 1983. - S. 41-42 . — 288 s.
↑ 1 2 3 4 Zhizhilkin, 2009 .
↑ Courant, 2000 .
↑ § 124 "Geometries" , kirjoittanut A. Yu. Davidov .

Linkit

Anufrienko S. A. Symmetria ympyrän suhteen .
Bakelman I. Ya. Inversio . Popular Lectures in Mathematics , Voi. 44, M., Nauka, 1966.
Zhizhilkin I. D. Inversio .. - M . : MTsNMO, 2009.
Courant R., Robbins G. Mitä on matematiikka? . - M . : MTsMO, 2000. - S. Ch. III, § 4 .. – ISBN 5-900916-45-6.