Paraabeli

Paraabeli

Paraabeli, sen fokus ja suuntaviiva
Epäkeskisyys	$e=1$
Yhtälöt
${\begin{aligned}&y=x^{2}\\&y=ax^{2}+bx+c\\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F \\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aligned}}$
Muut kartiomaiset osat
Hyperbeli Paraabeli Ellipsi Ympyrä

Paraabeli ( kreikaksi παραβολή - approksimaatio [1] ) on tasokäyrä, yksi kartioleikkauksen tyypeistä .

Määritelmä

Muinaiset matemaatikot määrittelivät paraabelin tuloksena pyöreän kartion leikkauspisteestä tason kanssa, joka ei kulje kartion yläosan läpi ja on yhdensuuntainen sen generatriisin kanssa (katso kuva). Analyyttisessä geometriassa vastaava määritelmä on kätevämpi: paraabeli on tasossa olevien pisteiden paikka, jonka etäisyys tiettyyn pisteeseen ( fokus ) on yhtä suuri kuin etäisyys tiettyyn suoraan ( Directrix ) (katso kuva) [ 2] .

Jos painopiste on suunnassa, paraabeli rappeutuu katkoviivaksi .

Ellipsin ja hyperbelin ohella paraabeli on kartioleikkaus . Se voidaan määritellä kartioleikkaukseksi, jolla on yksikköepäkeskisyys .

Summit

Sen suuntaviivaa lähinnä olevaa paraabelin pistettä kutsutaan tämän paraabelin kärjeksi. Huippupiste on kohtisuoran keskipiste, joka on pudonnut polttopisteestä suuntaviivaan.

Yhtälöt

Paraabelin kanoninen yhtälö suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on :

\textstyle y^{2}=2px,p>0

(tai , jos koordinaattiakselit ovat käänteisiä).

\textstyle x^{2}=2py

Lukua p kutsutaan polttoparametriksi, se on yhtä suuri kuin etäisyys fokuksesta suuntaviivaan [3] . Koska kukin paraabelin piste on yhtä kaukana polttopisteestä ja suunnasta, niin on myös kärkipiste, joten se sijaitsee polttopisteen ja suuntaviivan välissä etäisyyden päässä molemmista. $\frac{p}{2}$

Johtopäätös
Suuntayhtälö PQ: , kohdistuksella F on koordinaatit Siten origo O on janan CF keskipiste. Paraabelin määritelmän mukaan yhtälö KM = FM on totta mille tahansa siinä olevalle pisteelle M. Lisäksi koska ja , tasa-arvo saa muodon: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\left (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ ${\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .$ Neliöinnin ja joidenkin muunnosten jälkeen saadaan vastaava yhtälö $y^{2}=2px.$

Johtopäätös

Suuntayhtälö PQ: , kohdistuksella F on koordinaatit Siten origo O on janan CF keskipiste. Paraabelin määritelmän mukaan yhtälö KM = FM on totta mille tahansa siinä olevalle pisteelle M. Lisäksi koska ja , tasa-arvo saa muodon: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\left (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$

{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .

Neliöinnin ja joidenkin muunnosten jälkeen saadaan vastaava yhtälö $y^{2}=2px.$

Neliöfunktion antama paraabeli

Neliöfunktio for on myös paraabelin yhtälö, ja se esitetään graafisesti samalla paraabelilla, mutta toisin kuin jälkimmäisellä, sillä on kärkipiste, joka ei ole origossa, vaan jossain pisteessä A, jonka koordinaatit lasketaan kaavoilla: $y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$ $y=ax^{2},$

x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a)),\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a)),

missä on neliötrinomin diskriminantti .

D = b^2-4ac

Neliöfunktion antama paraabelin symmetria-akseli kulkee y-akselin suuntaisen kärjen kautta. Jos arvo on > 0 ( a < 0 ), kohdistus on tällä akselilla kärjen yläpuolella (alla) 1/4 a :n etäisyydellä , ja suuntaviiva on kärjen alla (yläpuolella) samalla etäisyydellä ja on yhdensuuntainen x-akseli. Yhtälö voidaan esittää muodossa ja jos alkupiste siirretään pisteeseen A, paraabeliyhtälö muuttuu kanoniseksi. Siten jokaiselle neliöfunktiolle voidaan löytää sellainen koordinaattijärjestelmä, että tässä järjestelmässä vastaavan paraabelin yhtälö esitetään kanonisena. Jossa $y=ax^{2}+bx+c$ $y=a(x-x_{\textrm {A)))^{2}+y_{\textrm {A)),$ $p=\frac{1}{|2a|}.$

Paraabelin yleinen yhtälö

Yleensä paraabelilla ei tarvitse olla symmetria-akselia, joka on yhdensuuntainen yhden koordinaattiakselin kanssa. Kuitenkin, kuten mikä tahansa muu kartioleikkaus, paraabeli on toisen kertaluvun käyrä, ja siksi sen yhtälö suorakulmaisessa koordinaatistossa voidaan kirjoittaa toisen asteen polynomiksi:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Jos tässä muodossa annettu toisen asteen käyrä on paraabeli, niin korkeimpien ehtojen kertoimista koostuva diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla. $B^2-4AC$

Yhtälö napajärjestelmässä

Napakoordinaateissa oleva paraabeli, joka on keskitetty fokukseen ja nollasuuntaan paraabelin akselia pitkin (keskipisteestä huippuun), voidaan esittää yhtälöllä $(\rho,\vartheta)$

\rho (1 + \cos \vartheta) = p,

jossa p on polttoparametri (etäisyys tarkennuksesta suuntaviivaan tai kaksinkertainen etäisyys tarkennuksesta kärkeen)

Neliöfunktion kertoimien laskenta

Jos paraabelin yhtälölle, jonka akseli on yhdensuuntainen y-akselin kanssa, tunnetaan paraabelin kolmen eri pisteen koordinaatit , niin sen kertoimet löytyvät seuraavasti: $y=ax^{2}+bx+c$ $(x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),$

a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{ 2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ b=\frac{y_{ 2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_ {1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.

Jos kärki ja johtava kerroin annetaan , loput kertoimet ja juuret lasketaan kaavoilla: $(x_{0};y_{0})$ $a$

b=-2ax_0

c=ax_0^2+y_0

x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

Ominaisuudet

Paraabeli on toisen kertaluvun käyrä .
Sillä on symmetria -akseli, jota kutsutaan paraabeliakseliksi . Akseli kulkee polttopisteen ja kärjen läpi kohtisuoraan suuntaviivaan nähden.
optinen ominaisuus. Paraabelin akselin suuntainen säde, joka heijastuu paraabeliin, kerätään sen fokukseen. Päinvastoin, valo tarkennetusta lähteestä heijastuu paraabelilla sen akselin suuntaiseksi säteeksi. Signaali tulee myös yhdessä vaiheessa, mikä on tärkeää antenneille.
Jos paraabelin fokus heijastuu tangentin suhteen, niin sen kuva on suuntaviivalla .
Jana, joka yhdistää paraabelin mielivaltaisen jänteen keskipisteen ja sen tangenttien leikkauspisteen tämän jänteen päissä, on kohtisuorassa suuntaviivaan nähden, ja sen keskipiste on paraabelilla.
Paraabeli on linjan antipodera .
Kaikki paraabelit ovat samanlaisia . Tarkennuksen ja suuntaviivan välinen etäisyys määrittää mittakaavan.
Suoraa pitkin vierivän paraabelin fokuksen liikerata on ajoverkko [4] .
Paraabelin ympärille piirretyn kolmion rajattu ympyrä kulkee sen fokuksen läpi ja korkeuksien leikkauspiste on sen suuntaviivassa

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kun paraabelia kierretään symmetria-akselin ympäri, saadaan elliptinen paraboloidi .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Luonnollisen eksponentin omaavan potenssifunktion kuvaajia kutsutaan kertaluvun paraboleiksi [ 5] [6] . Aiemmin tarkasteltu määritelmä vastaa , eli 2. kertaluvun paraabelia. $y=x^{n}$ $n>1$ $n$ ${\näyttötyyli n=2,}$

Paraabeli on myös sinimuotoinen spiraali ; $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$

Paraabelit fyysisessä avaruudessa

Joidenkin kosmisten kappaleiden ( komeetat , asteroidit ja muut), jotka kulkevat lähellä tähtiä tai muuta massiivista esinettä ( tähti tai planeetta ) riittävän suurella nopeudella , liikeradat ovat paraabelin (tai hyperbolin ) muotoisia . Nämä kappaleet eivät suuren nopeudensa vuoksi jää kiinni tähden gravitaatiokenttään ja jatkavat vapaata lentoaan. Tätä ilmiötä käytetään avaruusalusten (erityisesti Voyager -ajoneuvojen ) gravitaatioliikenteeseen .

Painottomuuden luomiseksi maanpäällisissä olosuhteissa lentokoneet lentävät parabolista lentorataa, niin sanottua Kepler-paraabelia, pitkin.

Ilmanvastuksen puuttuessa kappaleen lentorata yhtenäisen gravitaatiokentän approksimaatiossa on paraabeli.

Myös parabolisia peilejä käytetään Cassegrain-, Schmidt-Cassegrain-, Newton-järjestelmien kannettavissa amatööriteleskooppeissa, ja paraabelin keskipisteeseen on asennettu apupeilit, jotka syöttävät kuvan okulaariin.

Kun nestettä sisältävä astia pyörii pystyakselin ympäri, astian nesteen pinta ja pystytaso leikkaavat paraabelia pitkin.

Paraabelin ominaisuutta kohdistaa säde paraabelin akselin suuntaisesti käytetään valonheittimien, lamppujen, ajovalojen sekä heijastavien kaukoputkien (optinen, infrapuna, radio ...) suunnittelussa. kapeasti suunnatut ( satelliitti- ja muut) antennit, joita tarvitaan tiedon siirtämiseen suurille etäisyyksille, aurinkovoimaloihin ja muille alueille.

Paraabelimuotoa käytetään joskus arkkitehtuurissa kattojen ja kupolien rakentamiseen.

Parabolinen kiertorata ja satelliittien liike sitä pitkin (animaatio)
Putoava koripallo_ _
Parabolinen aurinkovoimala Kaliforniassa , Yhdysvalloissa _
Vesisuihkujen paraboliset liikeradat
Pyörivä astia nesteellä
Parabola - antipodera suora

Muistiinpanot

↑ Paraabeli . Vieraiden sanojen sanakirja . Haettu 19. kesäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 14. tammikuuta 2020. (määrätön)
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1984 .
↑ Aleksandrov P. S. Paraabeli // Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi. - M .: Nauka , 1979. - S. 69-72. — 512 s.
↑ Savelov A. A. Tasokäyrät. Systematiikka, ominaisuudet, sovellukset (Viiteopas) / Ed. A.P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Bityutskov V.I. Tehofunktio // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 s.
↑ Tehofunktio // Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988. - S. 564-565 . — 847 s.

Kirjallisuus

Akopyan A. A., Zaslavsky A. V. Toisen asteen käyrien geometriset ominaisuudet . - M. : MTSNMO, 2007. - 136 s.
Bronstein I. Parabola // Kvant . - 1975. - Nro 4 . - S. 9-16 .
Markushevich AI Merkittävät käyrät . - Gostekhizdat , 1952. - 32 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja , numero 4).
Parabola // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 191-192. — 1216 s.

Linkit

Artikkeli hakuteoksessa "Applied Mathematics".
Animoidut piirustukset havainnollistavat joitain paraabelin ominaisuuksia.
Tietoa ( englanniksi ) paraabelin yhteydestä fysiikkaan.
Opetuselokuva paraabelista

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto

Kartioprofiilit
Päätyypit	Ellipsi Hyperbeli Paraabeli
Degeneroitunut	Piste Suoraan Pari suoraa viivaa
Ellipsin erikoistapaus	Ympyrä
Geometrinen rakenne	kartiomainen leikkaus Dandelin palloja Steinerin suunnittelu
Katso myös	Kartiomainen vakio
Matematiikka • Geometria