Kuutio spline

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. marraskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 14 muokkausta .

Kuutiospliini on tasainen funktio, jonka määritelmäalue on jaettu äärelliseen määrään segmenttejä, joista jokaisessa se osuu yhteen jonkin kuutiopolynomin (polynomin) kanssa.

Kuvaus

Funktio annetaan osiin jaetulle segmentille , . Vian 1 kuutio spline (ero splinin asteen ja sileyden välillä) on funktio , joka: $f(x)$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$ $S(x)$

jokaisessa segmentissä on polynomi, jonka aste on enintään kolme; $[x_{i-1},x_{i}]$
on jatkuva ensimmäinen ja toinen derivaatta koko segmentillä ; $[a,b]$
pisteissä yhtäläisyys täyttyy , eli spline interpoloi funktion pisteissä . $x_{i}$ $S(x_{i})=f(x_{i})$ $S(x)$ $f$ $x_{i}$

Splainin yksilölliseen määrittämiseen luetellut ehdot eivät riitä; splainin rakentamiseen on asetettava lisävaatimuksia - reunaehdot:

"Luonnollinen spline" — muodon reunaehdot: ; $S''(a)=S''(b)=0$
Toisen derivaatan jatkuvuus - muodon rajaehdot: ; $S'''(a)=S'''(b)=0$
Jaksollinen spline - muodon reunaehdot: ja . $S'(a)=S'(b)$ $S''(a)=S''(b)$

Lause: Jokaiselle funktiolle ja segmentin jakamiselle osiin on täsmälleen yksi luonnollinen spline , joka täyttää yllä luetellut ehdot. $f$ $[a,b]$ $[x_{i-1},x_{i}]$ $S_{i}(x)$

Tämä lause on seurausta yleisemmästä Schoenberg -Whitneyn lauseesta interpolaatiosplinen olemassaolon ehdoista.

Rakennus

Jokaisella segmentillä funktio on kolmannen asteen polynomi , jonka kertoimet on määritettävä. Kirjoitamme mukavuuden vuoksi muodossa: $[x_{i-1},x_{i}],\ i={\overline {1,N))$ $S(x)$ $Kuusi)$ $Kuusi)$

S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_ {i}}(x-x_{i})^{3}

sitten

S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{ i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N }}.

Kaikkien johdannaisten jatkuvuusehdot toiseen kertaluokkaan asti kirjoitetaan seuraavasti

S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),

S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),

S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),

missä vaihtelee välillä ja interpolointiehdot muodossa $i$ $yksi$ $N,$

S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).

Merkitse $:\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N))),\quad f_{i}=f(x_{i })\quad (i={\overline {0,N)))$

Täältä saamme kaavat "luonnollisen splinen" kertoimien laskemiseksi:

a_{i}=f(x_{i})

;

d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}

;

b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}+{\frac {2\cdot c_{i}+c_{i-1} }{3}}\cdot h_{i}

;

c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i +1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1 }}{h_{i}}}}\oikea)

, ja . _

c_{N}=S''(x_{N})=0

c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0

Jos otamme tämän huomioon , laskenta voidaan suorittaa kolmikulmaisen matriisin pyyhkäisymenetelmällä . $c_{0}=c_{N}=0$ $c$

Kirjallisuus

deBoor, Carl. Käytännön opas splineihin. - New York: Springer-Verlag, 1978.
Rogers D., Adams J. Tietokonegrafiikan matemaattiset perusteet. - M .: Mir, 2001. - ISBN 5-03-002143-4 .
Kostomarov D.P. , Favorsky A.P. Johdantoluennot numeerisista menetelmistä.
Volkov EA Luku 1. Funktioiden approksimaatio polynomeilla. § 11. Splainit // Numeeriset menetelmät. - Oppikirja. yliopistojen tuki. - 2. painos, Rev. - M .: Nauka, 1987. - S. 63-68. — 248 s.

Linkit

Muistiinpanot

↑ Boor, 1978 .

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto