Sieni Menger

Menger-sieni  on geometrinen fraktaali , yksi Sierpinski-maton kolmiulotteisista analogeista .

Rakennus

Iteratiivinen menetelmä

Kuutio , jonka reuna on 1, jaetaan sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Keskikuutio ja kaikki tämän alajaon kuutiot sen vieressä kaksiulotteisia pintoja pitkin poistetaan kuutiosta. Osoittautuu, että sarja koostuu 20 jäljellä olevasta "ensimmäisen luokan" suljetusta kuutiosta. Kun tehdään sama jokaiselle ensimmäisen luokan kuutiolle, saadaan sarja , joka koostuu 400 toisen luokan kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomiin, saamme äärettömän sekvenssin

jonka jäsenten leikkauspiste on Menger-sieni.

Chaos-peli

Menger-sienen voi saada myös kaaospeliksi [1] [2] kutsutulla prosessilla , joka on seuraava:

1. 20 attraktoripistettä on määritetty: 8 pistettä ja 12 alkuperäisen kuution reunojen keskipistettä.
2. Jokin aloituspiste on asetettu, joka sijaitsee kuution sisällä.
3. Pistesarja rakennetaan seuraavassa syklissä:
   1. Attraktori valitaan satunnaisesti 20 mahdollisesta yhtä suurella todennäköisyydellä.
   2. Piste rakennetaan uusilla koordinaateilla: , jossa: — edellisen pisteen koordinaatit ; ovat valitun attraktorin koordinaatit.

Jos suoritat syklin monta kertaa (vähintään 100 tuhatta) ja hylkäät sitten ensimmäiset kymmenen pistettä, loput pisteet muodostavat hahmon, joka on lähellä Menger-sientä.

Ominaisuudet

• Menger-sieni koostuu 20 identtisestä osasta, joiden samankaltaisuuskerroin on 1/3.
• Menger-sienen ortogonaaliset projektiot edustavat Sierpinski-mattoa.
• Menger-sienellä on väli (eli ei kokonaisluku ) Hausdorff-ulottuvuus , joka on yhtä suuri, koska se koostuu 20 yhtä suuresta osasta, joista jokainen on samanlainen kuin koko sieni samankaltaisuuskertoimella 1/3.
• Lisäksi Menger-sienellä on topologinen ulottuvuus 1
  • Menger-sieni on topologisesti luonnehdittu yksiulotteiseksi kytketyksi paikallisesti kytketyksi mitattavaksi kompaktiksi joukoksi, jolla ei ole paikallisia murtumiskohtia (eli minkä tahansa pisteen missä tahansa yhteydessä olevalla alueella joukko on kytketty) eikä siinä ole ei-tyhjiä avoimia osajoukkoja. upotettava tasoon.
• Menger-sieni on universaali Uryson-käyrä , eli mikä tahansa Urysohn-käyrä , Menger-sienessä on osajoukko, joka on homeomorfinen .
• Menger-sienen tilavuus on nolla, mutta pinta-ala on ääretön.
  • Tilavuus määritetään kaavalla 20/27 jokaiselle iteraatiolle:

• Menger-sienen leikkaus, jota rajaa kuutio, jonka sivu on 1 ja jonka keskipiste on origossa, tasolla, sisältää heksagrammeja .
• Menger-sieni hajottaa shokkiaallot hyvin. [3]

Katso myös

• Kaaosteoria
• Iteroitavien funktioiden järjestelmä

Muistiinpanot

1. ↑ Michael Barnsley , Louise Barnsley. Fraktaalimuunnokset // Fraktaalit taiteena. Artikkelikokoelma / Per. englanniksi, ranskaksi E. V. Nikolaeva. - Pietari. : Sparta, 2015. - S. 35. - 224 s. — ISBN 9785040137008 .
2. ↑ Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Stokastiset mallit, joissa on potenssilain pyrstö: Yhtälö X = AX + B . - Springer, 2016-07-04. — 325 s. - P. 7. - ISBN 9783319296791 .
3. ↑ Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Iskuaaltojen hajoaminen rajapintojen hallitsemilla huokoisilla rakenteilla  // AIP Advances. - 01-07-2020 - T. 10 , no. 7 . - S. 075016 . - doi : 10.1063/5.0015179 . Arkistoitu alkuperäisestä 12. maaliskuuta 2022.

Linkit

• Yleinen algoritmi fraktaalien rakentamiseen kaaosmenetelmällä Wolfram-resurssilla
• Koodi fraktaalien rakentamiseen kaaosmenetelmällä AutoLISP:ssä