Deltoidi

Deltoid (tai Steiner - käyrä ) on tasoalgebrallinen käyrä , jota kuvaa toisen ympyrän sisäsivua pitkin vierivän ympyrän kiinteä piste , jonka säde on kolme kertaa ensimmäisen säde.

Hartialihas on hypocycloidin erikoistapaus osoitteessa .

Historia

Galileo Galilei ja Marin Mersenne tutkivat tavallisia sykloideja jo vuonna 1599, mutta erityisiä sykloidisia käyriä tarkasteli ensimmäisen kerran Ole Rømer vuonna 1674 tutkiessaan hammaspyörän parasta muotoa. Leonhard Euler mainitsee ensimmäisen kerran oikean hartialihaksen vuonna 1745 optiikan ongelman yhteydessä.

Käyrä on saanut nimensä, koska se muistuttaa kreikkalaista kirjainta Δ . Sen ominaisuuksia tutki ensin L. Euler 1700- luvulla ja sitten J. Steiner 1800- luvulla .

Yhtälöt

• Hartialihas voidaan esittää (kiertoon ja rinnakkaiskäännökseen asti) seuraavalla parametrisella yhtälöllä :

missä a on vierintäympyrän säde, b on sen suuremman ympyrän säde, jota pitkin edellä mainittu ympyrä vierii. (Yllä olevassa kuvassa b = 3a .)

• Monimutkaisissa koordinaateissa se ottaa muodon

• Implisiittinen yhtälö suorakaiteen muotoisessa järjestelmässä:

• Parametrinen:

• Napakoordinaateissa se ottaa muodon

Ominaisuudet

• Käyrällä on kolme singulaarisuutta ( cusp ), jotka vastaavat yllä olevaa parametriyhtälöä.
• Hartialihaksen 3 kärkeä ovat tasasivuisen kolmion 3 kärkeä .
• Hartialihas on nolla - suvun rationaalinen käyrä .
• Deltoidin ja sen tangenttien rajaaman alueen leikkauspisteen pituus on kiinteä ja yhtä suuri kuin , jossa  on kiinteän ympyrän säde.
• Deltoidi on 4:n asteen algebrallinen käyrä .
• Käyrän pituus , jossa  on kiinteän ympyrän säde.
• Hartialihaksen rajoittama alue, .
• Kahden haaran tangentit (kuvassa kaikki kolme haaraa ovat mustia), jotka on piirretty sen kolmannen haaran tangentin segmentin kahteen pisteeseen (kutsutaan kahdeksi yhdistetyksi pisteeksi, ne ovat kuvassa siniset), leikkaavat aina suorassa kulmassa (ei näy kuvassa) . Tämän suoran kulman kärki sijaitsee aina pienen ympyrän ympyrällä (samassa kuvassa pieni ympyrä on punainen ja sitä kuvaa punainen piste sinisen segmentin keskellä), koskettaen kolmea osoitettua haaraa [1] .

Sovellukset

Deltoidit syntyvät useilla matematiikan alueilla. Esimerkiksi:

• Kolmannen kertaluvun unistokastisten matriisien kompleksisten ominaisarvojen joukko muodostaa deltoidin .
• Kolmannen kertaluvun unistokastisten (unistokastisten) matriisien joukon poikkileikkaus muodostaa hartialihaksen.
• SU(3)-ryhmään kuuluvien unitaaristen matriisien mahdollisten jälkien joukko muodostaa hartialihaksen.
• Kahden hartialihaksen leikkauspiste parametrisoi kuudennen kertaluvun kompleksisten Hadamard-matriisien perheen (Complex Hadamard-matriisi).
• Kaikki annetun kolmion Simsonin suorat muodostavat hartialihaksen muotoisia kirjekuoria . Se tunnetaan Steinerin hartialihaksena tai Steinerin hyposykloidina Jakob Steinerin mukaan, joka kuvasi käyrän muodon ja symmetrian vuonna 1856 [2] .
• Kolmion alueen jakavan viivaperheen verhokäyrä on hartiamuotoinen käyrä, jonka kärjet ovat kolmen mediaanin keskipisteissä . Tämän "deltoidin" kaaret ovat hyperbolan kaaria, joilla on asymptootit , jotka kulkevat kolmion sivujen läpi [3] [4] .
• Hartialihasta on ehdotettu ratkaisuksi neulaongelmaan .

Katso myös

• Astroidi  on hypocycloid osoitteessa .
• Hyposykloidi
• Deltoidi 
• Neula ongelma
• Simsonin suora
• Cycloid

Muistiinpanot

1. ↑ Savelov, 1960 , s. 127.
2. ↑ Lockwood, 1961 .
3. ↑ Dunn, JA, ja Pretty, JA, "Halving a triangle", Mathematical Gazette 56, toukokuu 1972, 105-108.
4. ↑ Kolmion pinta-alan puolittajat . Haettu 29. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 21. marraskuuta 2017. (määrätön)

Kirjallisuus

• Savelov  A.A. _ Tasaiset käyrät: Systematiikka, ominaisuudet, sovellukset. Viiteopas / Ed. A.P. Norden . - M .: Fizmatlit , 1960. - S. 124-129.
• V. Berezin. Deltoid  // Kvant . - 1977. - Nro 3 . - S. 19 . (Venäjän kieli)
• EH Lockwood. Luku 8: Deltoid // A Book of Curves  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 1961.