Vivianin käyrä

Viviani-käyrä on kolmiulotteinen käyrä, pyöreän sylinterin ja pallon leikkauspiste, jonka keskipiste on sylinterin pintaan ja jonka säde on yhtä suuri kuin sylinterin halkaisija.

Nimetty Vincenzo Vivianin mukaan, joka teki yksityiskohtaisen tutkimuksen tästä käyrästä vuonna 1692 ja totesi ensin, että kaksi sen rajaamaa aluetta puolipallolla sallivat yksinkertaisen kvadratuurin : niiden kokonaispinta-ala on sellainen, että puolipallon jäljellä olevan osan pinta on yhtä suuri. pallon halkaisijalle rakennetun neliön alueelle [1] . Ennen Viviania tätä käyrää tutkivat De la Loubert, Simon ja Gilles Roberval (1666).

Yhtälöt

Viviani-käyrä on sylinterin pinnan leikkausviiva ${\displaystyle (xa)^{2}+y^{2}=a^{2))$

jonka säde on kaksinkertainen ja jonka keskipiste on sylinterin pinnalla:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.

Parametrinen yhtälö: $\left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).$

Projektioyhtälöt tasolle , , : ${\näyttötyyli (x\,y)}$ ${\näyttötyyli (y\,z)}$ ${\näyttötyyli (x\,z)}$ $x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,$ $y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,$ $y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,rx)))\,,$ $z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,rx)))\,,$ $x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2))}\,,$ $z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2))))}\ ,.$

Ominaisuudet

Vivianin käyrän projektio sylinterin ja pallon yhteiselle tangentille on Geronon lemniskaatti .
Viviani-käyrä puolipallolla, joka leikkaa sylinterin, erottaa kaksi aluetta siten, että puolipallon jäljellä olevan osan pinta-ala on yhtä suuri kuin pallon halkaisijalle rakennetun neliön pinta-ala.

Todiste Etsi Vivianin käyrän rajoittama pinta-ala integroimalla koordinaatteina .

{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))

{\näyttötyyli (x\,y)}

Pinta-ala määritetään tavalliseen tapaan integraalin avulla:

S_{\text{VC}}=\int \limits _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2 }+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y))\right)^{2))}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,,

missä on Vivianin käyrän rajoittama alue.

\Omega

Lasketaan integrandi:

{\sqrt {1+\left({\dfrac {\partial z}{\partial x))\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial y} }\right)^{2))}={\dfrac {2\,r}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))\,.

Jatkamalla laskentaa ja ottamalla huomioon integrointialueen symmetria akselin ympäri (jolloin saadaan neljä identtistä osaa), löydämme:

x\,

S_{\text{VC}}=4\cdot 2\,r\,\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\int \limits _{0} ^{\sqrt {x\,(2\,rx)}}\mathrm {d} y\,{\dfrac {1}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y ^{2))))=8\,r\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\,\mathrm {arctg} {\sqrt {\dfrac {x}{ 2\,r}}}=8\,r\,(-2\,r+4\,r\,\mathrm {arctg} \,1)=8\,\pi \,r^{2}- 16\,r^{2}={\dfrac {1}{2}}\,\pi \,(4\,r)^{2}-(4\,r)^{2}\,.

Tuloksena olevan lausekkeen ensimmäinen termi on halkaisijaltaan puolipallon pinta-ala , toinen termi on neliön pinta-ala, jonka sivu on sama halkaisija.

4\,r

Siten puolipallon pinta-alojen ja tarkasteltavan pinnan välinen ero on yhtä suuri kuin pallon halkaisijalle rakennetun neliön pinta-ala:

S_{\text{hemisphere}}-S_{\text{VC}}=(4\,r)^{2}\,,

Q.E.D.

Kirjallisuus

Berger M. Geometry, voi. 1-2. M: Mir, 1984.
Loria G. Curve sghembe speciali, toim. Zanichelli, Bologna, 1925.
Roero CS L'intérêt International d'un problème proposé, Viviani, Actes de l'Univ. d'Été Hist. des Math., IREM Toulouse, 1986.
Roero CS Italian haaste Leibnitzin laskentaan vuonna 1692. Leibnitz ja Viviani: kahden epistemologian vertailu, V Int. Kongressi Leibnitz, Hannover, 1988.

Muistiinpanot

↑ Mobius Strip ja Vivianin ikkunat . Haettu 15. elokuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 8. maaliskuuta 2014. (määrätön)

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto