Apolloniuksen matto

Apolloniuksen matto tai Apolloniuksen ruudukko - fraktaali , joka on rakennettu kolmeen parittaiseen tangenttiympyrään. Se edustaa rajajoukkoa kaikille mahdollisille ympyräsarjoille, joista jokainen koskettaa kolmea jo rakennettua ympyrää. Nimetty kreikkalaisen matemaatikon Apollonios Pergalaisen mukaan .

Rakentaminen

Aloitetaan kolmella ympyrällä, joista jokainen on tangentti kahden muun kanssa. Seuraavaksi lisäämme olemassa olevaan kuvioon rekursiivisesti ympyröitä, joista jokainen koskettaa noin kolmea jo rakennettua ympyrää. Ensimmäisessä vaiheessa lisäämme kaksi, toisessa kuusi ja niin edelleen.

Jatkamme rakentamista, lisäämme 2 3 n uutta ympyrää n . vaiheeseen.

Rakennettujen ympyröiden sulkeutumista kutsutaan Apollonius-ruudukoksi .

Ominaisuudet

• Apollonius-ruudukon Hausdorff-mitta on noin 1,3057 [1] .
• Apollonius-verkkoa voidaan pitää kahden Sierpinskin kolmion homeomorfisen osajoukon liittona , jotka jakavat kärjet.
• Möbius-muunnosryhmän alaryhmä , joka koostuu niistä muunnoksista, jotka ottavat Apollonius-verkon itseensä, toimii transitiivisesti ruudukon ympyröillä.
• Apollonius-ristikko voidaan määritellä neljän parittaisen tangenttiympyrän inversioiden muodostaman tason muunnosryhmän rajajoukoksi.

Kaarevuus

Ympyrän kaarevuus määritellään sen säteen käänteislukuna.

• Negatiivinen kaarevuus osoittaa, että kaikki muut ympyrät koskettavat tätä ympyrää sisältä. Tämä on rajaava ympyrä.
• Nollakaarevuus antaa suoran (ympyrän äärettömän säteen).
• Positiivinen kaarevuus osoittaa, että kaikki muut ympyrät tangentit tätä ympyrää ulkopuolelta. Tämä ympyrä on negatiivisen kaarevuuden omaavan ympyrän sisällä.

Apollonius-ruudukossa kaikilla ympyröillä on positiivinen kaarevuus, paitsi yksi, rajaava ympyrä.

Apolloniuksen kokonaiset ruudukot

Oletetaan, merkitään neljän parittaisen tangenttiympyrän kaarevuus. Descartesin lauseen mukaan

Tästä seuraa, että jos neljällä parittaisella tangenttiympyrällä on kokonaislukukaarevuus, niin kaikilla muilla Apollonius-ruudukon ympyröillä on kokonaislukukaarevuus. Tällaisia ​​kokonaislukuverkkoja on äärettömän monta . [2] Alla on useita kokonaisia ​​silmiä, joihin on merkitty kehän kaarevuus.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Apollonilaisen ruudukon 3D-vastine on Apollonilainen pallojen pakkaus.

Muistiinpanot

1. ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Dimension laskeminen // American Journal of Mathematics. — Voi. 120. - P. 691-721. - doi : 10.1353/ajm.1998.0031 .
2. ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks ja Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" , J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.

Kirjallisuus

• A. A. Kirillov. Osa II. Apolloniuksen matto // Tarina kahdesta fraktaalista . - 2. painos, korjattu. - M . : MTsNMO Publishing House , 2010. - ( Kesäkoulu "Modern Mathematics" ). - ISBN 978-5-94057-670-9 .