Descartesin lause (geometria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Descartesin lause sanoo, että millä tahansa neljällä toisiaan tangentilla olevalla ympyrällä ympyröiden säteet täyttävät jonkin toisen asteen yhtälön . Ratkaisemalla tämän yhtälön voit rakentaa neljännen ympyrän, joka on tangentti kolmen muun ympyrän kanssa. Lause on nimetty René Descartesin mukaan, joka muotoili sen vuonna 1643.

Historia [1]

Tangenttiympyröiden geometrisista ongelmista on keskusteltu tuhansia vuosia. Muinaisessa Kreikassa 3. vuosisadalla eKr. Apollonius Pergalainen omisti tälle aiheelle kokonaisen kirjan. Valitettavasti kirja, jonka nimi oli On Touch , ei selvinnyt, koska se kuoli Aleksandrian kirjaston tulipalossa .

René Descartes käsitteli ongelmaa lyhyesti vuonna 1643 kirjeessään Böömin prinsessa Elisabethille . Hän päätyi täsmälleen samaan ratkaisuun, joka on annettu alla yhtälössä (1), ja täten kirjasi nimensä lauseeseen.

Frederick Soddy löysi yhtälön uudelleen vuonna 1936. Tämän ongelman tangenttipiirejä kutsutaan joskus Soddyn ympyröiksi , mahdollisesti siksi, että Soddy päätti julkaista lauseen versionsa runona nimeltä The Kiss Precise , joka julkaistiin Naturessa (20. kesäkuuta 1936). Soddy yleisti lauseen palloiksi. Thorold Gosset yleisti lauseen mielivaltaisiin mittoihin [2] .

Vanhempi historia

Igor Sharyginin näkemys [3] : Suurimman osan Edo-kaudesta (1603-1867) Japani oli lähes täysin eristetty lännestä ja kehittyi omalla tavallaan ilman länsimaisten sivilisaatioiden vaikutusta. Tämä ei kuitenkaan estänyt japanilaisen tieteen, erityisesti matematiikan, kehitystä. Geometria kukoisti erityisesti. Japanilaiset uskoivat, että geometrian taito miellytti Jumalaa. Kaikkien luokkien edustajat pitivät hänestä talonpoikaista samuraihin. He kuvasivat löytöjään ja teoreemojaan kirkkailla väreillä laudoilla - sangakulla - ja ripustivat ne temppeleihin - enimmäkseen shintolaisia, harvemmin buddhalaisia - ja haudoihin. Nämä taulut olivat sekä uhri kunnioitetulle jumalalle että kirjailijan "julkaisu" hänen kauniista löydöstään. Suulliset selitykset olivat lähes olemattomia. Kirjoittaja tuntui sanovan: ”Katso ja, jos voit, todista se!”... Kirjaan ”Japanese Temple Geometry” kootut kauniit ongelmat ja lauseet ovat eräänlaista ”ympyrälaskentaa”, ”ympyrälaulua”. Niistä löydämme paitsi Soddy-kaavan, myös sen yleistyksen kolmiulotteiseen tapaukseen. Ensimmäinen maininta ympyrän säteiden välisestä suhteesta ilmestyi taululle (sangaku) vuonna 1796 Tokion prefektuurissa, täydellinen todiste julkaistiin vuonna 1830. Mielenkiintoista on, että esimerkki viiden vierekkäisen pallon säteiden välisestä suhteesta kuvattiin samasta paikasta löydetylle ja myöhemmin kadonneelle taululle jo vuonna 1785. 1800-luvun puolivälissä Japanissa julkaistiin täydellinen todiste "viiden vierekkäisten pallojen yleisestä kaavasta" ...

Kaarevuuden määritelmä

Descartesin lause ilmaistaan yksinkertaisimmin ympyrän kaarevuuden kannalta . Ympyrän kaarevuus määritellään , jossa r on sen säde. Mitä suurempi ympyrä, sitä pienempi sen kaarevuus ja päinvastoin. $k=\pm \ 1/r$

Plusmerkki kohdassa k = ±1/ r sijoitetaan, jos ympyrällä on ulkoinen tangentti toiseen ympyrään, kuten kuvassa kolme mustaa ympyrää. Jos kosketat ympyröitä sisäisesti , suurena punaisena ympyränä kuvassa, joka kuvaa muita ympyröitä, laitetaan miinusmerkki.

Jos oletetaan, että suora on rappeutunut ympyrä, jonka kaarevuus on nolla (ja siksi säde on ääretön), Descartesin lause koskee myös suoraa ja kahta toisiaan pareittain koskettavaa ympyrää. Tässä tapauksessa lause antaa kolmannen ympyrän säteen, joka koskettaa kahta muuta ja suoraa.

Jos neljä ympyrää koskettaa toisiaan kuudessa eri pisteessä ja ympyröillä on kaarevuus k i (jos i = 1, …, 4), Descartesin lause toteaa [4] :

(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{ 3}^{2}+k_{4}^{2}).

(yksi)

Jos yrität löytää neljännen ympyrän säteen, joka tangentti kolmea toisiaan koskettavaa ympyrää, yhtälö kirjoitetaan paremmin seuraavasti:

k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{ yksi}}}.

(2)

Merkki ± kuvastaa sitä tosiasiaa, että yleisessä tapauksessa ratkaisuja on kaksi . Jos jätämme pois suoran rappeutuneen tapauksen, yksi ratkaisu on positiivinen, kun taas toinen voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Jos ratkaisu on negatiivinen, se edustaa ympyrää, joka kuvaa kolmea ensimmäistä (kuten kuvassa).

Erikoistilaisuudet

Jos yksi ympyröistä korvataan suoralla, niin yksi luvuista k i , esimerkiksi k 3 , on nolla ja putoaa yhtälöstä (1). Yhtälöstä (2) tulee paljon yksinkertaisempi:

k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.

(3)

Jos kaksi ympyrää korvataan suorilla viivoilla, näiden kahden ympyrän välinen tangentti korvataan kahden suoran yhdensuuntaisuudella. Kahden muun jäljellä olevan ympyrän on oltava yhtä suuria. Tässä tapauksessa k 2 = k 3 = 0 yhtälöstä (2) tulee triviaali

\displaystyle k_{4}=k_{1}.

Kolmea ympyrää ei voi korvata viivoilla, koska yksi ympyrä ja kolme viivaa eivät voi koskettaa toisiaan pareittain. Descartesin lause ei myöskään päde tapaukseen, jossa kaikki neljä ympyrää koskettavat toisiaan yhdessä pisteessä.

Toinen erikoistapaus on, kun k i ovat neliöitä,

(v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4 }+z^{4})

Euler osoitti, että se vastaa Pythagoraan kolminkertaista kolmoisosaa ,

(2vx)^{2}+(2yz)^{2}=\,(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}

(2vy)^{2}+(2xz)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}

(2vz)^{2}+(2xy)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}

ja parametrinen esitys voidaan antaa . Jos valitsemme kaarevuuden negatiivisen merkin,

(-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{ 4}+z^{4})

yhtälö voidaan esittää hyvin tunnettuna parametrisena ratkaisuna [5] ,

[v,x,y,z]=\,[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac- bd)(b^{2}+d^{2})]

missä

a^{4}+b^{4}=\,c^{4}+d^{4}

Descartesin kompleksinen lause

Ympyrän määrittelemiseksi kokonaan sinun on tiedettävä sen säteen (tai kaarevuuden) lisäksi myös sen keskipiste. Vastaava yhtälö on paras kirjoittaa, kun koordinaatit ( x , y ) esitetään kompleksilukuna z = x + i y . Yhtälö näyttää tällöin yhtälöltä Descartesin lauseessa ja siksi sitä kutsutaan Descartesin kompleksiseksi lauseeksi .

Jos annetaan neljä ympyrää, joiden kaarevuus on k i ja keskipisteet z i ( i = 1…4), yhtälön (1) lisäksi pätee seuraava yhtälö:

(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1} ^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4 }^{2}z_{4}^{2}).

(neljä)

Kun k 4 on löydetty yhtälöllä (2), voit aloittaa z 4 :n laskemisen muuttamalla yhtälön (4) muotoon (2):

z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2} z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4} }}.

Jälleen yleensä z 4 :lle on kaksi ratkaisua, jotka vastaavat kahta ratkaisua k 4 :lle .

Yleistykset

N-ulotteisen avaruuden yleistystä kutsutaan joskus Soddy-Gossen lauseeksi , vaikka R. Lachlan teki sen jo vuonna 1886. N -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa toisiaan tangentti ( n - 1) -ulotteisten pallojen enimmäismäärä on n + 2. Esimerkiksi 3-ulotteisessa avaruudessa viisi palloa voi koskettaa toisiaan . Hyperpallojen kaarevuus täyttää yhtälön

\left(\sum _{{i=1}}^{{n+2}}k_{i}\right)^{2}=n\,\sum _{{i=1}}^{{n +2}}k_{i}^{2}

ja tapaus k i = 0 vastaa hypertasoa, aivan kuten kaksiulotteisessa tapauksessa.

Vaikka kompleksiluvuille ei ole olemassa 3-ulotteisia analogeja, keskusten sijaintien välinen suhde voidaan esittää matriisiyhtälöiden muodossa [ 6 ] .

Katso myös

Fordin ympyrä
Apolloniuksen verkko
Six Spheres of Soddy
Ympyrän tangenttiviivat
Isoperimetrinen piste

Muistiinpanot

↑ Barabanov O. O., Barabanova L. P. Descartesin ympyrälauseen historia // Tieteen ja tekniikan historia , nro 5, 2011. - S. 2-15
↑ Lagarias JC, Mallows CL, Wilks AR Beyond the Descartes Circle Theorem. arXiv math M.G. tammikuuta 2001// arXiv:math/0101066v1 [math.MG] 9. tammikuuta 2001// arxiv.org›pdf/math/0101066.pdf
↑ Vasilenko A. A. SERENAADI MATEMATIIKKAAN (pääsemätön linkki) / MATEMATIIKKA. KAIKKI OPETTAJALLE! Nro 9 (21)|Syyskuu 2012 °C. 45-46.
↑ Kaavaa (1) kutsutaan joskus Soddyn lauseeksi . Hän omisti hänelle lyhyen runon.
↑ Kokoelma algebrallisia identiteettejä: kolmen tai useamman neljännen tehon summat . Haettu 16. maaliskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 17. huhtikuuta 2018. (määrätön)
↑ Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks. Beyond the Descartes Circle Theorem // The American Mathematical Monthly. - Huhtikuu 2002. - T. 109 , no. 4 . — S. 338–361 . — .

Linkit

Interaktiivinen sovelma, joka esittelee neljää toisiaan tangenttia olevaa ympyrää
The Kiss Precise
XScreenSaver: Screenshots :: XScreenSaver - näyttöhakkerointi visualisoi Descartesin lauseen "Apollonian".
Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem
Sharygin I. F., Shtorgin M. I. Kuka keksi Soddy-kaavan? Matematiikka koulussa nro 02-03. 1992. S.31-33