Peano käyrä

Peano-käyrä on yleinen nimi parametrisille käyrille , joiden kuva sisältää neliön (tai yleisemmin avoimia avaruusalueita). Toinen nimi on tilantäyttökäyrä .

Nimetty Giuseppe Peanon (1858-1932) mukaan, tällaisten käyrien löytäjänä, tietyssä mielessä Peano-käyrä on Peanon löytämän ominaiskäyrän nimi.

Määritelmä

Intuitiivisesti jatkuva käyrä dimensioissa 2 tai 3 (tai suurempi) voidaan ymmärtää poluksi, jonka kulkee jatkuvasti liikkuva piste. Tämän ymmärryksen luontaisen epävarmuuden poistamiseksi Jordan ehdotti vuonna 1887 seuraavaa määritelmää, joka on sittemmin hyväksytty jatkuvan käyrän tarkaksi määritelmäksi :

Käyrä (päätepisteineen) on jatkuva kuvaus , jonka alue on yksikkösegmentti [0, 1].

Yleisimmässä muodossaan tällaisen kartoituksen toimialue voi sijaita mielivaltaisessa topologisessa avaruudessa , mutta useimmissa tutkituissa tapauksissa alue on euklidisessa avaruudessa , kuten kaksiulotteisessa tasossa ( tasokäyrä ) tai kolmiulotteisessa avaruudessa. ulottuvuusavaruus ( avaruuskäyrä ).

Joskus käyrä tunnistetaan kartoituksen alueeseen (kaikkien mahdollisten kartoitusarvojen joukkoon), eikä varsinaiseen funktioon. Voidaan myös määritellä käyrä ilman päätepisteitä jatkuvana funktiona reaaliviivalle (tai avoimelle välille (0, 1)).

Historia

Vuonna 1890 Peano löysi jatkuvan käyrän, jota nykyään kutsutaan Peano-käyräksi ja joka kulkee minkä tahansa yksikköneliön pisteen läpi [1] . Hänen tavoitteenaan oli rakentaa jatkuva kartoitus yksikkösegmentistä yksikköneliöön . Se oli Georg Cantorin aikaisempi odottamaton tulos, että yksikkövälin pistejoukolla on sama kardinaliteetti kuin minkä tahansa äärellisulotteisen moniston pistejoukolla , erityisesti yksikköneliöllä , joka sai aikaan Peanon ongelman tutkimuksen . Ongelma, jonka Peano ratkaisi, oli kysymys - voiko tällainen kartoitus olla jatkuva, eli voiko käyrä täyttää tilan. Peanon ratkaisu ei muodosta jatkuvaa yksi -yhteen- kuvausta yksikkövälin ja yksikköneliön välille, eikä sellaista ole myöskään olemassa (katso alla).

Oli yleisesti hyväksyttyä yhdistää paksuuden ja yksiulotteisuuden hämärä käsite käyrään. Kaikki yleisesti kohdatut käyrät olivat paloittain differentioituvia (eli niillä oli paloittain jatkuvat derivaatat), eivätkä tällaiset käyrät voi täyttää koko yksikköneliötä. Näin ollen tilan täyttävä Peano-käyrä koettiin terveen järjen vastaiseksi.

Peanon esimerkistä on helppo johtaa jatkuvia käyriä, jotka täyttävät n - ulotteisen hyperkuution (millä tahansa positiivisella kokonaisluvulla n ). Oli myös helppo laajentaa Peanon esimerkkiä käyriin, joilla ei ollut alku- tai loppupistettä, ja nämä käyrät täyttävät koko n - ulotteisen euklidisen avaruuden (jossa n on 2, 3 tai mikä tahansa muu positiivinen kokonaisluku).

Suurin osa hyvin tunnetuista tilantäyttökäyristä on konstruoitu iteratiivisesti kappaleittain lineaaristen jatkuvien käyrien sarjan rajaksi, joka lähestyy tilan täyttökäyrää kussakin vaiheessa.

Peanon vallankumouksellinen paperi ei sisältänyt mitään kuvaa rakenteesta, joka määriteltiin kolmiulotteisten jatkeiden ja peilauksen kannalta . Graafinen rakenne oli kuitenkin hänelle selvä - hän teki Torinossa sijaitsevaan taloonsa koristeen, joka heijastaa käyrän rakennetta. Kirjoituksen lopussa Peano huomautti, että tekniikkaa voitaisiin laajentaa muihin oudoihin perusteisiin, ei vain perustaan 3. Hänen valintansa välttää graafista visualisointia johtui epäilemättä halusta tarjota vankka, täydellisen tiukka todiste. älä luota mihinkään piirustukseen. Tuolloin (yleisen topologian tutkimuksen alkaessa) todistukseen sisältyi usein graafisia argumentteja, mutta usein ne olivat esteenä terveen järjen vastaisten tulosten ymmärtämiselle.

Vuotta myöhemmin David Hilbert julkaisi samassa lehdessä toisen version Peano-rakenteesta [2] . Hilbertin paperi oli ensimmäinen, joka sisälsi piirustuksen, joka auttoi esittelemään rakennustekniikkaa. Pohjimmiltaan se oli sama piirros kuin tässä. Hilbertin käyrän analyyttinen muoto on kuitenkin huomattavasti monimutkaisempi kuin Peanon käyrä.

Ominaisuudet

Jokaisella Peano-käyrällä on useita pisteitä .
- Ei ole olemassa Peano-käyrää, jonka jokainen piste on yksinkertainen tai kaksinkertainen, mutta on olemassa Peano-käyrä, jossa on korkeintaan vain kolminkertaisia pisteitä (laskettavissa oleva luku). Tällainen on esimerkiksi Peanon itsensä rakentama käyrä ; Alla oleva Hilbertin konstruktio sisältää nelinkertaisia pisteitä (myös laskettavassa numerossa ).
On olemassa mittaa säilyttäviä Peano-käyriä, toisin sanoen neliön osajoukon Lebesgue -mitta osuu sen segmentillä olevan käänteisen kuvan Lebesguen mittaan. Alla olevassa Hilbertin esimerkissä on tämä ominaisuus.
Peanon käyrän käsite liittyy omituiseen tosiasiaan tilallisten yksinkertaisten kaarien olemassaolosta, jotka on projisoitu tasolle jatkuvien alueiden muodossa - tällainen on esimerkiksi käyrä ${\näyttötyyli r(t)=(x(t),y(t),t)}$

jossa kaksi ensimmäistä funktiota määrittelevät Peano-käyrän. Vaikka tämä kaari voi suojata pystysuoralta auringonvalolta, se ei voi suojata sateelta, koska se ei ole jatkuva pinta.

Jos käyrä ei ole injektiivinen, voidaan löytää kaksi käyrän leikkaavaa alikäyrää , jotka saadaan kuvina kahdesta ei-leikkautuvasta segmentistä käyrän alueella (eli yksikkösegmentissä). Kaksi alikäyrää leikkaavat , jos kahden kuvan leikkauspiste ei ole tyhjä. On houkuttelevaa ajatella, että käyrät leikkaavat sitä, että ne leikkaavat, kuten kahden ei-rinnakkaisen suoran leikkauspiste, mutta kaksi käyrää (tässä tapauksessa osakäyrät) voivat koskettaa risteämättä, kuten esimerkiksi tangenttiviiva koskettaa ympyrää .
Klassisissa tilaa täytteissä Peanon ja Hilbertin käyrien kohdalla käyrien leikkauspisteissä (teknisessä mielessä) käyrien välillä on kontakti niitä ylittämättä. Avaruuden täyttökäyrällä voi (jokaisessa pisteessä) olla itseleikkauksia (risteyksiä), jos sen approksimoiva käyrä on itsensä ylittävä. Tilan täyttökäyrän likiarvo ei saa sisältää itseleikkauksia, kuten yllä olevissa kuvissa. 3D-avaruudessa approksimaatiokäyrät ilman itseleikkauksia voivat sisältää jopa solmuja . Approksimoivat käyrät pysyvät n -ulotteisen avaruuden rajoitetun alueen sisällä , mutta niiden pituus kasvaa rajattomasti.
Tilan täyttökäyrät ovat fraktaalien rakentamisen erikoistapaus . Erilaista tilantäyttökäyrää ei voi olla. Karkeasti sanottuna erilaistuvuus asettaa rajoituksia käyrän kääntymisnopeudelle.

Integrointi

Wiener huomautti, että tilan täyttökäyrää voitaisiin käyttää vähentämään Lebesgue-integraatiota suurissa ulottuvuuksissa Lebesgue-integraatioon janalla.

Esimerkkejä

Analyyttinen rakenne [3] .

Tarkastellaan segmentille määriteltyjä funktioita seuraavasti . Olkoon hajautuksen kolmiosaisessa lukujärjestelmässä muoto (kukin on yhtä suuri kuin 0, 1 tai 2). Sitten määritämme luvun, jolla on seuraava hajotelma kolmiosaisessa järjestelmässä: $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$ $x$ ${\displaystyle 0,x_{1}x_{2}\ldots x_{k))$ $x_k$ $f(x)$ ${\displaystyle 0,f_{1}f_{2}\ldots f_{k))$

$f_{1}=x_{1}$
$f_{2}=x_{3}$ , jos parillinen, ja , jos pariton , jos parillinen $x_{2}$ ${\näyttötyyli 2-x_{3))$ $x_{2}$
$\ldots$
${\displaystyle f_{k}=x_{2k-1))$ ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

${\displaystyle f_{k}=2-x_{2k-1))$ , jos outoa ${\displaystyle x_{2}+x_{4}+\ldots +x_{2k-2))$

Samalla tavalla määrittelemme funktion kolminumerojärjestelmässä: $g(x)=0,g_{1}g_{2}\ldots g_{k}\ldots$

$g_{1}=x_{2}$ , jos parillinen, ja , jos pariton , jos parillinen , jos pariton $x_{1}$ ${\näyttötyyli 2-x_{2))$ $x_{1}$
$\ldots$
${\displaystyle g_{k}=x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$
${\displaystyle g_{k}=2-x_{2k))$ ${\displaystyle x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{2k-1))$

Harkitse nyt kartoitusta: . Voidaan todistaa, että: $x\mapsto [f(x),g(x)]$

1. Funktiot ja ovat hyvin määriteltyjä (eli numeroissa, jotka mahdollistavat 2 esityksen kolminumerojärjestelmässä, arvot ja osoittautuvat riippumattomiksi esityksen valinnasta). $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$

2. Toiminnot ja ovat jatkuvasti päällä . $f(x)$ $g(x)$ $[0,1]$

3. Yhtälöjärjestelmällä ja on vähintään 1 ja enintään 4 ratkaisua mille tahansa ja välissä . $f(x)=a$ $g(x)=b$ $a$ $b$ $[0,1]$

Siten kartoitus koordinaattifunktioilla ja tasossa neliöi janan jatkuvasti . $f$ $g$ $x\mapsto [f(x),g(x)]$ $[0,1]$ $[0,1]^{2}$

Geometrinen rakenne.

Harkitse yksikkösegmenttiä ja yksikköneliötä. Rakentamisen ensimmäisessä vaiheessa jaamme neliön keskiviivojen avulla 4 yhtä suureen neliöön ja segmentin 4 yhtä suureen osaan. Saamme 1. tason neliöt ja segmentit. Jokaisessa seuraavassa vaiheessa jaamme edellisen tason neliöt ja segmentit 4 osaan - saamme seuraavan tason neliöt ja segmentit. Meillä on 4 ruutua 1. tasosta, 16 ruutua 2. tasosta jne.; sama leikkausten kanssa. Asetetaan kunkin tason neliöiden ohitusjärjestys. 1., 2., ..., 6. tason ohitusjärjestys on esitetty kuvassa. Läpikulkujärjestys määrittelee yksi yhteen vastaavuuden n :nnen tason neliöjoukon ja n :nnen tason segmenttien joukon välillä .

Olkoon nyt mielivaltainen piste alkuperäisestä yksikkösegmentistä. Olkoon 1. tason segmentin numero, johon piste kuuluu , 2. tason segmentin numero, johon piste kuuluu jne. Tarkastellaan neliöitä , joilla on samat numerot . Neliöiden läpikulkujärjestys on järjestetty siten, että (huomio!) neliöt muodostavat sisäkkäisen järjestelmän. Sisäkkäisen (supistuvan) segmenttilauseen mukaan neliöillä on yksi yhteinen piste . $x$ $k_{1}$ $x$ $k_{2}$ $x$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $k_{1},k_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Jos se kuuluu samanaikaisesti 2 segmenttiin, niin nämä segmentit vastaavat 2 neliötä, joilla on yhteinen sivu - näin ohitusjärjestys on järjestetty. Kutsumme tällaisia neliöitä viereisiksi. Harkitse tässä tapauksessa neliöiden sijaan suorakulmioita – vierekkäisten neliöiden yhdistelmiä. Ja sitten - näiden suorakulmioiden sisäkkäisen järjestelmän ainoa yhteinen piste. $x$ $Q_{1},Q_{2},\ldots$ $y$

Samanlainen päättely osoittaa, että jokainen neliön piste vastaa jotakin yksikkösegmentin pistettä. $y$ $x$

Muodostettu kartoitus määrittää halutun Peano-käyrän. Näytön jatkuvuus johtuu siitä, että läheiset segmentit vastaavat läheisiä neliöitä. Jokaisessa pisteessä on: $x \nuoli oikealle y$ $y$

1 esikuva (jos se ei kuulu minkään tason kahden ei-viereisen neliön rajoihin), $x$ $y$
2 esikuvaa (jos rajoissa ei ole enempää kuin kaksi vierekkäistä jonkin tason neliötä), $y$
3 esikuvaa (jos se kuuluu tietyn tason neljän neliön rajoihin, joista yksi pari on vierekkäin), esimerkki tällaisesta pisteestä on neliön keskipiste, $y$
4 esikuvaa (jos se kuuluu jonkin tason neljän parittaisen ei-viereisen neliön rajoihin). $y$

Neliöiden kiertämisjärjestystä määrittävät käyrät ovat Peanon käyrän peräkkäisiä approksimaatioita. Peano-käyrä on näiden käyrien raja.

Suurin ero Peano-käyrän ja Hilbertin tulkinnan välillä on, että alkuperäinen yksikköneliö ei ole jaettu 4:ään, vaan 9 osaan, joiden jokaisen sivun koko on 3 -n x3 -n , missä n on iteraationumero [4] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

On olemassa analogi Peanon käyristä, jotka täyttävät moniulotteisen kuution ja jopa Hilbert-tiilen .
Kaksinkertaisesti rappeutuneiden Klein-ryhmien teoriassa on monia luonnollisia esimerkkejä tilan täyttävistä tai pikemminkin pallotäyttökäyristä . Esimerkiksi Cannon ja Thurston [5] osoittivat, että pseudo-Anosov-diffeomorfismin kartoituksen toruskimpun universaalin kannen äärettömyydessä oleva ympyrä on tilan täyttävä käyrä. (Tässä äärettömyydessä oleva pallo on hyperbolisen 3-ulotteisen avaruuden äärettömässä oleva pallo .)
Pitkälle menevä yleistys sisältää Mazurkiewiczin lauseen :

Jos on jatkumo , niin seuraavat ehdot ovat vastaavia: $X$

tila on paikallisesti yhdistetty, $X$
$X$ on intervallin jatkuva kuva.

Hahn - Mazurkiewicz -lause on seuraava luonnehdinta avaruuksista, jotka ovat jatkuvia käyrien kuvia:

Ei-tyhjä Hausdorffin topologinen avaruus on kuva yksikkövälistä, jos ja vain jos se on kompakti, yhdistetty , paikallisesti yhdistetty ja toinen laskettavuuden aksiooma pätee siihen .

Välilyöntejä, jotka ovat yksikkövälin jatkuva kuva, kutsutaan joskus Peano-avaruuksiksi . Monissa Hahn-Mazurkiewiczin lauseen muotoiluissa laskettavuuden toisen aksiooman täyttyminen on korvattu käsitteellä metrisoitava . Nämä kaksi formulaatiota ovat samanarvoisia. Yhdessä suunnassa kompakti Hausdorff-avaruus on normaaliavaruus ja Urysohnin metrisoitavuuslauseen mukaan toisen laskettavuuden aksiooman täyttyminen merkitsee metrisoitavuutta. Päinvastaisessa suunnassa kompaktille metriavaruudelle toinen laskettavuuden aksiooma pätee .

Muistiinpanot

↑ Peano, 1890 , s. 157.
↑ Hilbert, 1891 .
↑ Idea on otettu kirjasta: Makarov B. M., Goluzina M. G., Lodkin A. A., Podkorytov A. N. Valitut ongelmat todellisessa analyysissä. - M .: Nauka, 1992. - S. 44.
↑ Slyusar, V. Fraktaaliantennit. Pohjimmiltaan uudenlainen "rikkinäinen" antenni. Osa 2 . Elektroniikka: tiede, teknologia, liiketoiminta. - 2007. - Nro 6. S. 82-89. (2007). Haettu 22. huhtikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 3. huhtikuuta 2018. (määrätön)
↑ Cannon, Thurston, 2007 .

Kirjallisuus

James W. Cannon, William P. Thurston . Ryhmäinvariantti Peano-käyrät // Geometry & Topology . - 2007. - T. 11 , no. 3 . - S. 1315-1355 . — ISSN 1465-3060 . - doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 . (julkaistu ensimmäisen kerran vuonna 1982)
D. Hilbert . Über die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück // Mathematische Annalen . - 1891. - T. 38 , no. 3 . — S. 459–460 . - doi : 10.1007/BF01199431 .
BB Mandelbrot. Luonnon fraktaaligeometria . - W. H. Freeman, 1982 .
Douglas M. McKenna. Matematiikan kevyempi puoli: virkistysmatematiikan ja sen historian Eugene Strensin muistokonferenssin julkaisuja / Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. - Mathematical Association of America , 1994. - S. 49-73. — ISBN 978-0-88385-516-4 .
G. Peano . Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane // Mathematische Annalen . - 1890. - T. 36 , no. 1 . — S. 157–160 . - doi : 10.1007/BF01199438 . .
Hans Sagan. Tilan täyttökäyrät. - Springer-Verlag, 1994. - ISBN 0-387-94265-3 .
Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M. , 1977.
Luzin N. N. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. - 2. painos - M. , 1948.

Linkit

Java-sovelmat Cut-the-Knot- sivustolla :

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Britannica (verkossa)

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto

fraktaaleja
Ominaisuudet	fraktaali ulottuvuus Hausdorffin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus rekursio itsensä samankaltaisuus
Yksinkertaisimmat fraktaalit	Fern Barnsley Kantorin setti lohikäärmeen käyrä Kochin käyrä Sieni Menger Sierpinski matto Sierpinskin kolmio Tilan täyttökäyrä
outo houkutin	Multifraktaali
L-järjestelmä	Tilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit	Julia setti Ljapunovin fraktaali Mandelbrot setti Newtonin altaat
Satunnaiset fraktaalit	Brownin liike ruskea puu fraktaalipinta Perkolaatioteoria
Ihmiset	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Aleksanteri Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
liittyvät aiheet	Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? » Rannikkoparadoksi