Mitattavissa oleva tila

Mitattavissa oleva avaruus on topologinen avaruus , joka on homeomorfinen jollekin metriiselle avaruudelle . Toisin sanoen avaruus, jonka topologia on generoitu jonkin metriikan avulla .

Jos tällainen metriikka on olemassa, se ei ole ainutlaatuinen, paitsi triviaalisissa tapauksissa: kun tila on tyhjä tai koostuu vain yhdestä pisteestä. Esimerkiksi jokaisen mitattavan avaruuden topologia on muodostettu jollakin rajoitetulla metriikalla.

Vaadittavat ehdot mitattavuudelle

Mitattavassa avaruudessa vahvat erotettavuusaksioomit pätevät : ne ovat normaaleja ja jopa kollektiivisesti normaaleja .
Jokainen mitattava tila on parakompakti .
Kaikki mitattavat avaruudet täyttävät laskettavuuden ensimmäisen aksiooman .
Minkä tahansa mitattavan tilan Suslin- luku , Lindelöf-luku , tiheys , leviäminen , laajuus ja paino ovat samat .

Riittävä ehto mitattavuudelle

Jokainen normaali tila (ja jopa jokainen tavallinen tila ), jolla on laskettava kanta, on mitattava. ( P. S. Uryson ja A. N. Tikhonov )

Vastaavat ehdot mitattavuudelle

PS Aleksandrov ja PS Uryson ehdottivat ensimmäisen yleisen kriteerin tilan mittaatavuudelle vuonna 1923 . Sen perusteella kehitettiin seuraavat kaksi täydellisempää mitattavuuden kriteeriä:

avaruus on mitattava silloin ja vain, jos se on kollektiivisesti normaali ja siinä on laskettava , jalostava joukko avoimia kansia ;
(Stone-Arkhangelsky-kriteeri) Avaruus on mitattavissa silloin ja vain, jos sillä on laskettava perusjoukko avoimia kansia ja se täyttää -erotettavuusaksiooman. Tässä tapauksessa avaruuden avoimien kansien joukkoa kutsutaan perustavanlaatuiseksi, jos jokaiselle pisteelle , jokaiselle sen naapurustolle on kansi ja pisteen naapurusto siten, että jokainen kannen elementti, joka leikkaa kanssa, sisältyy kohtaan . $T_{1}$ $X$ $x\in X$ $U_x$ ${\mathcal P}$ $Härkä$ $x$ ${\mathcal P}$ $Härkä$ $U_x$

Toinen tärkeä käsite, paikallinen rajallisuus, on yleisten mittauskriteerien perusta.

Nagata-Smirnovin kriteeri: Avaruus on metrisoitavissa silloin ja vain, jos se on säännöllinen ja sen kanta hajoaa lokaalisti äärellisten joukkoperheiden laskettavaksi joukoksi . $X$

Bingin kriteeri on samanlainen, mutta se käyttää diskreettejä joukkoperheitä paikallisesti äärellisten joukkojen sijaan. Kätevät muunnelmat yllä olevista mittaavuusperusteista liittyvät käsitteisiin yhtenäinen kanta ja säännöllinen kanta. Avaruuden kantaa kutsutaan säännölliseksi (uniformiksi), jos jollakin pisteellä ja jollakin sen naapurustosta on tämän pisteen naapurusto siten, että samanaikaisesti leikkaavien kannan ja komplementin elementtien lukumäärä on äärellinen (vastaavasti, jos elementtijoukko sellainen, että on äärellinen). ${\mathcal B}$ $X$ $x\in X$ $Härkä$ $U_x$ ${\mathcal B}$ $U_x$ $Härkä$ $\Omega \in {\mathcal B}$ $\Omega \ni x$ $\Omega \not \subset O_{x}$

Avaruus on mitattava silloin ja vain, jos se on kollektiivisesti normaali ja sillä on yhtenäinen kanta. $X$
Jotta -avaruus olisi mitattava , on välttämätöntä ja riittävää, että sillä on säännöllinen kanta. $T_{1}$

Kovalsky-lauseen mukaan orjantappuraisuuden siilin laskettava aste (for ) on universaali tila kaikille mitattavissa oleville paino - avaruksille . Siten avaruus on metrisoitavissa silloin ja vain, jos se on homeomorfinen jonkin verran piikkyyden omaavalle siilin aliavaruudelle . [yksi] $\mathfrak{m}$ ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$

Erikoistapaukset

Mittauskriteerit saavuttavat yksinkertaisuuden useissa erikoisluokissa. Jotta kompakti sarja olisi mitattavissa, mikä tahansa seuraavista kolmesta ehdosta on välttämätön ja riittävä: $X$

Jotta topologisen ryhmän avaruus olisi metrisoitavissa, on välttämätöntä ja riittävää, että ensimmäinen laskettavuuden aksiooma ja erotettavuuden aksiooma täyttyvät jälkimmäisessä , ja sitten avaruus on mitattavissa invariantin metriikan avulla (esim. kertolasku vasemmalla). $T_{0}$

Tietoja täydellisyydestä

Jokaista mitattavaa tilaa ei voida mitata täydellisellä metriikassa ; sellainen on esimerkiksi rationaalilukujen avaruus . Avaruus on metrisoitavissa täydellä metriikalla, jos ja vain jos se on metrisoitavissa ja Cech täydellinen , eli se on G δ -tyyppinen joukko jossain sen sisältävässä kompaktissa joukossa. Tärkeä topologinen ominaisuus täydellä metriikalla mitattavilla avaruuksilla on Baer-ominaisuus : minkä tahansa kaikkialla tiheiden avojoukkojen laskettavan perheen leikkauspiste on kaikkialla tiheä.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Morov-avaruudet ovat lähimpänä kiinteistöissä mitattavia tiloja - täysin säännöllisiä tiloja , joissa on laskettava jalostusperhe avoimia kansia, ja pitsiset tilat .

Monipuoliset yleistykset metrisoitavan avaruuden käsitteestä saadaan vaihtelemalla metriikan aksioomia, heikentämällä niitä tavalla tai toisella ja huomioimalla tällaisten "metriikojen" synnyttämät topologiat. Tällä polulla saadaan symmetrisoitavia avaruuksia - hylkäämällä kolmion epäyhtälön aksiooma . Morovialaiset tilat sopivat myös tähän malliin. Toinen tärkeä yleistys mittaavuuden käsitteelle liittyy "metriikan" huomioimiseen puolikenttien ja muiden yleisluonteisten algebrallisten muodostelmien arvoilla.

Muistiinpanot

↑ Swardson, MA Lyhyt todistus Kowalskyn siililauseesta . American Mathematical Society (1. kesäkuuta 1979). Haettu 12. heinäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 14. heinäkuuta 2014. (määrätön)

Kirjallisuus

Aleksandrov, Pavel Sergeevich, Boris Alekseevich Pasynkov. Johdatus ulottuvuusteoriaan: johdanto topologisten avaruuksien teoriaan ja yleiseen ulottuvuusteoriaan. - Nauka, fysiikan ja matematiikan kirjallisuuden pääpainos, 1973.