Julia setti

Holomorfisessa dynamiikassa rationaalisen kartan Julia -joukko on joukko pisteitä, joiden naapuridynamiikka on tietyssä mielessä epävakaa alkuaseman pienten häiriöiden suhteen. Jos f on polynomi, otetaan huomioon myös täytetty Juliajoukko eli joukko pisteitä, jotka eivät pyri äärettömyyteen. Tavallinen Julia-joukko on silloin sen rajana . $J(f)$ $f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$

Fatou-setti täydentää Julia-settiä. Toisin sanoen f :n iteraation dynamiikka ei ole säännöllistä, mutta ei kaoottista. $F(f)$ $F(f)$ $J(f)$

Täydentää Picardin suurta lausetta "analyyttisen funktion käyttäytymisestä olennaisesti singulaarisen pisteen läheisyydessä".

Nämä joukot on nimetty ranskalaisten matemaatikoiden Gaston Julian ja Pierre Fatoun mukaan, jotka aloittivat holomorfisen dynamiikan tutkimuksen 1900-luvun alussa.

Määritelmät

Olkoon rationaalinen kartoitus. Fatou-joukko koostuu pisteistä z siten, että rajoituksessa riittävän pienelle z :n ympäristölle iteraatioiden sarja $f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$

(f^n)_{n\in\mathbb{N}}

muodostaa normaalin perheen Montelin merkityksessä . Julia-setti täydentää Fatou-settiä.

Tämä määritelmä mahdollistaa seuraavan vastaavan uudelleenmuotoilun: Fatou-joukko on joukko pisteitä, joiden kiertoradat ovat Ljapunov-stabiileja . (Reformuloinnin ekvivalenssi ei ole ilmeinen, mutta se seuraa Montelin lauseesta .)

Ominaisuudet

Kuten määritelmistä seuraa, Julia-sarja on aina suljettu , kun taas Fatou- sarja on aina auki .
Julia-joukko 1:tä suuremman asteen kartoitukseen on aina ei-tyhjä (muuten voitaisiin valita tasaisesti konvergentti iteraatioiden osajono.) Fatoun joukon suhteen samanlainen väite ei pidä paikkaansa: on esimerkkejä, joissa Julia sarja osoittautuu koko Riemannin sfääriksi . Tällainen esimerkki voidaan rakentaa ottamalla toruksen tuplauskartta (jonka dynamiikka on kaikkialla kaoottista) ja viemällä se Weierstrass-funktion läpi . $z\mapsto 2z (mod\, \Z[i])$ $\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]$ $\wp$ ${\displaystyle \wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1))$
Julia-joukko on kaikkien vastenmielisten jaksollisten kiertoratojen liiton sulkeminen.
Fatou- ja Julia-joukot ovat molemmat täysin invariantteja f :n vaikutuksesta , eli ne ovat yhtäpitäviä sekä oman kuvansa että koko esikuvansa kanssa:

\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),

\f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).

Julia-joukko J(F) on minkä tahansa houkuttelevan tai erittäin houkuttelevan kiertoradan (kokonais) vetovoima-altaan raja; Tämän erikoistapauksena on väite, jonka mukaan J(F) on täytetyn Juliajoukon raja (koska polynomikartoituksella ääretön on erittäin houkutteleva kiinteä piste ja täytetty Juliajoukko täydentää sen vetoaluetta). Lisäksi ottamalla polynomikuvaus, jossa on kolme erilaista houkuttelevaa kiinteää pistettä, saadaan esimerkki kolmesta avoimesta (luonnollisesti irtautuneesta) joukosta tasossa, jolla on yhteinen raja.
Jos avoin joukko leikkaa Juliajoukon, niin jostain riittävän suuresta n :stä alkaen kuva osuu yhteen koko Juliajoukon kanssa . Toisin sanoen iteraatiot venyttävät mielivaltaisen pienen naapuruston Julia-joukossa koko Julia-joukon yli. $U$ $f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J$ $J$
Koska yllä mainittu venytys tapahtuu useimmiten melko nopeasti, holomorfiset mappaukset ovat konformisia ja Julia-joukko on dynamiikassa invariantti - sillä osoittautuu olevan fraktaalirakenne : sen pienet osat ovat samanlaisia kuin suuret.
Jos Julia-sarja eroaa koko Riemannin pallosta , siinä ei ole sisäpisteitä .
Kaikille Riemmann-pallon pisteille z , lukuun ottamatta ehkä kahta, kokonaisten esikuvien sarjan rajapisteiden joukko on Julia-joukko. Tätä ominaisuutta käytetään tietokonealgoritmeissa Julia-joukon muodostamiseen. $f^{-n}(z)$
Sullivanin lause sanoo, että mikä tahansa Fatou-joukon yhdistetty komponentti on preperiodinen. Fatou-joukon jaksollisten komponenttien luokittelulause puolestaan sanoo, että jaksolliset komponentit ovat yhtä neljästä tyypistä: houkuttelevan tai erittäin houkuttelevan kiinteän tai jaksollisen pisteen vetovoimapooli, parabolisen pisteen Fatou- keila , Siegel-levy ja Herman-sormus .

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Neliöllinen kartoitus koordinaatteja muuttamalla pelkistetään aina muotoon . Osoittautuu, että Julia-joukko on kytketty silloin ja vain, jos kriittinen piste z=0 (tai vastaavasti sen kuva z=c ) ei mene äärettömään. Jos iteraatiot 0 pyrkivät äärettömyyteen, Julia-joukko (joka on tässä tapauksessa sama kuin täytetty Julia-joukko) osoittautuu homeomorfiseksi Cantor-joukolle ja sen mitta on nolla. Tässä tapauksessa sitä kutsutaan Fatou-pölyksi (hämmentävästä nimestä huolimatta se on juuri Julia-sarja - kaoottisen dynamiikan joukko!). $z\mapsto P_2(z)$ $z\mapsto z^2 +c$

Parametrijoukkoa c , jolle neliödynamiikan Julia-joukko on kytketty, kutsutaan Mandelbrot-joukoksi . Sillä on myös fraktaalirakenne (ja se on luultavasti yksi kuuluisimmista fraktaaleista).

Numeerinen rakenne

Boundary Scan Method (BSM)

Jos funktiolla f on useita attraktoreita (kiinteitä tai jaksollisia attraktoreita), Julia-joukko on minkä tahansa niistä vetoaltaan raja. Tämä ominaisuus on perusta Julia-joukon kuvantamisalgoritmille, jota kutsutaan rajapyyhkäisymenetelmäksi (BSM). Se koostuu seuraavista. Tarkastellaan suorakaiteen muotoisten pikselien ruudukkoa. Sen määrittämiseksi, pitäisikö pikseli maalata kuuluvaksi Julia-joukkoon, lasketaan sen kunkin "kulman" kuva suuren iteraatiomäärän f vaikutuksesta. Jos kuvat ovat kaukana toisistaan, kulmat kuuluvat erilaisten houkuttajien altaisiin. Tästä seuraa, että altaiden välinen raja kulkee tämän pikselin läpi ja se maalataan päälle. Kaikkien pikselien läpi käymällä saamme kuvan, joka vastaa Julia-joukkoa.

Tätä menetelmää voidaan käyttää myös silloin, kun ei ole kahta attraktoria, mutta on olemassa Siegel-levyjä , Ehrman-renkaita tai parabolisia altaita. (Jos kaksi läheistä pistettä pysyvät lähellä, niin niiden kiertoradat ovat Ljapunov-stabiileja ja pieni naapurusto näistä pisteistä kuuluu Fatoun alueelle; muuten niiden lähellä on Julia-pisteitä.) Samalla tämä menetelmä ei toimii, kun kartoituksella on vain yksi attraktori ja melkein koko Riemannin sfääri on sen vetoalue. (Esimerkiksi .) [1] $z\mapsto z^2+i$

Inverse Iteration Calculation Method (IIM)

Julia-joukko on kaikkien täyskäänteisten kuvien liiton sulkeminen mistä tahansa vastenmielisestä kiinteästä pisteestä. Jos siis on olemassa tehokas algoritmi käänteisen mappauksen laskemiseen ja ainakin yksi repulsiivinen kiinteä piste tunnetaan, sen käänteiskuvat voidaan laskea peräkkäin Julia-joukon muodostamiseksi. Jokaisessa vaiheessa jokaisessa pisteessä on yhtä monta esikuvaa kuin f:n potenssi, joten esikuvien kokonaismäärä kasvaa eksponentiaalisesti ja niiden koordinaattien tallentaminen vaatii paljon muistia. [1] Käytännössä käytetään myös seuraavaa muunnelmaa: jokaisessa vaiheessa valitaan yksi satunnainen esikuva. Samalla on kuitenkin otettava huomioon, että tällainen algoritmi ohittaa Julia-joukon epätasaisesti: joihinkin alueisiin pääsee vain hyvin pitkässä (käytännössä saavuttamattomassa) ajassa, eivätkä ne näy tuloksena olevassa kaaviossa. . $f^{-1}$

Mielenkiintoisia faktoja

Matemaatikot ovat osoittaneet, että mielivaltainen suljettu luku tasossa voidaan approksimoida mielivaltaisesti lähelle Julia-joukolla sopivalle polynomille. Muun muassa oman tekniikansa esittelynä tutkijat onnistuivat rakentamaan melko hyvän likiarvon kissan siluetista. Tiedemiesten mukaan heidän esimerkkinsä osoittaa selvästi, että polynomisten (eli polynomien antamien) dynaamisten järjestelmien dynamiikka voidaan järjestää mitä monipuolisimmalla tavalla. He sanovat, että heidän esimerkkinsä on hyödyllinen tällaisten järjestelmien teoriassa [2] .

Galleria

Täytetty Juliajoukko kuvaukselle f ( z ) = z 2 −1. Aksiaalinen symmetria osoittaa kuvitteellisen komponentin puuttumisen kartoituksen f ( z ) vapaassa termissä.
Täytetty Julia-joukko kartoitusta varten f ( z ) = z 2 +0,28+0,0113 i . Vastapäivään pyörivät pyörteet osoittavat positiivista imaginaarikomponenttia kartoituksen f ( z ) vapaassa termissä.
Täytetty Julia-joukko f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i
Täytetty Julia-joukko f ( z ) = z 5 −0,549653+0,003 i (fragmentti)
Täytetty Juliajoukko f ( z ) = cos z . Kuvan keskipiste on koordinaattien 0+0 i origo, ornamentin vaakajakso on $\pi$
Täytetty Juliajoukko f ( z ) = sin z . Jos käännät kuvaa 90°, saat täytetyn Juliajoukon f ( z ) = sh z

Linkit

Milnor , J. Holomorfinen dynamiikka. Esittelyluennot. = Dynamiikka yhdessä monimutkaisessa muuttujassa. Esittelyluennot. - Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2000. - 320 s. - ISBN 5-93972-006-4 .
Yksinkertainen ohjelma Julia-sarjojen luomiseen (Windows, 370 kB)
Mandelbrot ja Julia asettuvat FractalWorldiin

Muistiinpanot

↑ 1 2 D. Saupe. Juliajoukkojen ja niiden fraktaaliulottuvuuden tehokas laskenta // Physica. - Amsterdam, 1987. - Numero. 28D . - S. 358-370 . Arkistoitu alkuperäisestä 11. kesäkuuta 2007.
↑ Matemaatikot arvioivat kissaa Julia-sarjoilla . Haettu 29. syyskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 21. tammikuuta 2021. (määrätön)

fraktaaleja
Ominaisuudet	fraktaali ulottuvuus Hausdorffin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus rekursio itsensä samankaltaisuus
Yksinkertaisimmat fraktaalit	Fern Barnsley Kantorin setti lohikäärmeen käyrä Kochin käyrä Sieni Menger Sierpinski matto Sierpinskin kolmio Tilan täyttökäyrä
outo houkutin	Multifraktaali
L-järjestelmä	Tilan täyttökäyrä
Bifurkaatiofraktaalit	Julia setti Ljapunovin fraktaali Mandelbrot setti Newtonin altaat
Satunnaiset fraktaalit	Brownin liike ruskea puu fraktaalipinta Perkolaatioteoria
Ihmiset	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Aleksanteri Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
liittyvät aiheet	Kuinka pitkä Ison-Britannian rannikko on? » Rannikkoparadoksi