Erman sormus

Erman-rengas on yksi Fatou-alueen kiinteän tai jaksoittaisen yhdistetyn komponentin tyypeistä holomorfisessa dynamiikassa . Tällainen yhdistetty komponentti vastaa topologisesti rengasta, ja kuvauksen dynamiikka (tai sen ensimmäinen paluu-iteraatio, jos kyseessä on jaksollinen komponentti) on konjugoitava tämän renkaan irrationaaliseen kiertoon.

Rakentaminen

Yksi tapa rakentaa kartoitus, jonka Fatou-sarjan yhdeksi osaksi osoittautuu Hermann-sormus, perustuu Blaschken tuotteiden harkintaan . Nimittäin Blaschken tuotteet ovat lomakkeen karttoja

f(z)=\lambda \prod _{j=1}^{n}{\frac {z-a_{j}}{1-{\bar {a_{j}}}z}}, \quad |\lambda |=1,\quad |a_{j}|\neq 1,\,

säilytä yksikköympyrä ja säilytä sen suunta silloin ja vain, jos yksikkölevyn ulkopuolella on parillinen määrä pisteitä . $\{|z|=1\}$ $a_{j}$

Pisteitä valitsemalla voidaan varmistaa, että kuvauksen f rajoitus tähän ympyrään on diffeomorfismi , jolla on diofantininen kiertoluku . Herman-Yokkoz-lause sanoo tässä tapauksessa, että f on analyyttisesti konjugoitu vastaavaan kiertoon. Tämä paikallinen konjugaatio ulottuu edelleen yksikköympyrän sisältävän Fatou-komponentin rajalle, joka siten osoittautuu Herman-renkaaksi. $a_{j}$

Esimerkki tällaisen konstruktion toteutuksesta on asteen 3 rationaalinen kartoitus ,

f(z)=e^{2\pi it}\cdot {\frac {z^{2}(z-4)}{1-4z)),

jossa vakio valitaan siten, että yksikköympyrän rajoitteen f kiertoluku on . $t=0,6151732\dots$ $({\sqrt {5}}-1)/2$

Kirjallisuus

Milnor , J. Holomorfinen dynamiikka. Esittelyluennot. = Dynamiikka yhdessä monimutkaisessa muuttujassa. Esittelyluennot. - Izhevsk: Tutkimuskeskus "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2000. - S. 189-194. – 320 s. - ISBN 5-93972-006-4 .