Kantor, George

Georg Kantor ( saksalainen  Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor , 3. maaliskuuta 1845 , Pietari  - 6. tammikuuta 1918 , Halle (Saale)) - saksalainen matemaatikko , Weierstrassin opiskelija . Hänet tunnetaan parhaiten joukkoteorian luojana . Saksan matematiikan seuran perustaja ja ensimmäinen puheenjohtaja, kansainvälisen matemaatikoiden kongressin perustamisen aloitteentekijä .

Cantor määritteli ensin mielivaltaisten joukkojen vertailun , mukaan lukien äärettömät, niiden " kardinaliteetilla " (määrän käsitteen yleistys) käsitteen avulla joukkojen välinen vastaavuus . Hän luokitteli joukot niiden kardinaalisuuden mukaan, määritteli käsitteet kardinaali- ja järjestysluvut sekä kardinaali- ja järjestyslukujen aritmetiikka .

Cantorin transfiniittisten lukujen teoriaa pidettiin alun perin muinaisten kreikkalaisten laatimien vuosisatoja vanhojen perinteiden rikkomisena ja todellisen äärettömän laillisena matemaattisena kohteena . Ajan myötä Cantorin joukkoteoria asetettiin aksiomaattiselle pohjalle, ja siitä tuli kulmakivi matematiikan perusteiden nykyaikaisessa rakentamisessa , se perustuu matemaattiseen analyysiin , topologiaan , funktionaaliseen analyysiin , mittateoriaan ja moniin muihin matematiikan haaroihin.

Elämäkerta

Varhaisvuodet ja koulutus

Kantor syntyi vuonna 1845 Pietarin läntisessä kauppiaiden siirtokunnassa ja varttui siellä 11-vuotiaaksi asti. Isä - Georg-Voldemar Kantor (1814, Kööpenhamina  - 1863, Frankfurt ) - tuli Amsterdamiin asettuneista portugalilaisista juutalaisista ja oli tanskalainen luterilaisen uskon alamainen , välittäjä Pietarin pörssissä . Monet isäni sukulaiset ovat asuneet Pietarissa pitkään, isoisäni isästä lähtien. Isäni serkku on kuuluisa venäläinen siviililakimies D. I. Meyer . Venäläisissä asiakirjoissa Georg-Voldemar Kantoria kutsuttiin Jegor Yakovlevich Kantoriksi. Äiti - Maria-Anna Böhm (1819, Pietari - 1896, Berliini) - kuuluisan unkarilais-venäläisen viulistin Josef Böhmin veljentytär . Matemaatikon äidinpuoleinen isoisä Franz Böhm (1788-1846) oli myös viulisti. Vuodesta 1850 lähtien 29-vuotias P. L. Chebyshev [2] [3] asettui samaan taloon (11. rivi, talo 24) Vasiljevskin saarella , jossa Kantorin perhe asui .

George oli esikoinen, vanhin kuudesta lapsesta. Hän soitti viuluvirtuoosia perimällä merkittäviä taiteellisia ja musiikillisia kykyjä vanhemmiltaan. Perheen isä kirjoitti vuonna 1851 pojastaan: "Hänelle on luonnostaan ​​lahja järjestyksenhalu, joka vallitsee kaiken muun." Vuonna 1853 Georg tuli Petrishulaan . Kun isä sairastui, perhe muutti leudompaan ilmastoon luottaen Saksaan vuonna 1856: ensin Wiesbadeniin ja sitten Frankfurtiin [3] .

Vuonna 1860 Georg valmistui arvosanoin Darmstadtin reaalikoulusta ; opettajat panivat merkille hänen poikkeuksellisen kykynsä matematiikassa, erityisesti trigonometriassa . Vuonna 1862 hän tuli Zürichin liittovaltion ammattikorkeakouluun . Vuotta myöhemmin hänen isänsä kuoli; saatuaan vankan perinnön Georg siirtyi Berliinin Humboldt-yliopistoon , jossa hän alkoi osallistua kuuluisten tiedemiesten, kuten Leopold Kroneckerin , Karl Weierstrassin ja Ernst Kummerin , luennoille . Hän vietti kesän 1866 Göttingenin yliopistossa , joka  oli noiden aikojen suurin matemaattisen ajattelun keskus. Vuonna 1867 Berliinin yliopisto myönsi hänelle Ph.D :n hänen työstään lukuteoriassa " De aequationibus secundi gradus indeterminatis ".

Tieteellisen toiminnan alku (1869-1878)

Lyhyen työskentelyn jälkeen opettajana Berliinin tyttökoulussa Kantor siirtyi Gallialaisen Martin Lutherin yliopistoon , jossa hän vietti koko uransa. Hän sai lukuteorian väitöskirjaansa varten opettamisen edellyttämän habilitoinnin . Vuonna 1872 Kantor tapasi Richard Dedekindin , josta tuli hänen läheinen ystävänsä ja työtoverinsa. Monista Cantorin ajatuksista keskusteltiin kirjeenvaihdossa Dedekindin kanssa.

Vuoden 1872 artikkelissa Kantor esitti muunnelman reaalilukuteorian perusteluista [4] . Hänen mallissaan reaaliluku määritellään rationaalisten lukujen perussarjojen luokaksi [5] . Toisin kuin aiemmin hyväksytty Newtonin määritelmä " Universal Aritmetic ", Cantorin lähestymistapa oli puhtaasti matemaattinen, eikä siinä viitattu geometriaan tai muihin mittausmenetelmiin. Toinen versio, myös puhtaasti matemaattinen, julkaisi samana vuonna Dedekindiltä (se perustui " Dedekind-osuuksiin ", katso Konstruktiiviset menetelmät reaaliluvun määrittämiseen ) [6] .

Vuonna 1874 Kantor meni naimisiin Vally Guttmannin ( saksa:  Vally Guttmann ) kanssa. Heillä oli 6 lasta, joista viimeinen syntyi vuonna 1886 (4 tytärtä ja kaksi poikaa). Vaatimattomasta akateemisesta palkasta huolimatta Kantor pystyi tarjoamaan perheelle mukavan toimeentulon isältään saadun perinnön ansiosta. Elämäkerrat huomauttavat, että jopa häämatkallaan Harzin vuoristossa Kantor käytti paljon aikaa matemaattisiin keskusteluihin ystävänsä Dedekindin kanssa. Samana vuonna 1874 Kantor julkaisi artikkelin Krell Journalissa, jossa hän esitteli käsitteen joukon kardinaalisuudesta ja osoitti, että rationaalilukuja on yhtä monta kuin luonnollisia lukuja ja paljon enemmän reaalilukuja ( Weierstrass, tämä vallankumouksellinen johtopäätös pehmennettiin artikkelissa) [7] .

Kantorista tuli dosentti vuonna 1872 ja täysprofessoriksi vuonna 1879. Oli hieno saavutus saada tämä arvonimi 34-vuotiaana, mutta Kantor haaveili paikasta arvokkaammassa yliopistossa, esimerkiksi Berliinissä  - tuolloin Saksan johtava yliopisto, mutta hänen teorioitaan kritisoitiin vakavasti, ja siirtyminen toiseen paikkaan ei ollut mahdollista [8] .

Vuonna 1877 Cantor sai hätkähdyttävän tuloksen, jonka hän raportoi Dedekindille lähettämässään kirjeessä: janan pisteiden joukoilla ja neliön pisteiden joukoilla on sama kardinaliteetti ( jatkuvuus ) riippumatta janan pituudesta ja janan leveydestä. neliö. Samaan aikaan hän muotoili ja epäonnistui todistaa " jatkuvuushypoteesin ". Kantorin ensimmäinen artikkeli, joka esitteli nämä keskeiset tulokset, ilmestyi vuonna 1878 ja sen otsikko oli "Lajikkeiden opista" (termi "lajike" korvattiin myöhemmin Cantorilla sanalla "set"). Artikkelin julkaisua lykättiin toistuvasti närkästyneen Kroneckerin pyynnöstä , joka johti Berliinin yliopiston matematiikan laitosta [9] . Konstruktiivisen matematiikan edelläkävijänä pidetty Kronecker oli vihamielinen Cantorin joukkoteoriaa kohtaan, koska sen todisteet ovat usein ei-konstruktiivisia rakentamatta konkreettisia esimerkkejä; Kronecker piti todellisen äärettömän käsitettä absurdina.

Kantor ymmärsi, että Kroneckerin asema ei edes salli hänen lähteä Gallin yliopistosta. Kantor itse oli samaa mieltä kuin suurin osa nykyajan matemaatikoista: mikä tahansa johdonmukainen matemaattinen objekti on katsottava päteväksi ja olemassa olevaksi [10] .

Joukkoteorian ristiriidat (1878–1889)

Cantorin joukkoteoria joutui jyrkän kritiikin kohteeksi useilta kuuluisilta nykyajan matemaatikoilta - Henri Poincarén [11] ; myöhemmin Hermann Weyl ja Leutzen Brouwer (katso Kiistat Cantorin teoriasta ). He muistuttivat, että ennen Cantoria kaikki matematiikan huipputekijät Aristoteleesta Gaussiin pitivät todellista ääretöntä tieteellisenä käsitteenä, jota ei voida hyväksyä [12] . Tilannetta pahensi haitallisten ristiriitojen sarjan teorian ensimmäisessä versiossa havaittu löytö . Kritiikki oli toisinaan hyvin aggressiivista: esimerkiksi Poincaré kutsui "kantorismia" vakavaksi sairaudeksi, joka iski matemaattiseen tieteeseen, ja toivoi, että tulevat sukupolvet parantuisivat siitä [13] ; ja Kroneckerin julkisissa lausunnoissa ja henkilökohtaisissa hyökkäyksissä Kantoria vastaan ​​välähti toisinaan sellaiset epiteetit kuin "tieteellinen karlataani", "luopija" ja "nuorten turmeltaja" [11] .

Joidenkin merkittävien matemaatikoiden terävää kritiikkiä vastusti maailmanlaajuinen maine ja toisten hyväksyntä. Vuonna 1904 Lontoon Royal Society myönsi Kantorille korkeimman matemaattisen palkinnon, Sylvester-mitalin [14] . Kantor itse uskoi, että transfiniittisten lukujen teoria välitettiin hänelle ylhäältä [15] . Bertrand Russell ylisti sarjateoriaa "yhdeksi aikakautemme suurimmista menestyksistä", ja David Hilbert kutsui Cantoria "matemaattiseksi neroksi" ja julisti: "Kukaan ei voi karkottaa meitä Cantorin luomasta paratiisista" [16] .

Vuonna 1881 Cantorin kollega Eduard Heine kuoli jättäen jälkeensä avoimen työpaikan. Yliopiston johto hyväksyi Kantorin tarjouksen kutsua Richard Dedekind, Heinrich Weber tai Franz Mertens (tässä järjestyksessä) tähän virkaan, mutta Kantorin suureksi harmiksi he kaikki kieltäytyivät. Tämän seurauksena viran otti Friedrich Wangerin . Vuonna 1882 Cantorin viestintä Dedekindin kanssa katkesi, luultavasti johtuen kaunasta, koska tämä kieltäytyi tehtävistään Hallessa [17] .

Vuonna 1883 Kantor julkaisi tärkeän artikkelin työssään "Lajikkeiden yleisdoktriinin perusteet" [18] [19] . Samaan aikaan hän aloitti aktiivisen kirjeenvaihdon Ruotsissa asuneen tuolloin huomattavan matemaatikon Gösta Mittag-Lefflerin kanssa ja alkoi pian julkaista julkaisuja lehdessään Acta mathematica . Kuitenkin vuonna 1885 Mittag-Leffler huolestui filosofisista sävyistä ja uudesta terminologiasta artikkelissa, jonka Cantor lähetti hänelle julkaistavaksi [20] ja pyysi Cantoria peruuttamaan artikkelinsa sen ollessa vielä oikolukuvaiheessa ja kirjoitti, että artikkeli oli " noin vuosia aikaansa edellä". sata." Kantor suostui peruuttamaan artikkelin, mutta hän ei koskaan julkaissut Acta Mathematicassa [21] [22] ja katkaisi äkillisesti suhteet ja kirjeenvaihdon Mittag-Leffleriin. Kantor aloitti ensimmäisen masennuksen jakson, eikä Kantor julkaissut yli viiteen vuoteen mitään, lukuun ottamatta muutamia filosofisia artikkeleita, rajoittuen opettamiseen [23] .

Viimeiset vuodet (1889-1918)

Pian palauttamisen jälkeen (1889) Cantor teki heti useita tärkeitä lisäyksiä teoriaansa, erityisesti hän todisti luonnollisten lukujen kaikkien osajoukkojen joukon laskemattomuuden diagonaalimenetelmällä, mutta hän ei koskaan saavuttanut samaa korkeaa tuottavuustasoa kuin hänellä oli vuosina 1874-1884. Lopulta hän kääntyi Kroneckerin puoleen rauhantarjouksella, jonka hän hyväksyi. Heitä erottaneet filosofiset erot ja vaikeudet kuitenkin säilyivät. Sillä välin jotkut matemaatikot, varsinkin nuoret, hyväksyivät joukkoteorian, alkoivat kehittää sitä ja soveltaa sitä erilaisten ongelmien ratkaisemiseen. Heidän joukossaan ovat Dedekind, Hilbert, Felix Bernstein , Henri Lebesgue , Felix Klein , Adolf Hurwitz , Ernst Zermelo , N. N. Luzin ja muut.

Vuonna 1890 Kantor auttoi perustamaan Saksan matemaattisen seuran ( saksa:  Deutsche Mathematiker-Vereinigung ) ja oli puheenjohtaja sen ensimmäisessä kongressissa Hallessa vuonna 1891 ; tuolloin hänen maineensa oli Kroneckerin vastustuksesta huolimatta erittäin vakaa, minkä seurauksena Kantor valittiin seuran ensimmäiseksi presidentiksi. Kantor kutsui Kroneckerin pitämään esityksen, mutta hän ei voinut hyväksyä tarjousta vaimonsa traagisen kuoleman vuoksi.

Vuodesta 1884 Kantorin päivien loppuun ajoittain toistuneet masennuskohtaukset syytettiin jonkin aikaa hänen aikalaistensa liian aggressiivisesta asenteesta [24] , mutta nyt uskotaan, että nämä kohtaukset olivat mitä todennäköisimmin mielenterveysongelmia [11] . ] .

Vuonna 1892 julkaistussa paperissa esiteltiin ensimmäisen kerran Cantorin kuuluisa diagonaalimenetelmä . Viimeinen teos, eräänlainen tiedemiehen testamentti, oli artikkeli "Transfiniittisten joukkojen opin perusteluista" (kahdessa osassa, 1895-1897). Tämä on yksi Cantorin tunnetuimmista teoksista, jossa aiempien joukkoteorian tulosten lisäksi rakennetaan alefihierarkia [25] .

Vuonna 1897 Cantor aloitti intensiivisen kirjeenvaihdon Hilbertin kanssa ensimmäisestä joukkoteoriassa löydetystä ristiriidasta, Burali-Fortin paradoksista , joka huolestutti Hilbertiä erittäin huolestuttavana. Kantor ilmaisi näkemyksen, että joukkoteoriassa tulisi erottaa kaksi käsitetyyppiä - transfiniittiset ja absoluuttiset ("pääsemätön", kuten hän sanoi), joista vain ensimmäiset ovat inhimillisen järjen mukaisia ​​ja toisten osalta vain likimääräinen niiden ymmärtäminen on mahdollista. Tämä metafysiikka ei vakuuttanut Hilbertiä, hänen mielestään ratkaisemattomia matemaattisia ongelmia ei ole eikä voi olla. Keskustelu jatkui kaksi vuotta, eikä siitä tullut mitään. Ratkaisu paradokseihin (joista ei kuitenkaan tullut yleisesti hyväksyttyä) löydettiin vasta 30 vuotta myöhemmin, sen jälkeen kun Cantorin "naiivi joukkoteoria" korvattiin aksiomaattisella teorialla , joka sulki "pääsemättömät" joukot pois juridisten käsitteiden joukosta. [26] .

Joulukuussa 1899 Kantorin 13-vuotias poika kuoli. Kantorin mielisairaus paheni, melkein valmis kolmas osa artikkelista "Transfiniittisten joukkojen opin perusteluista" ei koskaan valmistunut. Vuoteen 1913 asti Kantor jatkoi opettamista yliopistossa (pitäen silloin tällöin pitkiä taukoja hoitoon), minkä jälkeen hän jäi eläkkeelle. Hänen kiinnostuksensa vuoden 1899 jälkeen koskivat pääasiassa Leibnizin filosofiaa ja Shakespearen näytelmien kirjoittajakysymystä , josta Kantoria oli kiehtonut useiden vuosien ajan.

Georg Kantor kuoli 6. tammikuuta 1918 sydänkohtaukseen psykiatrisessa sairaalassa Hallessa.

Jotkut Kantorin mukaan nimetyt objektit

• Kantor on iskukraatteri Kuun toisella puolella.
• Cantor-joukko  on janan nollamitan jatkumojoukko ;
• Kantor-mitali on Saksan matemaattisen seuran myöntämä matemaattinen palkinto .
• Cantorin numerointifunktio on luonnollisten lukujen joukon karteesisen potenssin  kartoitus itseensä;
• Cantorin lause , jonka mukaan tietyn joukon kaikkien osajoukkojen joukon kardinaalisuus on ehdottomasti suurempi kuin itse joukon kardinaliteetti;
• Cantor-Bendixonin lause
• Cantor-Bernsteinin lause joukkojen A ja B ekvivalenssista sillä ehdolla, että A vastaa B :n osajoukkoa ja B vastaa A : n osajoukkoa ;
• Cantor-Heinen lause jatkuvan funktion tasaisesta jatkuvuudesta kompaktissa joukossa ;
• Kantorin toiminto (Cantor's tikkaat).

Sävellykset

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
• Kantor G. Proceedings on the teoria joukkoja. - M .: Nauka, 1985. - 431 s. - (tieteen klassikot).

Muistiinpanot

1. ↑ Matemaattinen sukututkimus  (englanniksi) - 1997.
2. ↑ Sinkevich, 2012 , luku 1.
3. ↑ 1 2 Sinkevich, 2018 , s. 182-188.
4. ↑ Kantor. Proceedings on set Theory, 1985 , s. 9-10.
5. ↑ Arnold I. V. Teoreettinen aritmetiikka. - M .: UCHPEDGIZ, 1938. - S. 277-278.
6. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 91-92.
7. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 37-56.
8. ↑ Dauben, 1979 , s. 163.
9. ↑ Dauben, 1979 , s. 34.
10. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 109.
11. ↑ 1 2 3 Dauben, 2004 , s. yksi.
12. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 22-31.
13. ↑ Dauben, 1979 , s. 266.
14. ↑ Dauben, 1979 , s. 248.
15. ↑ Dauben, 2004 , s. 8, 11; 12-13.
16. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 118.
17. ↑ Dauben, 1979 , s. 2-3.
18. ↑ Uusia ideoita matematiikassa. - Pietari. : Koulutus, 1914. - T. 6. - S. 1-77 ..
19. ↑ Kantor. Proceedings on set Theory, 1985 , s. 389 (bibliografia).
20. ↑ Dauben, 1979 , s. 138.
21. ↑ Samaan aikaan Kantor totesi eräässä kirjeessään: "...Minun on Mittag-Lefflerin mukaan odotettava vuoteen 1984, mikä tuntuu minusta liian suurelta pyynnöltä! .. Mutta tietysti tästä lähtien minä koskaan halua tietää mitään "Acta mathematicasta"".
22. ↑ Dauben, 1979 , s. 139.
23. ↑ Dauben, 1979 , s. 282.
24. ↑ Dauben, 1979 , s. 280.
25. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 122.
26. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 144-145, 154-158.

Kirjallisuus

• Bogolyubov A.N. Kantor Georg // Matematiikka. Mekaniikka. Elämäkerrallinen opas . - Kiova: Naukova Dumka, 1983. - 639 s.
• Bourbaki N. Esseitä matematiikan historiasta. - M .: Toim. ulkomainen kirjallisuus, 1963.
• HM Nagorny. Kantor  // New Philosophical Encyclopedia  : 4 osaa  / esi. tieteellinen toim. V. S. Stepinin neuvo . — 2. painos, korjattu. ja ylimääräistä - M .  : Ajatus , 2010. - 2816 s.
• Katasonov VN kamppailee äärettömän kanssa: G. Kantorin joukkoteorian synnyn filosofiset ja uskonnolliset näkökohdat . - M .: Martis, 1999. - 207 s. - 1500 kappaletta.  — ISBN 5-7248-0067-5 .
• Pinheiro, Gustavo Ernesto. Laskematon on laskettavissa. Georg Kantor. Ääretön matematiikassa // Tiede. Suurimmat teoriat. - M . : De Agostini, 2015. - Numero. 30 . — ISSN 2409-0069 .
• Purket V., Ilgauds H. I. Georg Kantor / Per. hänen kanssaan. N. M. Fleischer. - Kharkov: Osnova, 1991. - 128 s.
• Sinkevich G. I. Georg Kantor ja Puolan joukkoteoriakoulu. - Pietari: Pietarin valtion arkkitehtuurin ja rakennustekniikan yliopisto, 2012. - 349 s. - ISBN 978-5-9227-0360-4 .
• Sinkevich G. I. Georg Kantor Pietarista. Lapsuus ja sukuhistoria. Arkistotutkimus // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M. : Janus-K, 2018. - Nro 51 (16) . - S. 182-199 .
• Florensky P. A. Äärettömyyden symboleista (Essee G. Kantorin ideoista) // Teoksia 4 osana: Volume 1. - M . : Thought, 1994. - P. 79-128. - (Filosofinen perintö: jae 122). — ISBN 5-244-00241-4 .
• Grattan-Guinness I. Kohti Georg Cantorin elämäkertaa // Tieteen Annals. - 1971. - T. 27 . - S. 345-391 . - doi : 10.1080/00033797100203837 .

Linkit

• Dauben Joseph W. Georg Cantor ja transfiniittisen joukkoteorian synty  // Tieteen maailmassa ( Scientific American , venäläinen toim.). - 1983. - Nro 8 (elokuu) . - S. 76-86 .
• John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson .  Cantor , Georg  _ _
• Dauben JW Georg Cantor: hänen matematiikkansa ja äärettömän filosofiansa . - Cambridge (Massachusetts): Harvard University Press, 1979. - 404 s. — ISBN 9780674348714 .
• Dauben JW Georg Cantor ja taistelu transfiniittisen joukkoteorian puolesta . — Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), s. 1–22. – 2004.
• Tutkijaprofiili Arkistoitu 22. joulukuuta 2015 Wayback Machinessa zbMATH - tietokannassa .
• Sinkevich GI Georg Cantor St. Pietari.

Temaattiset sivustot	Matemaattinen sukututkimus zbMATH Avoinna Matematiikan historian arkisto MacTutor
Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Hienoa norjalaista Iso venäläinen Juutalaiset Brockhaus ja Efron maailman ympäri Liettuan universaali kroatialainen Britannica (verkossa) Brockhaus Merkittävä nimitietokanta Universalis
Sukututkimus ja nekropolis	WikiTree
Bibliografisissa luetteloissa BIBSYS : 90104928 BNE : XX999360 BNF : 121371602 CiNii : DA00702697 CONOR : 220613731 GND : 118518887 ICCU : CFIV118898 ISNI : 0000 0001 0889 5716 J9U : 987007259480205171 LCCN : n82252409 LNB : 000306893 NDL : 00435223 NKC : jn20000700275 NLA : 35385091 NLG : 266339 NLP : A11808755 NSK : 000101594 NTA : 070381119 NUKAT : n99011834 PTBNP : 783528 LIBRIS : 20dgg9pl4g26tk4 SUDOC : 027894312 VIAF : 39412881 WorldCat VIAF : 39412881