Burali-Forti paradoksi
Burali-Forti paradoksi osoittaa, että oletus kaikkien järjestyslukujen joukon olemassaolosta johtaa ristiriitaisuuksiin ja siksi joukkoteoria on ristiriitainen , jossa tällaisen joukon rakentaminen on mahdollista.
Sanamuoto
Matemaattisessa kirjallisuudessa on erilaisia formulaatioita, jotka perustuvat eri terminologiaan ja oletettuun joukkoon hyvin tunnettuja lauseita. Tässä on yksi mahdollinen muotoilu.
Voidaan todistaa, että jos on mielivaltainen järjestyslukujen joukko, niin summa-joukko on järjestysluku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin kunkin elementin . Oletetaan nyt, että se on kaikkien järjestyslukujen joukko. Sitten on järjestysluku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin mikä tahansa :n numeroista . Mutta sitten ja on järjestysluku, ja lisäksi se on jo tiukasti suurempi, eikä siksi ole yhtä suuri kuin mikään luvun luvuista . Mutta tämä on ristiriidassa sen ehdon kanssa, joka on kaikkien järjestyslukujen joukko.
Historia
Paradoksin löysi Cesare Burali-Fortivuonna 1897 ja se osoittautui yhdeksi ensimmäisistä paradokseista, jotka osoittivat, että naiivi joukkoteoria on epäjohdonmukainen ja siksi sopimaton matematiikan tarpeisiin. Kaikkien järjestyslukujen joukon puuttuminen on ristiriidassa naiivin joukkoteorian käsitteen kanssa, joka sallii joukkojen rakentamisen, joilla on mielivaltainen elementtien ominaisuus, eli termit muotoa "joukko kaikista sellaisista, jotka " ( ).
Nykyaikainen aksiomaattinen joukkoteoria asettaa tiukat rajoitukset ehtojen tyypille , joita voidaan käyttää joukkojen muodostamiseen. Aksiomaattisissa järjestelmissä, kuten Gödel - Bernays , termin muodostaminen mielivaltaiselle , mutta sillä ehdolla, että se ei voi osoittautua joukkoksi, vaan luokkaksi , on sallittu .