Kantorin paradoksi

Cantorin paradoksi on joukkoteorian paradoksi , joka osoittaa, että olettamus kaikkien joukkojen joukon olemassaolosta johtaa ristiriitaisuuksiin ja siksi teoria , jossa tällaisen joukon rakentaminen on mahdollista, on epäjohdonmukainen.

Sanamuoto

Oletetaan, että kaikkien joukkojen joukko on olemassa. Tässä tapauksessa on totta , että jokainen joukko on osajoukko . Mutta tästä seuraa, että minkään joukon kardinaliteetti ei ylitä . $V=\{x\mid x=x\}$ $\forall x\forall T(x\in T\rightarrow x\in V)$ $T$ $V$ $\forall T\;|T|\leqslant |V|$ $V$

Mutta kaikkien osajoukkojen joukon aksiooman perusteella, sillä , samoin kuin minkä tahansa joukon, on joukko kaikista osajoukkoista , ja Cantorin lauseella , joka on ristiriidassa edellisen väitteen kanssa. Siksi sitä ei voi olla olemassa, mikä on ristiriidassa sen "naiivin" hypoteesin kanssa , että mikä tahansa syntaktisesti oikea looginen ehto määrittelee joukon, eli sen mille tahansa kaavalle, joka ei sisällä vapaata. $V$ ${\mathcal {P}}(V)$ $|{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|$ $V$ $\olemassa y\forall z(z\in y\nuoli vasemmalle oikealle A)$ $A$ $y$

Muu sanamuoto

Suurin kardinaaliluku ei ole olemassa . Todellakin: anna sen olemassa ja olla yhtä suuri kuin . Sitten Cantorin lauseella . $\mu$ $2^{\mu }>\mu$

Johtopäätökset

Tämä paradoksi, jonka Cantor löysi noin 1899 , paljasti tarpeen tarkistaa "naiivi joukkoteoria" ( Russellin paradoksi löydettiin hieman myöhemmin, noin 1901 ) ja stimuloi joukkoteorian tiukan aksiomaatiikan kehittämistä . Aksioomikaavio hylättiin ristiriitaisena, vaan sen sijaan kehitettiin rajoitusjärjestelmä kaavan antaman ehdon tyypille . $\olemassa y\forall z(z\in y\nuoli vasemmalle oikealle A)$ $A$

Kantorin paradoksi

Sanamuoto

Muu sanamuoto

Johtopäätökset

Katso myös