Russellin paradoksi

Russellin paradoksi ( Russellin antinomia , myös Russellin paradoksi - Zermelo ) on joukkoteoreettinen paradoksi ( antinomia ), jonka brittiläinen matemaatikko Bertrand Russell löysi vuonna 1901 [1] ja joka osoittaa Fregen loogisen järjestelmän epäjohdonmukaisuuden , joka oli varhainen yritys. muotoilla George Cantorin naiivi joukkoteoria . Ernst Zermelo löysi aiemmin, mutta ei julkaissut .

Epävirallisella kielellä paradoksi voidaan kuvata seuraavasti. Sovitaan, että joukkoa kutsutaan "tavalliseksi", jos se ei ole sen oma elementti. Esimerkiksi kaikkien ihmisten joukko on "tavallinen", koska joukko itsessään ei ole henkilö. Esimerkki "epätavallisesta" joukosta on kaikkien joukkojen joukko , koska se on itse joukko ja siksi itse oikea elementti [2] .

On mahdollista tarkastella joukkoa, joka koostuu vain kaikista "tavallisista" joukoista, tällaista joukkoa kutsutaan Russell-joukoksi . Paradoksi syntyy, kun yritetään määrittää, onko tämä joukko "tavallinen" vai ei, eli sisältääkö se itsensä elementtinä. Mahdollisuuksia on kaksi.

Toisaalta, jos se on "tavallinen", sen on sisällytettävä itsensä elementiksi, koska se koostuu määritelmän mukaan kaikista "tavallisista" joukoista. Mutta silloin se ei voi olla "tavallinen", koska "tavalliset" joukot ovat sellaisia, jotka eivät sisällä itseään.
Voidaan olettaa, että tämä sarja on "epätavallinen". Se ei kuitenkaan voi sisällyttää itseään elementiksi, koska määritelmän mukaan sen tulee koostua vain "tavallisista" joukoista. Mutta jos se ei sisällä itseään elementtinä, se on "tavallinen" joukko.

Joka tapauksessa saamme ristiriidan [2] .

Toteamus paradoksista

Russellin paradoksi voidaan muotoilla naiivissa joukkoteoriassa . Siksi naiivi joukkoteoria on epäjohdonmukainen . Naiivin joukkoteorian kiistanalainen fragmentti, joka voidaan määritellä ensimmäisen kertaluvun teoriaksi , jossa on binäärijäsenyyssuhde ja valintakaavio : jokaiselle loogiselle kaavalle , jossa on yksi vapaa muuttuja naiivissa joukkoteoriassa, on aksiooma $\sisään$ $P(x)$

\exists y\forall x(x\in y\iff P(x))

Tämä aksioomikaavio sanoo, että mille tahansa ehdolle on joukko , joka koostuu ehdon [3] täyttävistä ehdoista . $P(x)$ ${\näyttötyyli y,}$ $x,$ $P(x)$

Tämä riittää muotoilemaan Russellin paradoksi seuraavasti. Olkoon kaava (eli , se tarkoittaa, että joukko ei sisällä itseään elementtinä, tai meidän terminologiamme mukaan se on "tavallinen" joukko.) Sitten valintaaksiooman mukaan on joukko ( Russell setti) sellainen $P(x)$ $x\notin x.$ $P(x)$ $x$ $y$

\forall x(x\in y\iff x\notin x)

Koska tämä pätee mille tahansa , se pätee myös Se on totta $x,$ $x=y.$

y\in y\iff y\notin y.

Tästä seuraa, että naiivissa joukkoteoriassa päätetään ristiriita [3] .

Paradoksi ei syntyisi, jos olettaisimme, että Russell-joukkoa ei ole olemassa. Tämä oletus itsessään on kuitenkin paradoksaalinen: Cantorin joukkoteoriassa uskotaan, että mikä tahansa ominaisuus määrää sen elementtien joukon, jotka täyttävät tämän ominaisuuden. Koska joukon ominaisuus olla "tavallinen" näyttää hyvin määritellyltä, täytyy olla joukko kaikkia "tavallisia" joukkoja. Nykyään tällaista teoriaa kutsutaan naiiviksi joukkoteoriaksi [4] [5] .

Paradoksin suositut versiot

Russellin paradoksista on useita versioita. Toisin kuin itse paradoksi, niitä ei yleensä voida ilmaista muodollisella kielellä .

Valehtelijan paradoksi

Russellin paradoksi liittyy muinaisista ajoista tunnettuun valehtelijan paradoksiin, joka on seuraava kysymys. Annettu lausunto:

Tämä väite on väärä.

Onko tämä väite totta vai ei?

On helppo osoittaa, että tämä väite ei voi olla totta eikä tarua.

Russell kirjoitti tästä paradoksista [6] :

Tämä on ikivanha arvoitus, jota kukaan ei käsitellyt enemmän kuin vitsinä, kunnes havaittiin, että tämä kysymys liittyy sellaisiin tärkeisiin ja käytännöllisiin ongelmiin kuin suurimman kardinaalin tai järjestysluvun olemassaolo .

Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa] Se on ikivanha palapeli, eikä kukaan käsitellyt sellaista muuta kuin vitsinä, kunnes havaittiin, että se liittyy sellaisiin tärkeisiin ja käytännöllisiin ongelmiin, kuten onko olemassa suurin kardinaali- vai järjestysluku.

Russell itse selitti valehtelijan paradoksin tällä tavalla. Jotta lausunnoista voidaan sanoa jotain, on ensin määriteltävä itse "lausunnon" käsite, mutta ei saa käyttää käsitteitä, joita ei ole vielä määritelty. Siten voidaan määritellä ensimmäisen tyypin lauseita, jotka eivät kerro väitteistä mitään. Sitten voidaan määritellä toisen tyypin lauseita, jotka puhuvat ensimmäisen tyypin lausunnoista ja niin edelleen. Väite "tämä väite on väärä" ei kuulu minkään näistä määritelmistä, joten siinä ei ole järkeä [6] .

Parturien paradoksi

Russell mainitsee seuraavan version paradoksista, joka on muotoiltu arvoitukseksi, jonka joku ehdotti hänelle [6] .

Asukoon eräässä kylässä parturi, joka ajelee kaikki kylän asukkaat, jotka eivät ajele, ja vain heidät.

Ajeleeko parturi itsensä?

Mikä tahansa vastaus johtaa ristiriitaan. Russell toteaa, että tämä paradoksi ei vastaa hänen paradoksiaan ja on helposti ratkaistavissa [6] . Todellakin, aivan kuten Russellin paradoksi osoittaa, että Russell-sarjaa ei ole, parturien paradoksi osoittaa, että sellaista parturia ei ole olemassa. Erona on, että tällaisen parturin puuttumisessa ei ole mitään yllättävää: missään omaisuudessa ei ole parturia, joka ajelee ihmisiä tällä ominaisuudella. Kuitenkin se tosiasia, että jollakin hyvin määritellyllä ominaisuudella ei ole elementtijoukkoa, on ristiriidassa naiivin joukon käsityksen kanssa ja vaatii selitystä [5] [7] .

Vaihtoehto hakemistoista

Muotoilultaan lähinnä Russellin paradoksia on seuraava versio hänen esityksestään [8] :

Bibliografiset luettelot ovat kirjoja, jotka kuvaavat muita kirjoja. Jotkut hakemistot voivat kuvata muita hakemistoja. Jotkut hakemistot voivat jopa kuvailla itseään.

Onko mahdollista luetteloida kaikki luettelot, jotka eivät kuvaa itseään?

Paradoksi syntyy, kun yritetään päättää, pitäisikö tämän hakemiston kuvata itseään. Huolimatta muotoilujen näennäisestä läheisyydestä (tämä on itse asiassa Russellin paradoksi, jossa luetteloita käytetään sarjojen sijaan), tämä paradoksi, kuten parturien paradoksi, ratkaistaan yksinkertaisesti: tällaista luetteloa ei voida koota.

Grelling-Nelsonin paradoksi

Tämän paradoksin muotoilivat saksalaiset matemaatikot Kurt Grelling ja Leonard Nelson vuonna 1908. Se on itse asiassa käännös Russellin alkuperäisestä versiosta paradoksista predikaattilogiikan kannalta (katso kirje Fregelle alla ) ei-matemaattiselle kielelle.

Kutsumme adjektiivia refleksiiviksi , jos tällä adjektiivilla on tämän adjektiivin määrittämä ominaisuus. Esimerkiksi adjektiiveilla "venäläinen", "monitavuinen" on niiden määrittelemät ominaisuudet (adjektiivi "venäläinen" on venäjä ja adjektiivi "monitavuinen" on monitavuinen), joten ne ovat refleksiivisiä, ja adjektiiveilla "saksa", " yksitavuiset" ovat ei-refleksiivisiä .

Onko adjektiivi "ei-refleksiivinen" refleksiivinen vai ei?

Mikä tahansa vastaus johtaa ristiriitaan [8] [9] . Toisin kuin parturin paradoksi, ratkaisu tähän paradoksiin ei ole niin yksinkertainen. Ei voida yksinkertaisesti sanoa, että tällaista adjektiivia ("ei-refleksiivinen") ei ole olemassa, koska olemme juuri määritelleet sen. Paradoksi syntyy siitä tosiasiasta, että termin "ei-refleksiivinen" määritelmä on sinänsä virheellinen. Tämän termin määritelmä riippuu sen adjektiivin merkityksestä , johon sitä sovelletaan. Ja koska sana "ei-refleksiivinen" on itsessään adjektiivi määritelmässä, syntyy noidankehä [10] .

Historia

Russell luultavasti löysi paradoksinsa touko- tai kesäkuussa 1901 [11] . Russellin itsensä mukaan hän yritti löytää virheen Cantorin todistuksesta paradoksaalisesta tosiasiasta (tunnetaan nimellä Cantorin paradoksi ), että ei ole olemassa maksimikardiaalilukua ( tai kaikkien joukkojen joukkoa ). Tämän seurauksena Russell sai yksinkertaisemman paradoksin [12] . Russell kertoi paradoksinsa muille loogikoille, erityisesti Whiteheadille [13] ja Peanolle [14] . Kirjeessään Fregelle 16. kesäkuuta 1902 hän kirjoitti löytäneensä ristiriidan Concepts Calculus of Concepts -kirjassa, Fregen vuonna 1879 julkaistussa kirjassa. Hän esitti paradoksinsa logiikan ja sitten joukkoteorian kannalta käyttäen Fregen funktion määritelmää [14] :

Minulla oli vaikeuksia vain yhdessä paikassa. Väität (s. 17), että funktio voi itse toimia tuntemattomana. Minäkin luulin niin. Mutta nyt tämä näkemys vaikuttaa minusta epäilyttävältä seuraavan ristiriidan vuoksi. Olkoon w predikaatti: "olla predikaatti, joka ei päde itseensä." Voiko w olla sovellettavissa itsessään? Mikä tahansa vastaus viittaa päinvastaiseen. Siksi meidän on pääteltävä, että w ei ole predikaatti. Vastaavasti ei ole olemassa niiden luokkien luokkaa (kokonaisuutena), jotka kokonaisuutena tarkasteltuna eivät kuulu itselleen. Tästä päättelen, että joskus tietty joukko ei muodosta kokonaisuutta.

Alkuperäinen teksti (saksa)[ näytäpiilottaa] Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begget. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht werden prädicirt. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet [15] .

Frege sai kirjeen juuri, kun hän valmistui Aritmeettisen peruslainsäädäntöjen ( saksa: Grundgesetze der Arithmetik ) toisen osan. Fregellä ei ollut aikaa korjata joukkoteoriaansa. Hän lisäsi vain liitteen toiseen osaan, jossa oli esittely ja paradoksianalyysi, joka alkoi kuuluisalla huomautuksella:

On epätodennäköistä, että tiedemiehelle voi tapahtua mitään pahempaa kuin jos maa vedetään hänen jalkojensa alta juuri sillä hetkellä, kun hän saa työnsä valmiiksi. Juuri tästä asemasta löysin itseni, kun sain kirjeen Bertrand Russellilta, kun työni oli jo valmis [16] .

Alkuperäinen teksti (saksa)[ näytäpiilottaa] Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte [17] .

Frege ehdotti seuraavaa tapaa korjata teoriansa välttääkseen Russellin paradoksin. Aksiooman sijaan:

z\in \{x\colon P(x)\}\iff P(z)

joka sanoi, että on mahdollista rakentaa joukko elementtejä, jotka täyttävät hänen ehdottamansa ominaisuuden käyttämällä seuraavaa aksioomaa: $\{x\colon P(x)\}$ $P(x),$

z\in \{x\colon P(x)\}\iff P(z)\ \&\ (z\neq \{x\colon P(x)\})

eliminoi siten joukon mahdollisuuden olla itsensä jäsen. Pieni muunnos Russellin paradoksiin kuitenkin osoittaa, että tämä aksiooma johtaa myös ristiriitaan: nimittäin kaikkien singletonien joukkoa voidaan pitää sellaisena, että , silloin lauseesta tulee antinomia [18] . $R$ $\{y\}$ $\{y\}\notin y$ $\{R\}\in R$

Russell julkaisi paradoksinsa kirjassaan Principles of Mathematics vuonna 1903 [11] .

Ernst Zermelo väitti löytäneensä tämän paradoksin Russellista riippumatta ja raportoi sen ennen vuotta 1903 Hilbertille ja muille [19] . Tämän vahvisti myös Hilbert kirjoittaessaan Fregelle 7. marraskuuta 1903, että hän oli tietoinen tästä paradoksista. Hilbert kirjoitti: "Luulen, että Zermelo löysi sen 3-4 vuotta sitten... Löysin muita vielä vakuuttavampia ristiriitaisuuksia 4-5 vuotta sitten." Lisäksi vuonna 1978 tämän paradoksin muotoilu löydettiin Edmund Husserlin papereista , jotka Zermelo ilmoitti Husserlille 16. huhtikuuta 1902. Tässä formulaatiossa todistetaan, että joukko M , joka sisältää kaikki sen osajoukot alkioina, johtaa ristiriitaan. Tarkastellaan todisteeksi osajoukkoa M , joka koostuu joukoista, jotka eivät sisällä itseään [20] .

Ratkaisut

Russellin paradoksissa ei ole virhettä: se todella todistaa naiivin joukkoteorian epäjohdonmukaisuuden. Ristiriidan poistamiseksi joukkoteoriaa on korjattava niin, ettei se hyväksy russellilaista joukkoa. Tämä voidaan tehdä useilla tavoilla. Luonnollisin tapa on kieltää tavalla tai toisella joukot, jotka voivat sisältää itsensä elementtinä. Siten myös kaikkien joukkojen joukko on kielletty ( ainakaan kaikkien joukkojen joukko ei itse ole joukko) [21] . On kuitenkin pidettävä mielessä, että toisaalta pelkkä joukon kieltäminen pitämästä itseään elementtinä ei riitä poistamaan ristiriitaa (kuten Fregen ensimmäinen yritys korjata järjestelmäänsä osoitti). Toisaalta joukkojen sisällyttäminen jäseniksi ei sinänsä johda ristiriitaisuuksiin. Mikään ei esimerkiksi estä sinua luomasta hakemistoa, joka sisältää kaikki hakemistot, mukaan lukien itsensä kuvaaminen. Monet ohjelmointikielet antavat säilöille mahdollisuuden sisällyttää itsensä elementiksi [22] . On olemassa loogisia järjestelmiä, joissa ei ole Russellin kaltaisia paradokseja, jotka sallivat joukon sisältyä itsensä (esim . New Foundations , W. V. O. Quine ) [23] .

Alla on joitain mahdollisia lähestymistapoja Russellin paradokseista vapaan aksioomijärjestelmän rakentamiseen.

Russellin tyyppiteoria

Russell itse oli ensimmäinen, joka ehdotti teoriaa, joka ei sisällä Russellin paradoksia. Hän kehitti tyyppiteorian, jonka ensimmäinen versio ilmestyi Russellin matematiikan periaatteissa vuonna 1903 24] . Tämä teoria perustuu seuraavaan ajatukseen: tässä teoriassa yksinkertaisilla olioilla on tyyppi 0, yksinkertaisten objektien joukoilla on tyyppi 1, yksinkertaisten objektien joukoilla on tyyppi 2 ja niin edelleen. Näin ollen millään joukolla ei voi olla itseään elementtinä. Tässä teoriassa ei voida määritellä kaikkien joukkojen joukkoa eikä Russellin joukkoa. Samanlainen hierarkia otetaan käyttöön lauseille ja ominaisuuksille. Yksinkertaisia objekteja koskevat lauseet kuuluvat tyyppiin 1, tyypin 1 lauseiden ominaisuuksia koskevat lauseet kuuluvat tyyppiin 2 ja niin edelleen. Yleensä funktio on määritelmän mukaan korkeampaa tyyppiä kuin muuttujat, joista se riippuu. Tämä lähestymistapa antaa meille mahdollisuuden päästä eroon paitsi Russellin paradoksista, myös monista muista paradokseista, mukaan lukien valehtelijaparadoksi ( katso yllä ), Grelling-Nelson- paradoksi ja Burali-Forti-paradoksi . Russell ja Whitehead osoittivat, kuinka kaikki matematiikka voidaan pelkistää tyyppiteorian aksioomeiksi kolmiosaisessa Principia Mathematicassa , joka julkaistiin vuosina 1910-1913 [25] .

Tämä lähestymistapa kohtasi kuitenkin vaikeuksia. Erityisesti ongelmia syntyy tällaisten käsitteiden määrittelemisessä reaalilukujoukkojen pienimmäksi ylärajaksi . Määritelmän mukaan pienin yläraja on pienin kaikista ylärajoista. Tästä syystä määritettäessä pienintä ylärajaa käytetään reaalilukujen joukkoa. Näin ollen pienin yläraja on korkeampaa tyyppiä oleva objekti kuin reaaliluvut. Tämä tarkoittaa, että se ei ole itse reaaliluku. Tämän välttämiseksi meidän piti ottaa käyttöön niin kutsuttu pelkistyvyysaksiooma . Sen mielivaltaisuuden vuoksi monet matemaatikot kieltäytyivät hyväksymästä pelkistyvyysaksioomaa, ja Russell itse kutsui sitä teoriansa puutteeksi. Lisäksi teoria osoittautui erittäin monimutkaiseksi. Tästä syystä se ei ole saanut laajaa käyttöä [25] .

Zermelo-Fraenkel joukkoteoria

Tunnetuin lähestymistapa matematiikan aksiomatisointiin on Zermelo-Fraenkelin (ZF) joukkoteoria, joka syntyi Zermelon teorian jatkeena (1908). Toisin kuin Russell, Zermelo säilytti loogiset periaatteet ja muutti vain joukkoteorian aksioomia [26] . Tämän lähestymistavan ideana on, että on sallittua käyttää vain jo rakennetuista joukoista rakennettuja joukkoja käyttämällä tiettyä aksioomajoukkoa [5] . Siten esimerkiksi yksi Zermelon aksioomista sanoo, että on mahdollista rakentaa joukko tietyn joukon kaikista osajoukoista ( Boolen aksiooma ). Toinen aksiooma ( valintakaavio ) sanoo, että jokaisesta joukosta on mahdollista valita osajoukko elementtejä, joilla on tietty ominaisuus. Tämä on tärkein ero Zermelon joukkoteorian ja naiivin joukkoteorian välillä: naiivissa joukkoteoriassa voidaan tarkastella kaikkien elementtien joukkoa, joilla on tietty ominaisuus, kun taas Zermelon joukkoteoriassa voidaan valita vain osajoukko jo muodostetusta joukosta. . Zermelon joukkoteoriassa ei voida rakentaa kaikkien joukkojen joukkoa . Siten Russell-joukkoa ei voida rakentaa myöskään sinne [21] .

Luokat

Joskus matematiikassa on hyödyllistä tarkastella kaikkia joukkoja kokonaisuutena, esimerkiksi tarkastella kaikkien ryhmien kokonaisuutta . Tätä varten joukkoteoriaa voidaan laajentaa luokan käsitteellä , kuten esimerkiksi Neumann-Bernays-Gödel (NBG) -järjestelmässä. Tässä teoriassa kaikkien joukkojen kokoelma on luokka . Tämä luokka ei kuitenkaan ole joukko eikä minkään luokan elementti, jolloin vältetään Russellin paradoksi [27] .

Vahvempi järjestelmä, jonka avulla kvantoijat voidaan ottaa luokkien , ei vain joukkojen mukaan, on esimerkiksi Morse-Kellyn joukkoteoria (MK) [28] . Tässä teoriassa pääkäsite on luokan , ei joukon käsite . Tässä teoriassa joukot ovat niitä luokkia, jotka ovat itse joidenkin luokkien elementtejä [29] . Tässä teoriassa kaavaa pidetään kaavaa vastaavana $z\in \{x\colon P(x)\}$

P(z)\ \&\ \exists yz\in y

Koska tässä teoriassa se tarkoittaa, että luokka on joukko , tämä kaava on ymmärrettävä niin, mikä on kaikkien joukkojen (eikä luokkien) luokka siten, että . Russellin paradoksi tässä teoriassa ratkaistaan sillä, että jokainen luokka ei ole joukko [30] . $\exists yz\in y$ $z$ $\{x\colon P(x)\}$ $z$ $P(z)$

Voit mennä pidemmälle ja harkita luokkakokoelmia - konglomeraatit , ryhmittymien kokoelmat ja niin edelleen [31] .

Vaikutus matematiikkaan

Matematiikan aksiomatisointi

Russellin paradoksi yhdessä muiden 1900-luvun alussa löydettyjen matemaattisten antinomioiden [4] kanssa stimuloi matematiikan perusteiden tarkistamista, mikä johti aksiomaattisten teorioiden rakentamiseen matematiikan perustelemiseksi, joista osa on mainittu edellä.

Kaikissa rakennetuissa uusissa aksiomaattisissa teorioissa 1900-luvun puoliväliin mennessä tunnetut paradoksit (mukaan lukien Russellin paradoksi) eliminoitiin [32] . Todistaminen, että uusia samanlaisia paradokseja ei voida löytää tulevaisuudessa (tämä on rakennettujen aksiomaattisten teorioiden johdonmukaisuuden ongelma), osoittautui kuitenkin mahdottomaksi tämän ongelman nykyisessä ymmärryksessä [33] [34] (ks. Gödelin epätäydellisyys lauseet ).

Intuitionismi

Samanaikaisesti syntyi uusi matematiikan suuntaus, nimeltään intuitionismi , jonka perustaja on L. E. Ya. Brouwer . Intuitionismi syntyi Russellin paradokseista ja muista antinomioista riippumatta. Antinomioiden löytäminen joukkoteoriassa kuitenkin lisäsi intuitionistien epäluottamusta loogisia periaatteita kohtaan ja kiihdytti intuitionismin muodostumista [25] . Intuitionismin pääteesissä sanotaan, että jonkin esineen olemassaolon todistamiseksi on esitettävä menetelmä sen rakentamiseksi [35] . Intuitionistit hylkäävät sellaiset abstraktit käsitteet kuin kaikkien joukkojen joukko. Intuitionismi kieltää poissuljetun keskikohdan lain , mutta on huomattava, että poissuljetun keskikohdan lakia ei tarvita ristiriidan johtamiseen Russellin antinomiasta tai mistä tahansa muusta (missä tahansa antinomiassa todistetaan, että negaatio merkitsee ja kieltäminen edellyttää kuitenkin , jopa intuitionistisessa logiikassa seuraa ristiriita) [36] . On myös syytä huomata, että myöhemmissä intuitionistisen matematiikan aksiomatisoinneissa löydettiin Russellin kaltaisia paradokseja, kuten esimerkiksi Girardin paradoksi Martin-Löfin intuitionistisen tyyppiteorian alkuperäisessä muotoilussa [37] . $A$ $A$ $A$ $A,$ $(A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)$

Diagonaalinen argumentti (itsesoveltuvuus)

Huolimatta siitä, että Russellin päättely johtaa paradoksiin, tämän päättelyn pääideaa käytetään usein matemaattisten lauseiden todistuksessa. Kuten edellä mainittiin, Russell sai paradoksinsa analysoimalla Cantorin todistetta siitä, että suurinta kardinaalilukua ei ole olemassa . Tämä tosiasia on ristiriidassa kaikkien joukkojen joukon olemassaolon kanssa, koska sen kardinaalisuuden on oltava suurin. Kuitenkin Cantorin lauseen mukaan tietyn joukon kaikkien osajoukkojen joukolla on enemmän kardinaaliutta kuin itse joukolla. Tämän tosiasian todiste perustuu seuraavaan diagonaaliseen argumenttiin:

Olkoon yksi yhteen vastaavuus , joka määrittää jokaiselle joukon alkiolle joukon osajoukon Olkoon joukko , joka koostuu sellaisista alkioista , että ( diagonaalijoukko ). Tällöin tämän joukon komplementti ei voi olla mikään A:sta, joten vastaavuus ei ollut yksi yhteen.

x

X

{\displaystyle s_{x))

x.

d

x

x\in s_{x}

s={\overline {d))

s_{x}.

Cantor käytti diagonaaliargumenttia todistaakseen reaalilukujen laskemattomuuden vuonna 1891. (Tämä ei ole hänen ensimmäinen todiste reaalilukujen laskemattomuudesta, vaan yksinkertaisin) [38] .

Cantorin paradoksi saadaan soveltamalla tätä argumenttia kaikkien joukkojen joukkoon. Itse asiassa Russell-joukko on Cantorin diagonaalijoukko [39] . Diagonaaliargumenttia käytettiin ennen Russellia ja Cantoria (sitä käytti jo vuonna [40] Dubois - Reymond laskennassa vuonna 1875) [41] . Kuitenkin Russellin paradoksissa diagonaalinen argumentti kiteytyy selkeimmin. $s$

Diagonaaliargumenttia on käytetty monilla matematiikan aloilla. Siten se on esimerkiksi keskeinen argumentti Gödelin epätäydellisyyslauseessa , ratkaisemattoman numeroitavan joukon olemassaolon todistuksessa ja erityisesti pysäytysongelman ratkaisemattomuuden todistuksessa [42] .

Aiheeseen liittyviä paradoksia

Itsesoveltuvuutta käytetään monissa muissa paradokseissa edellä käsiteltyjen lisäksi:

Kaikkivaltiuden paradoksi on keskiaikainen kysymys: "Voiko kaikkivaltias jumala luoda kiven, jota hän ei itse voi nostaa?"
Burali-Forti paradoksi (1897) on analogi Cantorin järjestyslukujen paradoksille .
Mirimanovin paradoksi (1917) on yleistys Burali-Forti-paradoksista kaikkien perusteltujen luokkien luokalle .
Richardin paradoksi (1905) on semanttinen paradoksi, joka osoittaa matematiikan ja metamatematiikan kielen erottamisen tärkeyden.
Berryn paradoksi (1906) on Russellin julkaisema yksinkertaistettu versio Richardin paradoksista.
Kleene-Rosserin paradoksi (1935) on muotoiltu Richardin paradoksi λ-laskennassa .
Curryn paradoksi (1941) on yksinkertaistus Kleene-Rosserin paradoksista.
Girardin paradoksi (1972) on Burali-Fortin paradoksi intuitionistisen tyyppiteorian kannalta [37] .
The Interesting Numbers Paradox on puolivitsaileva paradoksi, joka muistuttaa Berryn paradoksia.

Katso myös

Godelin epätäydellisyyslause

Muistiinpanot

↑ Godehard Link (2004), Russellin paradoksi sata vuotta , s. 350, ISBN 9783110174380 , < https://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350 > .
↑ 1 2 Russellin antinomia // Logiikkasanakirja. Ivin A. A., Nikiforov A. L. - M .: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 s. — ISBN 5-691-00099-3 .
↑ 1 2 Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russellin paradoksi // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. – 1.1.2014. Arkistoitu alkuperäisestä 18. maaliskuuta 2019.
↑ 1 2 Antinomia - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . A. G. Dragalin
↑ 1 2 3 A. S. Gerasimov. Matemaattisen logiikan ja laskettavuusteorian kurssi . - Kolmas painos, tarkistettu ja laajennettu. - Pietari: LEMA, 2011. - S. 124-126. — 284 s. Arkistoitu 17. elokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ 1 2 3 4 Russell, Bertrand . Loogisen atomismin filosofia . - s. 101-104. — ISBN 0-203-86477-8 . Arkistoitu 4. tammikuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , s. 17-18.
↑ 1 2 Gardner M. Arvaa!: Per. englannista. = Ah! sainpahan. Paradokseja arvoitukselle ja ilolle. - M .: Mir , 1984. - S. 22-23. — 213 s.
↑ I. V. Jaštšenko. Joukkoteorian paradoksit . - M . : Moskovan matematiikan jatkuvan koulutuksen keskuksen kustantamo, 2012. - S. 5. - (Kirjasto "Mathematical Education" Numero 20). — ISBN 5-94057-003-8 . Arkistoitu 17. elokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ J. Bell. Ymmärrettävän taito: matematiikan perustutkimus sen käsitteellisessä kehityksessä . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 200. - 260 s. — ISBN 9789401142090 .
↑ 1 2 Godehard Link. Sata vuotta Russellin paradoksia: matematiikka, logiikka, filosofia . - Walter de Gruyter, 2004. - S. 350. - 672 s. — ISBN 9783110174380 . Arkistoitu 11. tammikuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Bertrand Russell. Johdatus matemaattiseen filosofiaan . - 1920. - S. 136. Arkistokopio päivätty 17. toukokuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Bertrand Russell. Minun filosofinen kehitys . - Psychology Press, 1995. - S. 58. - 228 s. — ISBN 9780415136013 . Arkistoitu 7. huhtikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ 12 Michael Beaney . Fregen lukija . - Wiley, 7.7.1997. - S. 253. - 430 s. — ISBN 9780631194453 . Arkistoitu 9. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Briefwechsel Bertrand Russellilta . Bibliotheca Augustana. Haettu 28. kesäkuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 5. maaliskuuta 2016. (määrätön)
↑ E. Sinitsyn, O. Sinitsyna. Nerojen luovuuden salaisuus . Arkistoitu 15. elokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Gottlob Frege: Grundlagen der Arithmetik , II, 1903, Anhang S. 253-261.
↑ John P. Burgess. Fregen korjaaminen . - Princeton University Press, 2005. - S. 32-33. — 276 s. — ISBN 0691122318 .
↑ E. Zermelo. Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung (saksa) // Mathematische Annalen. - 1908. - Bd. 65 . - S. 118-119 . — ISSN 0025-5831 . Arkistoitu alkuperäisestä 7. elokuuta 2016.
↑ B. Rang ja W. Thomas. Zermelon löytö "Russell-paradoksista" (englanniksi) // Historia Mathematica. - 1981. - Voi. 8 , ei. 1 . - s. 15-22 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90002-1 . Arkistoitu alkuperäisestä 11. huhtikuuta 2019.
↑ 1 2 Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , s. kahdeksantoista.
↑ Kokoelma (Java Platform SE 8) . Oraakkeli. Haettu 23. syyskuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 18. marraskuuta 2016. (määrätön)
↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , s. 180.
↑ Surovtsev, Valeri Aleksandrovitš. B. Russellin yksinkertaisesta tyyppiteoriasta (julkaisun esipuhe) // Tomsk State University Bulletin. Filosofia. Sosiologia. Valtiotiede. - 2008. - Ongelma. 1 (2) . — ISSN 1998-863X . Arkistoitu alkuperäisestä 17. elokuuta 2016.
↑ 1 2 3 X. Logismi vs. Intuitionism Arkistoitu 14. elokuuta 2016 Wayback Machinessa // Kline M. Mathematics: The Loss of Certainty (englanti) - 1980. - ISBN 978-0-19-502754-9
↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , s. 175.
↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , s. 139.
↑ Monk, JD Johdanto joukkoteoriaan. - McGraw-Hill, 1969. - 193 s.
↑ Abhijit Dasgupta. Joukkoteoria: Johdatus todellisiin pistesarjoihin . — Springer Science & Business Media, 11.12.2013. - S. 396. - 434 s. — ISBN 9781461488545 .
↑ Kelly, J.L. Yleinen topologia . - Nauka, 1968. - S. 327-328 333. — 383 s. Arkistoitu 18. syyskuuta 2016 Wayback Machineen
↑ Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Tiivistelmät ja konkreettiset luokat: Kissojen ilo . - Dover Publications , 1990. - S. 15-16. — ISBN 978-0-486-46934-8 .
↑ M. Foreman, A. Kanamori. Joukkoteorian käsikirja.
↑ P. S. Novikov Aksiomaattinen menetelmä. Matemaattinen tietosanakirja.
↑ D.C. Goldrei. Klassinen joukkoteoria: ohjattu itsenäinen tutkimus
↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , s. 250.
↑ Frenkel, Bar-Hillel, 1966 , s. 17.
↑ 12 Antonius JC Hurkens . Yksinkertaistettu Girardin paradoksi // Tyypityt lambdalaskokset ja sovellukset (englanniksi) . – 10.4.1995. — Voi. 902.—s. 266-278. — ( Tietojenkäsittelytieteen luentomuistiinpanot ). - doi : 10.1007/BFb0014058 .
↑ Gray, Robert (1994), Georg Cantor ja Transcendental Numbers , American Mathematical Monthly , vol. 101: 819–832, doi : 10.2307/2975129 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/ upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf > Arkistoitu 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ N. Griffin. Russellin paradoksin esihistoria // Russellin paradoksi sata vuotta: matematiikka, logiikka, filosofia / toimittanut Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 s. — ISBN 9783110199680 . Arkistoitu 7. huhtikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Du Bois-Reymond, Paul (1875), Über asymptotische Werte, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösungen von Gleichungen , Mathematische Annalen vol. 8: 363-414, doi : 10.10144 , u : 10.10144 /b. goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002243067 >
↑ DC McCarty. Hilbert ja Paul Du Bois-Reymond // Sata vuotta Russellin paradoksia: Mathematics, Logic, Philosophy / toimittanut Godehard Link. - Walter de Gruyter, 2004. - S. 522. - 673 s. — ISBN 9783110199680 . Arkistoitu 7. huhtikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ John B. Bacon, Michael Detlefsen, David Charles McCarty. Diagonaalinen argumentti // Logiikka A:sta Z:een: Filosofian Routledgen tietosanakirja Loogisten ja matemaattisten termien sanasto . — Routledge, 2013-09-05. — 126 s. — ISBN 9781134970971 .

Kirjallisuus

Courant R , Robbins G. Mitä matematiikka on? - ch. II, § 4.5
A. A. Frenkel, I. Bar-Hillel. Joukkoteorian perusteet . - M .: Mir, 1966.
DC Goldrei. Klassinen joukkoteoria: Ohjattu itsenäinen tutkimus - Chapman & Hall Mathematics, 1996.
M. Foreman, A. Kanamori. Joukkoteorian käsikirja - Springer, 2010.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen iso kiinalainen Hienoa norjalaista Britannica (verkossa)