Rahoitettu setti

Perusteltu joukko on osittain järjestetty joukko , jossa jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on vähimmäiselementti . Minimaalisella elementillä tässä tarkoitamme , niin että jollekin seuraavista [ 1] . Matematiikassa hyvin perusteltu joukko tunnetaan myös täydellisenä puolihilana . $\langle M,R\rangle$ $S\subseteq M$ $S$ $m\in S$ $x\in S$ $x\,R\,m$ $x=m$

(Jotkut kirjailijat[ mitä? ] vaativat lisäksi, että relaatio R on yhdistetty .)

Vastaava määritelmä valinnan aksiooman käytön mukaan on, että joukko M , jolla on relaatio R , on perusteltu silloin ja vain, jos se täyttää laskevan ketjun ehdon , eli ei ole olemassa ääretöntä sekvenssiä x 0 , x 1 , x 2 , ... alkioita M :stä siten, että x n +1 R x n mille tahansa indeksille n .

Esimerkkejä

Esimerkkejä perustelluista sarjoista ilman täyttä järjestystä.

Joukko kokonaislukuja, joiden osittainen järjestys on a < b , jos ja vain jos a jakaa b :n ja a ≠ b
Kaikkien äärellisten merkkijonojen joukko äärellisessä aakkostossa, jonka osittaisjärjestys on s < t , jos ja vain jos s sisältyy tiukasti osamerkkijonoon t :ssä

Transfiniittisen induktion periaate

Olkoon perusteltu joukko ja . Sitten, jos jollekin inkluusiolle seuraa , niin se on sama kuin [2] . $\langle M,R\rangle$ $S\subseteq M$ $m\in M$ $\{s\in M:s\,R\,m,s\not =m\}\subseteq S$ $m\in S$ $M$ $S$

Noetherin induktio

Noetherin induktio on transfiniittisen induktion yleistys, joka on seuraava.

Olkoon perusteltu joukko, väittäkää joukon elementtejä ja haluamme näyttää, mikä on totta kaikille . Tämän tekemiseksi riittää osoittamaan, että jos , ja on totta kaikille sellaisille, että , niin se on myös totta. Toisin sanoen $\langle X,R\rangle$ $P(x)$ $X$ $P(x)$ $x\in X$ $x\in X$ $P(y)$ $y\in X$ ${\näyttötyyli y\,R\,x}$ $P(x)$ $\forall x\in X\,((\forall y\in X\,(y\,R\,x\to P(y)))\to P(x))\to \forall x\ X\,(P(x)).$

Muistiinpanot

↑ Ershov, Paljutin, 1987 , s. 70.
↑ Ershov, Paljutin, 1987 , s. 74.

Kirjallisuus

Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Matemaattinen logiikka. - M .: Nauka, 1987. - 336 s.