Puolihila

Puolihila ( eng. semilattice , termiä semistructure käytettiin myös 1960-luvulle asti ) yleisalgebrassa on puoliryhmä , jossa binäärioperaatio on kommutatiivinen ja idempotentti .

Järjestysteorian kannalta puolihila voidaan määritellä osittain järjestetyksi joukoksi , jonka jokaiselle alkioparille määritellään paras yläraja ( ylempi puolihila ) tai infimum ( alempi puolihila ). Joukko, joka on sekä ylempi että alempi puolihila, on hila .

Algebralliset määritelmät

Puolihila on aksiomatisoitu algebraksi , joka on varustettu binäärioperaatiolla, jolla on seuraavat identiteetit: $\langle V,\star \rangle$

$x\star x=x$ ( idempotenssi );
${\näyttötyyli (x\tähti y)\tähti z=x\tähti (y\tähti z)}$ ( assosiatiivisuus );
$x\star y=y\star x$ ( kommutatiivisuus ).

Jos algebrat ja ovat puolihiloja ja niiden operaatiot on yhdistetty suhteilla (kutsutaan absorptiolaiksi ): $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$

$x\vee (x\wedge y)=x$ ,
$x\wedge (x\vee y)=x$ ,

niin algebra on hila . Tässä yhteydessä sitä kutsutaan ylemmäksi puolihilaksi ja alemmaksi . Ylempiin puolihiilloimiin lisätään ylempi elementti siten, että kaikille elementeille , alemmille puolihiloille alempi elementti siten , että puolihilat, joissa tällaisia elementtejä on, kutsutaan rajoittuneiksi. $\langle V,\vee ,\wedge \rangle$ $\langle V,\vee \rangle$ $\langle V,\wedge \rangle$ $\top \in V$ $\top \vee x=\top$ $x \ in V$ $\bot \in V$ $\bot \wedge x=\bot$

Osittainen tilaus

Osajärjestys algebrallisesti määritellyssä puolihilassa voidaan ottaa käyttöön seuraavasti: jos ja vain jos . Koska binäärioperaatio puolihilassa on idempotentti , kommutatiivinen ja assosiatiivinen, tällä tavalla määritetty järjestys on refleksiivinen ( ), antisymmetrinen ( ja transitiivinen ( ). ${\näyttötyyli (V,\kiila )}$ $x\sqsubseteq y$ $x\wedge y=x$ $x\sqsubseteq x$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq x)\Rightarrow (x=y)$ $(x\sqsubseteq y)\And (y\sqsubseteq z)\Oikea nuoli (x\sqsubseteq z)$

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Sali V. N., Skornyakov L. A. . Luku V. Hilat // Yleinen algebra / Toim. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Science , 1991. - T. 2. - S. 192-294. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 25 000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Davey, B.A.; Priestley, H. A. Johdatus ristikkoihin ja järjestykseen . - toinen. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-78451-4 .
Vickers, Steven Topologialogiikan kautta . -Cambridge University Press, 1989. -ISBN 0-521-36062-5.

Linkit

Jipsenin algebrarakenteiden sivu: Puolihilat.