Boolen aksiooma

Boolen olemassaolon aksiooma ( osajoukkojen joukon aksiooma ) on muotoiltu seuraavasti: "Mistä tahansa joukosta on mahdollista muodostaa Boolen , eli joukko , joka koostuu kaikista tietyn joukon oikeista ja epäsopivista osajoukoista ." Joukkoteorian mukaan tämä aksiooma kirjoitetaan matemaattisesti seuraavasti: $d$ $b$ $a$

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)\ )

Boolen aksiooma määrittää joukkojen tyypin (joukon osajoukot ), joiden on oltava generoidun joukon elementtejä . Samaan aikaan Boolen aksiooma ei sisällä algoritmia muodostetun joukon kaikkien elementtien löytämiseksi . $a$ $d$ $d$

Boolen aksiooma voidaan päätellä seuraavista lauseista:

$\exists d\forall b\ (b\subseteq a\to b\in d)$

$\forall d\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)$

Ensimmäinen näistä lauseista on yksi Boolen aksiooman seurauksista, ja toinen on yksi valintakaavion määrittelystä .

Tilavuuden aksiooman ohjaamana voidaan todistaa Boolen ainutlaatuisuus jokaiselle joukolle . Toisin sanoen voidaan todistaa, että Boolen aksiooma vastaa lausetta $a$

\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

mikä on .

\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b: b\subseteq a\})\ )

Aksiooman vaihtoehtoiset formulaatiot

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ , missä $b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)$

$\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})$

$\forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))$

Boolen aksiooma

Aksiooman vaihtoehtoiset formulaatiot

Katso myös