| Matematiikka. Varmuuden menetys | |
|---|---|
| Matematiikka: Varmuuden menetys | |
| Tekijä | Maurice Kline |
| Genre | Suosittu tieteellinen kirjallisuus |
| Alkuperäinen kieli | Englanti |
| Alkuperäinen julkaistu | 1980 |
| Tulkki | Julius Danilov |
| Kustantaja | Remis |
| Vapauta | 2007 |
| Sivut | 640 |
| Kuljettaja | Kovakantinen |
| ISBN | 5-9650-0038-3 |
| Seuraava | Matematiikka. Etsi totuutta |
" Matematiikka. Varmuuden menetys "( Eng. Mathematics: The Loss of Certainty ) - julkaisi vuonna 1980 amerikkalainen matematiikan professori Maurice Kline matematiikan kehityksestä muinaisista ajoista nykypäivään, jossa kirjoittaja yrittää selventää matematiikan olemusta ja pyrkii tutustumaan matematiikan perusongelmiin 1800- ja 1900-luvun lopulla.
Suositulla tavalla, joka ei vaadi lukijalta matemaattista taustaa, Kline kertoo kirjassa matematiikan kehityshistoriaa. Kirjoittaja osoittaa, kuinka matematiikan uudet tulokset ja saavutukset vuosisatojen ajan hämmentyivät matemaatikoita uutuudellaan ja epätavallisuudellaan ja mitä syvällisiä muutoksia ymmärrys matematiikan olemuksesta ja sen roolista ympäröivän maailman ymmärtämisessä, nämä tulokset johtivat (esim. ei -euklidisen geometrian , kvaternionit tai lause Gödel epätäydellisyydestä ).
Kirjailijan "Johdannosta" kirjaan [1] :
Tämä kirja kertoo syvällisistä muutoksista, joita on tapahtunut ihmisen näkemyksissä matematiikan luonteesta ja roolista. Nykyään tiedämme, että matematiikalla ei ole ominaisuuksia, jotka kerran ansaitsivat sille yleisen kunnioituksen ja ihailun. Edeltäjämme näkivät matematiikassa vertaansa vailla olevan mallin tiukasta päättelystä, joukon horjumattomia "totuuksia itsessään" ja totuuksia luonnon laeista. Tämän kirjan pääteemana on tarina siitä, kuinka ihminen ymmärsi tällaisten ideoiden valheellisuuden ja nykyaikaisen ymmärryksen matematiikan luonteesta ja roolista.
Vuonna 1984 kustantamo "Mir" julkaisi kirjan ensimmäisen käännöksen venäjäksi.
Perustuu vuonna 1984 julkaistuun käännökseen [3] .
Tämän kirjan arvosteluissa useat asiantuntijat osoittavat kunnioitusta kirjailijan horisontille ja syyttävät häntä puolueellisesta emotionaalisuudesta, epärehellisyydestä ja epäpätevyydestä.
Erityisesti Raymond Ayub The American Mathematical Monthly -lehdessä kirjoittaa [ 4] :
Euklidinen geometria näytti vuosisatojen ajan olevan hyvä malli avaruudesta. Sen tuloksia on käytetty ja käytetään edelleen tähtitiedossa ja navigoinnissa. Kun se analysoitiin tarkasti, siinä havaittiin heikkouksia, ja on mielenkiintoista huomata, että juuri tämä huolellinen muodollinen analyysi johti ei-euklidisen geometrian löytämiseen (jotkut sanoisivat löytämiseen). (Mitä varten kehitettiin muutama vuosi myöhemmin tyydyttävä euklidinen malli.) Tämä kirjoittaja ei näkenyt tämän löydön olevan muuta kuin Klinen sanoin "fiasko". Mutta eikö se ole suuri voitto? Professori Kline on epärehellinen lukijoilleen. Hän on koulutettu mies ja tietää hyvin, että monet abstraktioina luodut matemaattiset ideat ovat löytäneet tärkeitä sovelluksia todellisessa maailmassa. Hän päättää jättää huomiotta tämän tosiasian, jonka jopa fanaattisimmat matematiikan vastustajat tunnustavat. Ja hän tekee sen tukeakseen kestämätöntä dogmaa. Muista tarina Ludvig XIV:n hovihullusta: jälkimmäinen kirjoitti runon ja kysyi narrin mielipidettä: "Teidän Majesteettinne pystyy mihin tahansa. Majesteettinne halusi kirjoittaa huonoja runoja, Majesteettinne onnistui myös tässä. Valitettavasti sama on sanottava tästä kirjasta.
Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa]Eukidean geometria näytti vuosisatojen ajan olevan hyvä malli avaruudesta. Tuloksia käytettiin ja käytetään edelleen tehokkaasti tähtitiedossa ja navigoinnissa. Kun se alistettiin formalismin tiiviille tarkastelulle, siinä havaittiin heikkouksia, ja on mielenkiintoista havaita, että tällä kertaa formalismin tarkka tarkastelu johti ei-epäselvyyden löytämiseen (jotkut sanoisivat keksintöön). Eukidean geometria. (Muita vuosia myöhemmin kehitettiin tyydyttävä eukidean malli.)
Tämä kirjoittaja ei ymmärrä, miksi tämä löytö oli Klinen sanoin "romahdus". Eikö se päinvastoin ole suuri voitto?...
Professori Kline ei kohtele lukijoitaan rehellisesti. Hän on oppinut mies ja tietää erittäin hyvin, että monet abstraktisti luodut matemaattiset ideat ovat löytäneet merkittävää sovellusta todellisessa maailmassa. Hän päättää jättää huomioimatta tämän tosiasian, jonka jopa fanaattisimmat matematiikan vastustajat tunnustavat. Hän tekee tämän tukeakseen kestämätöntä dogmaa. Tulee mieleen tarina hovinhurilla Ludvig XIV:lle: jälkimmäinen oli kirjoittanut runon ja kysynyt hölmöltä mielipidettä. "Teidän majesteettinne kykenee mihin tahansa. Majesteettinne on ryhtynyt kirjoittamaan doggereliä ja majesteettinne on onnistunut." Kaiken kaikkiaan tämä on valitettavasti sanottava tästä kirjasta.
John Corcoran kirjassa Mathematical Reviews [5] :
Kirjan yleistavoite on edistää matematiikan filosofiana mentalistista pragmatismia, joka ylistää "sovellettua matematiikkaa" ja halveksii "puhdasta matematiikkaa" ja perustutkimusta. Vaikka kirjoittajan opinnäytetyö perustuu osittain 1900-luvun logiikkojen syvällisiin saavutuksiin, hänen pääfilosofiansa on läheistä sukua useille 1800-luvun filosofioille. Lisäksi, kuten edellä olevista teeseistä voidaan nähdä, kirjoittajan käsitys 1900-luvun logiikasta ei ole vakava. Hän pitää yllättävänä (s. 322, 323), että Hilbert, Gödel, Church, Bourbaki-koulun jäsenet ja muut "säätiötyön johtajat" väittävät, että matemaattiset käsitteet ja ominaisuudet ovat olemassa jossain objektiivisessa mielessä ja että ne voidaan nähdä ihmisinä. mieleen. Hänen ainoa argumenttinsa näiden matemaatikoiden platonista realismia vastaan perustuu hänen omaan kyvyttömyyteensä erottaa (inhimillinen) virhe ja (matemaattinen) valhe (s. 324)...
Kirjoittaja ei näytä ymmärtävän, että tiedon saamiseksi ei tarvitse olla erehtymätön, eikä hän ymmärrä, että varmuuden menetys ei ole sama asia kuin totuuden menettäminen. Tekijän idean filosofiset ja perustavanlaatuiset näkökohdat on kudottu laajaan matematiikan historian katsaukseen ja tulkintaan. Voisi toivoa, että hänen väitteensä tukisi jossain määrin vakuuttava historiallinen tutkimus, mutta näin ei ole. Kaksi tekijän kannalta tärkeintä ajanjaksoa on tulkittu epäjohdonmukaisesti. (a) Joissakin kohdissa kirjoittaja esittää ilmeisenä totuutena, että kokemuksella ja havainnolla oli keskeinen rooli klassisen kreikkalaisen matematiikan kehityksessä (s. 9, 18, 24, 167). Mutta muualla hän väittää, että klassiset kreikkalaiset matemaatikot halveksivat kokemusta ja havainnointia perustaen teoriansa "itsestään ilmeisiin totuuksiin" (s. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (b) Joissakin kohdissa kirjoittaja kuvaa 1800-luvun alkua matematiikan pätevyyteen laajalti luottamuksena (s. 6, 68, 78, 103, 173), mutta toisaalla hän kuvailee tätä ajanjaksoa älyllisyyden ajaksi. mullistus, kun matemaatikot kokivat vakavia epäilyksiä tieteensä perusteista (s. 152, 153, 170, 308) ...
Voidaan vain pahoitella niitä filosofisia, perustavanlaatuisia ja historiallisia puutteita, jotka pahentavat pääväitettä ja jotka pyrkivät vähentämään kirjassa esitettyjä monia silmiinpistäviä ja kiehtovia havaintoja ja ajatuksia.
Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa]Kirjan yleistarkoituksena on edistää matematiikan filosofiana mentalistista pragmatismia, joka ylistää "sovellettua matematiikkaa" ja halventaa sekä "puhdasta matematiikkaa" että perusopintoja. Vaikka sen väitöskirja perustuu osittain 1900-luvun logiikkojen syviin perustavanlaatuisiin saavutuksiin, perusfilosofia on läheinen serkku useille 1800-luvulla vaikuttaneille filosofioille. Lisäksi, kuten edellä luetelluista ajatuksista voidaan nähdä, kirjoittajan käsitys 1900-luvun logiikasta ei ole luotettava. Niinpä hän pitää yllättävänä (s. 322, 323), että Hilbert, Gödel, Church, Bourbaki-koulun jäsenet ja muut "perustustyön johtajat vahvistavat, että matemaattiset käsitteet ja ominaisuudet ovat olemassa jossain objektiivisessa mielessä ja että ne voivat tulla ihmismielten käsiksi". Hänen ainoa argumenttinsa juuri mainittujen matemaatikoiden platonistista realismia vastaan perustuu siihen, että hän ei pysty tekemään eroa (inhimillisen) virheen ja (matemaattisen) valheen välillä (s. 324).
Kirjoittaja ei näytä ymmärtävän, että tiedon saamiseksi ei tarvitse olla erehtymätön, eikä hän ymmärrä, että varmuuden menetys ei ole sama asia kuin totuuden menettäminen. Kirjoittajan väitteen filosofiset ja perustavanlaatuiset näkökohdat kudotaan kattavaksi matematiikan historian katsaukseksi ja tulkinnaksi. Voisi toivoa, että perusteellinen historiallinen teos jossain määrin lunasttaisi väitteen, mutta näin ei ole. Kaksi tekijän kannalta tärkeintä ajanjaksoa on tulkittu epäjohdonmukaisesti. (a) Joissakin kohdissa kirjoittaja myöntää ilmeisen totuuden, että kokemuksella ja havainnolla oli keskeinen rooli klassisen kreikkalaisen matematiikan kehityksessä (s. 9, 18, 24, 167). Mutta muissa kohdissa hän väittää, että klassiset kreikkalaiset matemaatikot halveksivat kokemusta ja havainnointia ja perustivat teoriansa "itsestään ilmeisiin totuuksiin" (s. 17, 20, 21, 22, 29, 95, 307). (b) Joissakin kohdissa kirjoittaja kuvailee 1800-luvun alkua laajalle levinneen luottamuksen matematiikan pätevyyteen aikaan (s. 6, 68, 78, 103, 173), mutta muissa kohdissa hän kuvailee tätä ajanjaksoa älyllisen myllerryksen aika, kun matemaatikot epäilivät vakavia tieteensä perustaa (s. 152, 153, 170, 308)...
Voidaan vain pahoitella niitä filosofisia, perustavanlaatuisia ja historiallisia puutteita, jotka turmelevat pääargumentin ja jotka pyrkivät kääntämään huomion pois kirjan monista järkevistä ja kiehtovista havainnoista ja oivalluksista.
Amy Daan-Dalmedico julkaisussa Revue d'histoire des sciences [6] :
Mitä tulee viimeisiin lukuihin, jotka on omistettu modernin matematiikan pääsuuntauksille, ne ovat suoraan sanottuna pettymys, melko pinnallisia. Nykyaikaista matematiikkaa ei analysoida (strukturalismin suuri aikakausi, paluu "konkreettiseen", matematiikan ja fysiikan välinen virtaus jne.).
Alkuperäinen teksti (fr.)[ näytäpiilottaa]Quant aux derniers chapitres sur les grandes tendances des mathématiques contemporaines, ils sont franchement décevants, assez superficiels. Il n'y a pas d'analyse de la mathématique contemporaine (grande période structureliste, retour au "concret", flux entre les mathématiques et la physique jne.
Scott Weinstein teoksessa ETC: yleisen semantiikan katsaus [7] :
Professori Klinen kirja on elävä tarina kiehtovasta aiheesta. Hänen johtopäätöksensä ovat kuitenkin ylivoimaisia ja monissa tapauksissa perusteettomia. 1900-luvun perustieteen oppitunti ei ole se, että matematiikka on surkeassa tilassa, vaan se, kuinka syviä matematiikkaa koskevia filosofisia kysymyksiä voidaan valaista, ellei niitä ratkaista, itse matematiikka. Gödelin lauseet osoittavat rajat sille, mitä voimme tietää matematiikasta, mutta ne osoittavat myös suuret korkeudet, joihin ihmismieli voi nousta matemaattisen ajattelun avulla.
Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa]Professori Klinen kirja on elävä kertomus kiehtovasta aiheesta. Sen päätelmät ovat kuitenkin yliluonnollisia ja monissa tapauksissa perusteettomia. 1900-luvun perustavanlaatuisesta tutkimuksesta opittava opetus ei ole se, että matematiikka on surkeassa tilassa, vaan pikemminkin se, missä määrin matematiikkaa koskevia syviä filosofisia kysymyksiä voidaan valaista, ellei ratkaista, itse matematiikka. Gödelin teoreemat todellakin osoittavat, että sillä, mitä voimme oppia matematiikassa, voi olla rajoja, mutta ne osoittavat myös itsessään ne suuret korkeudet, joihin ihmisen järki voi nousta matemaattisen ajattelun kautta.
Ian Stuart matematiikan kasvatusopinnoissa [8] :
Tämä kirja jatkaa perinnettä, jota odotamme tältä kirjailijalta, ja minun reaktioni siihen on hyvin samanlainen kuin reaktioni hänen aikaisempiin kirjoihin: mielestäni kolme neljäsosaa siitä on erinomaista ja loput neljäsosa on törkeää hölynpölyä. Ja syynä on se, että Morris Kline ei todellakaan ymmärrä tämän päivän matematiikkaa, vaikka hänellä on kadehdittava ymmärrys eilisestä...
Morris Kline on sanonut muualla, että hän pitää Gödelin lausetta 1900-luvun matematiikan lopullisena saavutuksena. Olen eri mieltä: Gödelin lause, hämmästyttävä ja syvällinen, vaikutti vain vähän todellisen matemaattisen kehityksen valtavirtaan. Itse asiassa se ei johtanut mihinkään uuteen ja vahvaan, lukuun ottamatta samanlaisia lauseita. Se on vaikuttanut siihen, miten matemaatikot ajattelevat tekemisistään; mutta sen vaikutus siihen, mitä he todella tekevät, on lähellä nollaa. Vertaa tätä topologian nousuun: 50 vuotta matemaatikoiden näennäisesti sisäänpäinkääntyneitä ponnisteluja, jotka suurelta osin sivuuttavat soveltavan tieteen, on hiottu täydellisyyteen ja muutettu teknologiaksi, valtavaksi ja vielä pitkälti hyödyntämättömäksi energiaksi, josta on viime vuosikymmenen aikana tullut tärkeä käytännössä kaikissa soveltavan tieteen alat: konetekniikka, fysiikka, kemia, numeerinen analyysi. Topologialla on paljon enemmän syytä pitää sitä tämän vuosisadan kruunaavana saavutuksena.
Mutta Morris Kline näkee vain sisäänpäinkääntymisen. Hän ei näytä ajattelevan, että matemaattinen ongelma voi vaatia keskittynyttä matematiikan pohdiskelua eikä ongelmaa, johon haluaisi soveltaa teoriaa tyydyttävän ratkaisun saamiseksi. Mutta jos haluan kaataa omenapuun ja sahani on liian tylsä, ei puun miettiminen teroi sitä...
On hyvää matematiikkaa, on huonoa. On matemaatikoita, jotka eivät ole lainkaan kiinnostuneita tieteestä, mutta jotka rakentavat työkaluja, joita tiede pitää välttämättöminä. Tieteeseen ja tiettyyn käyttöön tarkoitettujen työkalujen rakentamiseen on intohimoisia matemaatikkoja, joiden työ vanhenee yhtä paljon kuin Zeppelin tai tyhjiöputki. Tie löydöstä hyödyllisyyteen on kanin itsepäisyyttä väärien liikkeiden keskellä: matematiikalla itsellään on ollut ja tulee olemaan paikkansa asioiden kaaviossa. Ja loppujen lopuksi fysiikkaa tuntemattoman topologin eristäminen ei ole huonompi kuin fyysikon, joka ei tunne topologiaa. Tämän päivän tiede vaatii erikoistumista adepteiltaan: tiedemiesten kollektiivinen toiminta yleensä on paikka, jossa viittauksia väärennetään. Jos Morris Kline olisi antanut jonkinlaisen käsityksen tämän prosessin luonteesta, olisin ottanut hänen väitteensä vakavammin. Mutta hänen väitteensä, että matematiikka on taantunut, perustuu liian suureen tietämättömyyteen, ja hänen väitteensä ovat hämäriä verrattuna modernin matematiikan ihmeelliseen, säteilevään energiaan. Minäkin haluaisin matemaatikoiden tunnustavan avoimemmin tieteensä ongelmat; mutta olla huomaamatta, että he tekevät erinomaista työtä, jopa tässä näennäisessä eristäytymisessä, on taistelun häviäminen ennen kuin se alkaa.
Alkuperäinen teksti (englanniksi)[ näytäpiilottaa]Tämä kirja noudattaa tiukasti perinnettä, jota olemme tottuneet odottamaan tältä kirjailijalta; ja reaktioni siihen on paljolti samanlainen kuin reaktioni sen edeltäjiin: mielestäni kolme neljäsosaa siitä on loistavaa ja toinen neljäsosa on törkeää hölynpölyä; ja syynä on se, että Morris Kline ei todellakaan ymmärrä, mistä nykypäivän matematiikassa on kyse, vaikka hänellä on kadehdittava käsitys eilisestä...
Morris Kline on sanonut muualla, että hän pitää 1900-luvun matematiikan kruunausta Godelin lauseena. En ole samaa mieltä: Gddel-lauseella, niin hämmästyttävällä ja syvällä kuin se on, ei ollut juurikaan vaikutusta todellisen matemaattisen kehityksen valtavirtaan. Se ei itse asiassa johtanut mihinkään uuteen ja voimakkaaseen lukuun ottamatta samanlaisia lauseita. Se, miten matemaatikot vaikuttivat, ajattelivat, mitä he olivat tekemässä; mutta sen vaikutus siihen, mitä he todella tekivät, on lähellä nollaa. Vertaa tätä topologian nousuun: 50 vuotta ilmeisen sisäänpäin kääntyneitä matemaatikoiden ponnisteluja, jotka ovat suurelta osin jättäneet huomioimatta soveltavan tieteen; kiillotettu ja viimeistelty ja kehittynyt valtavan ja vielä pitkälti toteutumattoman voiman omaavaksi tekniikaksi; ja viime vuosikymmenen aikana siitä on tullut tärkeä lähes kaikilla soveltavan tieteen aloilla: tekniikassa, fysiikassa, kemiassa, numeerisessa analyysissä. Topologia väittää olevansa tämän vuosisadan kruunaava saavutus.
Mutta Morris Kline näkee vain sisäänpäinkääntymisen. Hänelle ei näytä tulevan mieleen, että matemaattinen ongelma saattaa vaatia matematiikan keskittynyttä pohdiskelua mieluummin kuin ongelman, johon toivotaan soveltavansa tuloksena olevaa teoriaa, tyydyttävän ratkaisun saamiseksi. Mutta jos haluan kaataa omenapuun, ja sahani on liian tylsä, ei puun miettiminen teroi sitä...
Siellä on hyvä matematiikka; on huonoa matematiikkaa. On matemaatikoita, jotka eivät ole lainkaan kiinnostuneita tieteestä, ja jotka rakentavat työkaluja, joita tiede pitää välttämättöminä. Siellä on tieteestä kiihkeästi kiinnostuneita matemaatikoita, jotka rakentavat sinne erityiskäyttöön työkaluja, joiden työt vanhenevat yhtä lailla kuin Zeppelin tai elektroniikkaventtiili. Polku löydöstä hyödyllisyyteen on väärien päämäärien jänissota: matematiikalla on itsensä vuoksi ollut ja tulee jatkossakin olemaan paikkansa asioiden järjestelmässä. Ja loppujen lopuksi topologin, joka ei tunne fysiikkaa, eristäminen ei ole huonompi kuin fyysikon, joka ei tunne topologiaa. Tämän päivän tiede vaatii yksilöiltä erikoistumista: yhteyksiä luodaan tiedemiesten kollektiivisessa toiminnassa. Jos vain Morris Kline osoittaisi jonkin verran aavistusta tämän prosessin luonteesta, ottaisin hänen väitteensä vakavammin. Mutta hänen väitteensä, että matematiikka on mennyt taantumaan, perustuu liikaa tietämättömyyteen, ja hänen väitteensä ovat karmeita verrattuna tämän päivän matematiikan ihmeelliseen, loistavaan voimaan. Minäkin haluaisin nähdä, että matemaatikot tunnustavat avoimemmin tieteellisten ongelmien tärkeyden; mutta sen tosiasian huomaamatta jättäminen, että he tekevät loistavaa työtä jopa tässä näennäisessä eristäytymisessä, häviää taistelun ennen kuin se on alkanut.