Von Neumann-Bernays-Gödel -aksioomijärjestelmä

Von Neumann-Bernays-Gödel -aksioomajärjestelmä ( NBG , Gödel-Bernays aksiomatiikka ) metamatematiikassa on yksi tärkeimmistä aksiomaattisista joukkoteorioista . Tämä järjestelmä on jatkoa kanoniselle Zermelo-Fraenkelin teorialle valinnan aksioomalla ( ZFC ). ZFC-teorian kielellä formuloidut lauseet ovat todistettavissa ZFC:ssä silloin ja vain, jos ne ovat todistettavissa NBG:ssä.

NBG-teoria sisältää lisäksi oman luokkansa käsitteen - objektin, jolla on elementtejä, mutta joka itse ei voi olla minkään objektin jäsen. NBG sisältää vain käsitteen määritelmät, jotka eivät viittaa määriteltävään käsitteeseen; sidottujen muuttujien arvot kaavoissa voidaan vain asettaa. Tämän periaatteen poissulkeminen (määritelmissä määriteltävän käsitteen puuttuminen) muuttaa NBG -järjestelmän Morse-Kelly-järjestelmäksi (MK). NBG, toisin kuin ZFC ja MK, voidaan aksiomatisoida äärellisesti (ääreisellä määrällä aksioomeja).

Käsitejärjestelmä

NBG:n perustana on ominaisluokkien ja joukkojen välinen ero . Antaa ja olla esineitä. Sitten määritellään yksinkertainen lause , jos on joukko ja on luokka; toisin sanoen se määritellään, jos se ei ole oma luokkansa. Luokat voivat olla hyvin suuria, NBG:llä on jopa kaikkien sarjojen luokka, yleinen luokka nimeltä . NBG:ssä on kuitenkin mahdotonta olla kaikkien luokkien luokka (koska oikea luokka ei voi olla luokan jäsen) tai kaikkien joukkojen joukko (sen olemassaolo on ristiriidassa aksioomajärjestelmän kanssa ). $a$ $s$ $a\in s$ $a$ $s$ $a\in s$ $a$ $V$

NBG-aksioomajärjestelmässä kaikki objektit, jotka täyttävät kaikki NBG: n ensimmäisen asteen logiikan annetut kaavat, muodostavat luokan. Jos luokka ei voi täyttää ZFC-aksioomajärjestelmää, se on oma luokkansa . Luokkien kehitys heijastaa naiivin joukkoteorian kehitystä. Abstraktioperiaate on annettu, mikä tarkoittaa, että kaikista objekteista voidaan muodostaa luokkia, jotka täyttävät kaikki ensimmäisen asteen logiikan lauseet; lisäksi yksinkertaiset lauseet voivat sisältää jäsensuhteen tai tätä relaatiota käyttäviä predikaatteja. Tasa-arvo, elementiparin muodostamisoperaatio, alaluokat ja muut vastaavat käsitteet on määritelty eivätkä vaadi aksiomatisointia - niiden määritelmät tarkoittavat kaavan konkreettista abstraktiota. Sarjat kuvataan menetelmällä, joka on lähellä ZF:ää. Define (joukko edustaa luokkaa ) on binäärirelaatio , joka määritellään muodossa $\operaattorin nimi {Rp} (A,a)$ $a$ $A$

$\operaattorin nimi {Rp} (A,a):=\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in a).$

Tämä tarkoittaa, että edustaa , jos kaikki elementit kuuluvat ja päinvastoin. Luokkia, joilla ei ole niitä edustavaa joukkoa, kutsutaan varsinaisiksi luokiksi [1] . Esimerkki oikeasta luokasta on kaikkien joukkojen luokka, jotka eivät sisällä itseään (luokka, joka vetoaa Russellin paradoksiin ). $a$ $A$ $a$ $A$

Historia

NBG:n ensimmäinen versio sisälsi peruskäsitteinä funktioita, ei joukkoja (von Neumann, 1920-luku). Vuosina 1937-1954 julkaistuissa artikkeleissa Paul Bernays muokkasi von Neumannin teoriaa tehdäkseen joukkoja ja jäsensuhteen peruskäsitteitä; hän havaitsi myös, että tämä teoria voidaan aksiomatisoida äärellisellä määrällä aksioomia. Gödel (1940) yksinkertaisti ja käytti teoriaa tutkiessaan jatkumohypoteesin riippumattomuutta. Montagu osoitti, että ZFC:tä ei voida lopullisesti aksiomatisoida.

NBG:n aksiomatisointi

Seuraavassa pienet muuttujat tarkoittavat joukkoja ja isot muuttujat luokkia. Siten se tarkoittaa, että joukko kuuluu joukkoon (on joukon elementti ); a tarkoittaa, että joukko on luokan jäsen . Ilmaisut , , tarkoittavat sitä (tässä emme ole täysin tiukkoja yksinkertaisuuden vuoksi). Formaalista järjestelmää kuvattaessa voisimme käyttää yhden tyypin symboleja, ja joukot olisivat luokkia, jotka ovat vähintään yhden muun luokan jäseniä. $x\in y$ $x$ $y$ $y$ $x\in Y$ $x$ $Y$ $x=y$ $x=Y$ $X=Y$ $\forall a(a\in X\leftrightarrow a\in Y)$

Ensin rakennetaan NBG-aksioomajärjestelmä käyttämällä luokan sukupolven aksioomakaaviota (kaava vastaa ääretöntä aksioomijoukkoa). Tämä kaavio vastaa 9 aksioomia [2] . Siten nämä 9 aksioomaa voivat korvata luokan generointijärjestelmän. Siten NBG on rajallisesti aksiomatisoitavissa.

Aksioomijärjestelmä, mukaan lukien luokan generointikaavio

Seuraavat 5 aksioomia ovat samat kuin vastaavat ZFC-aksioomat

Laajentuvuuden aksiooma . . Samat elementit sisältävät joukot ovat yhtä suuret. $\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b$
Pair Existence Axiom . . Jokaiselle joukolle ja jokaiselle joukolle on joukko, jonka elementit ovat vain ja ). Parin olemassaolon aksioomasta (olettaen ) seuraa, että jokaiselle joukolle on joukko, joka koostuu vain yhdestä alkiosta: . Edelleen voidaan määritellä järjestetyt joukkojen parit esimerkiksi . Käyttämällä aliluokan luokan generointikaaviota (katso alla) saamme, että mikä tahansa relaatio on myös luokka. Jotkut näistä suhteista ovat yhden tai useamman muuttujan funktioita, injektioita, bijektioita luokasta toiseen. Parin olemassaoloaksiooma on aksiooma Zermelon joukkoteoriassa ja lause ZFC:ssä. ${\displaystyle \forall x\forall y\exists z\forall w{\big (}w\in z\leftrightarrow (w=x\tai w=y){\big )))$ $x$ $y$ ${\näyttötyyli \{x,y\))$ $x$ $y$ $x=y$ $x$ $\{x\}$ $(a, b)$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$
Yhdistämisaksiooma . Jokaiselle joukolle on joukko, joka koostuu täsmälleen kaikista elementtien elementeistä . $x$ $x$
Osajoukkojen joukon aksiooma . Jokaiselle joukolle on joukko, joka koostuu täsmälleen kaikista :n osajoukoista . $x$ $x$
Äärettömän aksiooma . On joukko , joka täyttää kaksi ehtoa: tyhjä joukko kuuluu ; jokaiselle , joka kuuluu , joukko kuuluu myös . Tämä aksiooma voidaan muotoilla siten, että tyhjän joukon olemassaolo on implisiittistä [3] . $x$ $x$ $y$ $x$ ${\big \{}y,\{y\}{\big \))$ $x$

Seuraavat aksioomit kuvaavat ensisijaisesti luokkien ominaisuuksia (ja siksi sisältävät isoja kirjaimia). Kaksi ensimmäistä niistä eroavat ZFC:n vastaavista vain siinä, että ne korvaavat pienet kirjaimet isoilla kirjaimilla.

Laajentuvuuden aksiooma (luokille) . . Luokat, joissa on samat elementit, ovat samanarvoisia luokkia. $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B$
Säännöllisyyden aksiooma . Jokainen ei-tyhjä luokka sisältää elementin, jonka leikkauspiste on tyhjä. $A$ $A$

Kaksi viimeistä aksioomaa ovat NBG:n tunnusmerkki.

Tehonrajoituksen aksiooma . Jokaiselle luokalle ehdon täyttävä joukko on olemassa silloin ja vain, jos kaikkien joukkojen ja luokan välillä ei ole bijektiota . Tästä von Neumannin johdosta aksioomasta voidaan johtaa osajoukon aksioomakaavio, muunnosaksioomakaavio ja globaalivalintaaksiooma. Erityisesti globaalin valinnan aksiooma voidaan päätellä, koska ordinaalin luokka ei ole joukko; niin on bijection välillä luokan kaikki ordinaals ja . Jos kardinaalisuusrajoitteen aksiooma lievennetään seuraavasti: jos luokkafunktion toimialue on joukko, niin myös toimialue on joukko – silloin valinnan aksiooma ei ole NBG-lause missään muodossa. Tässä tapauksessa valinnan aksiooma missä tahansa muodossa voidaan tarvittaessa lisätä aksioomaksi. Valinnan aksiooma tässä muodossa löytyy julkaisusta Mendelson (1997) NGB. Sieltä löytyy tavallinen joukkojen valinnan aksiooma ja muunnosaksioomaskeeman seuraava muoto: jos luokka on funktio, jonka toimialue on joukko, niin sen toimialue on myös joukko [4] $C$ $c$ $c=C$ $C$ $V$ $V$ $F$
Alaluokan sukupolven aksioomakaavio . Jokaiselle kaavalle , joka ei sisällä luokkamuuttujien kvantoreita (kaava voi sisältää luokkamuuttujia parametreina), on luokka , joka on . Tämä aksiooma puolustaa naiivin joukkoteorian rajoittamattoman allokoinnin (osajoukkojen) periaatetta. Luokat ovat kuitenkin parempia kuin joukot, koska paradoksit on eliminoitu joukkoteoriasta. $\varphi$ $A$ ${\displaystyle \forall x{\big (}x\in A\leftrightarrow \varphi (x){\big )))$

Alaluokan sukupolven aksioomaskeema on NBG:n ainoa skeema. Alla näytämme, kuinka tämä kaavio voidaan korvata useilla erikoistapauksilla, minkä seurauksena NBG:stä tulee lopullisesti aksiomatisoitava. Jos kaavan sidotut muuttujat voivat kattaa luokkia (eikä vain joukkoja), niin saamme Morse-Kellyn joukkoteorian, ZFC:n oikean laajennuksen, jota ei voida lopullisesti aksiomatisoida. $\varphi(x)$

Alaluokan sukupolven kaavion korvaaminen useilla erikoistapauksilla

NBG:n houkutteleva ja hieman mystinen piirre on se, että alaluokitusjärjestelmä voidaan korvata useilla erikoistapauksia kuvaavilla aksioomeilla. Seuraavat aksioomit voivat korvata alaluokan sukupolvijärjestelmän kokonaan. Alla esitetty aksiomatisointimenetelmä ei välttämättä ole sama kuin painetuista lähteistä löytyvä menetelmä [5] .

Kuvaamme aksiomatisointiamme kuvaamalla kaavojen rakennetta. Ensinnäkin meillä on oltava luokkien alkukanta.

Sarjat . Jokaiselle sarjalle on sellainen luokka , että . Tämä aksiooma, yhdessä edellisen osan joukkoaksioomien kanssa, tarjoaa alkusarjan luokkia ja antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa kaavoja, joissa luokat ovat parametreina. $x$ $X$ $X=x$

Seuraavaksi kuvailemme menetelmää, jolla muodostetaan lauselogiikan lausekkeita. Anna ja . Sitten ,. _ Koska operaatioiden ja avulla on mahdollista kirjoittaa ylös mitä tahansa lauselogiikan lausekkeita, riittää, että määrittelemme luokkien yhteenlasku- ja leikkauspisteet. $A=\{x\mid \varphi \}$ $B=\{x\mid \psi \}$ $\{x\mid \lnot \varphi \}=VA$ $\{x\mid \varphi \vee \psi \}=A\cup B$ $\lei$ $\maa$

Lisäys . Jokaisen luokan täydennys on luokka. $A$ $VA=\{x\mid x\notin A\}$
risteys . Kaikille luokille ja leikkauspiste on luokka. $A$ $B$ ${\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\))$

Nyt aletaan siirtyä kohti kvantittoreiden sisällyttämistä kaavoihin. Jotta voit käyttää useita muuttujia, sinun on kyettävä kuvaamaan suhteita. Määritellään järjestetty pari ja kuten tavallista: . Seuraavaksi kuvaamme aksioomia järjestetyillä pareilla: $a$ $b$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$

Tuote . Kaikille luokille ja tuote on luokka (käytännössä tarvitsemme vain ). $A$ $B$ ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\))$ $V\times A$
Permutaatiot . Jokaiselle luokalle on luokkia . $R$ $\operaattorin nimi {Conv1} (R)=\{(b,a)\mid (a,b)\in R\},$ $\operaattorinimi {Conv2} (R)={\iso \{}{\big (}b,(a,c){\big )}\,{\big |}\,{\big (}a ,(b,c){\big )}\in R{\big \)).$
Assosiatiivisuus . Jokaiselle luokalle on luokkia . $R$ $\operaattorin nimi {Assoc1} (R)={\iso \{}{\big (}(a,b),c)\,{\big |}\,{\big (}a,(b, c){\big )}\in R{\big \)),$ $\operatorname {Assoc2} (R)={\Big \{}{\Big (}d,{\big (}a,(b,c){\big )}{\Big )}\,{ \Big |}\,{\Big (}d,{\big (}(a,b),c){\big )}{\Big )}\in R\}.$

Näiden aksioomien avulla voit lisätä valeargumentteja sekä muuttaa argumenttien järjestystä minkä tahansa ariteon suhteissa . Erityinen assosiatiivisuuden muoto on suunniteltu nimenomaan mahdollistamaan minkä tahansa lausekkeen siirtäminen listasta listan alkuun (tietysti myös permutaatioita käyttäen). Esitämme argumenttiluettelon muodossa (eli pää (ensimmäinen argumentti) ja hännän parina (muut argumentit)). Ajatuksena on soveltaa, kunnes meitä kiinnostavasta argumentista tulee toinen, sitten soveltaa tai ja sitten soveltaa, kunnes käytetään . $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\displaystyle {\big (}x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}){\big )))$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Assoc1} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Assoc1} }$ $\operaattorin nimi {Assoc2}$ $\operaattorin nimi {Assoc2}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Assoc1} }$

Seuraavaksi haluamme aksiomatisoida seuraavan lausejoukon: jos on luokka, joka on relaatio, niin sen alue on luokka. $\{(x,y)\mid \varphi (x,y)\}$ ${\displaystyle \{y\mid \exists x\,\varphi (x,y)\))$

Alueet . Jokaiselle luokalle on oma luokka . $R$ ${\displaystyle \operaattorin nimi {Rng} (R)=\{y\mid \exists x\,(x,y)\in R\))$

Siten olemme saaneet eksistentiaalisen kvantorin; universaali kvantori voidaan saada eksistentiaalisen kvantorin ja negationin kautta. Yllä olevat aksioomit antavat meille mahdollisuuden siirtää argumentin argumenttiluettelon etupuolelle, jotta voimme soveltaa siihen kvantoijaa.

Lopuksi jokainen yksinkertainen kaava edellyttää seuraavien suhteiden olemassaoloa luokissa:

Liittyminen . Siellä on luokka . $[{\in }]=\{(x,y)\mid x\in y\}$
Diagonaaliluokka . Siellä on luokka . ${\displaystyle [{=}]=\{(x,y)\mid x=y\))$

Diagonaaliluokka sekä mahdollisuus järjestää argumentteja uudelleen ja lisätä valeargumentteja mahdollistavat samojen argumenttien korvaamisen suhteiksi.

Variant of Mendelssohn

Mendelssohn viittaa aksioomiinsa B1 - B7 luokkien olemassaolon aksioomeina. Neljä niistä on yhtäpitävää edellä mainittujen kanssa: B1 - kuuluminen; B2 - risteys; B3 - lisäys; B5 - kertolasku. B4 - alue on annettu toimialueen olemassaolon muodossa (olemassaolotunnistin on y , ei y ). Kaksi viimeistä aksioomia ovat: $y$ $x$

B6 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (v,w,u)\in X],$
B7 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (u,w,v)\in X].$

B6 ja B7 antavat meille mahdollisuuden tehdä sen, mitä meidän tapauksessamme tehtiin käyttämällä permutaatio- ja assosiatiivisuusaksioomia. Jokaiselle kolmiot sisältävälle luokalle on toinen luokka, joka sisältää samat kolmiot, jossa elementit permutoidaan samalla tavalla.

Keskustelut

NBG:n esiin nostamia filosofisia ja ontologisia kysymyksiä käsitellään erityisesti ZFC:n ja MK:n erojen suhteen, katso Potterin (2004) Liite C.

Vaikka NBG on ZFC:n jatke, jotkut lauseet voidaan todistaa yksinkertaisemmin ja tyylikkäämmin NBG:ssä kuin ZFC:ssä (tai päinvastoin). Katso Pudlak (1998) tunnetuista tuloksista tällä alalla.

Malliteoria

ZFC:llä, MK:lla ja NBG:llä on malli, joka on määritelty käyttämällä (standardimalli ZFC:ssä ja universumi NBG:ssä). Sisällytetään nyt tavoittamaton kardinaaliluku . Nimetään määritellyt osajoukot . Sitten $V$ $V$ $k$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Def} (x)}$ $\Delta _{0}$ $X$

$V_{k}$ on ZFC malli.
$\operaattorin nimi {Def} (X)$ on NBG-malli,
$V_{{k+1}}$ on MK malli.

Luokkateoria

NBG-käsitejärjestelmä antaa meille mahdollisuuden puhua suurista esineistä ilman riskiä törmätä paradoksiin. Erityisesti monissa kategoriateorian tulkinnoissa suuri luokka tarkoittaa luokkaa, jossa objektijoukko on oma luokkansa, aivan kuten joukko morfismeja. Pienet luokat taas ovat luokkia, joissa objektijoukot ja morfismit ovat joukkoja. Siksi ilman paradoksien riskiä voimme puhua kaikkien joukkojen kategoriasta tai kaikkien pienten kategorioiden kategoriasta. Nämä kategoriat ovat tietysti suuria. Mutta ei voida puhua kaikkien luokkien kategoriasta, koska sen pitäisi sisältää kaikkien pienten kategorioiden luokka. On kuitenkin olemassa muita käsitejärjestelmien laajennuksia, joiden avulla voidaan puhua kaikkien kategorioiden joukosta kategoriana (katso kaikkien kategorioiden kvasikategoria julkaisussa Adámek et al. (1990)).

Luokkien ja joukkojen käsitejärjestelmä riittää perustelemaan kategoriateorian (Muller, 2001).

Muistiinpanot

↑ Englanninkielinen termi . oikea luokka on käännetty oikeaksi luokaksi S. McLanen käännetyn kirjan "Categories for the Working Mathematician" mukaan.
↑ Mendelson (1997), s. 232, Väite 4.4 todistaa, että luokan generointikaavio vastaa sivulla s. kuvattuja aksioomia B1-B7. 230.
↑ Mendelson (1997), s. 239, esim. 4.22(b).
↑ Mendelson (1997), s. 239, aksiooma R.
↑ Tämä artikkeli on käännös englanninkielisestä Wikipediasta.

Kirjallisuus

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (1. painos), New York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3 , < http: //katmat.math.uni-bremen.de/acc/ >
Bernays, Paul (1937), Aksiomaattisen joukkoteorian järjestelmä – osa I , The Journal of Symbolic Logic, osa 2 (1): 65–77 , DOI 10.2307/2268862
Bernays, Paul (1941), Aksiomaattisen joukkoteorian järjestelmä – Osa II , The Journal of Symbolic Logic, osa 6 (1): 1–17 , DOI 10.2307/2267281
Bernays, Paul (1991), Axiomatic Set Theory (2. tarkistettu painos), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2
Bourbaki, Nicolas (2004), Elements of Mathematics: Theory of Sets , Springer, ISBN 978-3-540-22525-6 , < https://archive.org/details/springer_10.1007-978-3-642-59309 -3 >
Chuaqui, Rolando (1981), Axiomatic Set Theory: Impredicative Theories of Classes , North-Holland, ISBN 0-444-86178-5
Cohen, Paul (1963), The Independence of the Continuum Hypothesis , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, osa 50 (6): 1143–1148, PMID 16578557 , DOI 10.1073/pnas.5.5143.6.
Cohen, Paul (1966), Set Theory and the Continuum Hypothesis , W. A. Benjamin
Dawson, John W. (1997), Loogiset ongelmat: Kurt Gödelin elämä ja työ , Wellesley, MA: A. K. Peters
Easton, William B. (1964), Powers of Regular Cardinals , Princeton University
Felgner, Ulrich (1971), Paikallisen ja yleismaailmallisen valinnan aksioomien vertailu , Fundamenta Mathematicae T. 71: 43-62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62 , < http://matwbn.icm. edu.pl/ksiazki/fm/fm71/fm7113.pdf >
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory ja sen rooli matemaattisessa ajattelussa (2. tarkistettu painos), Basel, Sveitsi: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Gödel, Kurt (1940), The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory (tarkistettu painos), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1
Gödel, Kurt (1986), Collected Works, Volume 1: Julkaisut 1929–1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9
Gödel, Kurt (1990), Collected Works, Volume 2: Julkaisut 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6
Gödel, Kurt (2003), Kerätyt teokset, osa 4: Kirjeenvaihto A–G , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5
Gray, Robert (1991), Tietokoneohjelmat ja matemaattiset todisteet , The Mathematical Intelligencer osa 13 (4): 45–48 , DOI 10.1007/BF03028342
Hallett, Michael (1984), Cantorian Set Theory and Limitation of Size (Kovakantinen toim.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1
Kanamori, Akihiro (2009b), The Higher Infinite: Large Cardinals in the Theory from The Beginnings , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3
Kanamori, Akihiro (2009), Bernays and Set Theory , Bulletin of Symbolic Logic , osa 15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 17a.pdf >
Kanamori, Akihiro (2012), In Praise of Replacement , Bulletin of Symbolic Logic , osa 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 20.pdf >
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (Kovakantinen toim.), North-Holland, ISBN 978-0-444-86839-8
Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4. painos), Lontoo: Chapman ja Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2 - Pp. 225-86 sisältävät klassisen NBG:n oppikirjakäsittelyn, jotka osoittavat, kuinka se tekee sen, mitä odotamme joukkoteorialta maadoittamalla suhteet , järjestysteoria , järjestysluvut , äärelliset luvut jne.
Mirimanoff, Dmitry (1917), Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles, L'Enseignement Mathématique T. 19: 37–52
Montague, Richard (1961), Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I, Buss, Samuel R. , Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, s. 45–69
Mostowski, Andrzej (1950), Jotkut impredikatiiviset määritelmät aksiomaattisessa joukkoteoriassa , Fundamenta Mathematicae osa 37: 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 , < http ://matwbn.icm. .pl/ksiazki/fm/fm37/fm37110.pdf >
Muller, FA (1. syyskuuta 2001), Sarjat, luokat ja kategoriat , British Journal for the Philosophy of Science, osa 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539 , < http://philsci -archive.pitt.edu/1372/1/SetClassCat.PDF >
Müller, Gurt, toim. (1976), Sarjat ja luokat: Paul Bernaysin työstä, Logiikan opinnot ja matematiikan perusteet, osa 84, Amsterdam: North Holland, ISBN 978-0-7204-2284-9
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction (Kovakantinen toim.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0
Pudlák, Pavel (1998), The Lengths of Proofs , julkaisussa Buss, Samuel R. , Handbook of Proof Theory , Elsevier, s. 547-637, ISBN 978-0-444-89840-1
Smullyan, Raymond M. & Fitting, Melvin (2010), Set Theory and the Continuum Problem , Dover, ISBN 978-0-486-47484-7
Solovay, Robert M. (1990), Introductory note to 1938 , 1939 , 1939a and 1940 , Kurt Gödel Collected Works, Volume 2: Publications 1938–1974 , Oxford University Press, s. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6
von Neumann, John (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta Litt. Acad. Sc. Szeged X. T. 1: 199–208 , < http://bbi-math.narod.ru/newmann/newmann.html >
von Neumann, John (1925), Eine Axiomatisierung der Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 154: 219–240 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/? PPN=PPN243919689_0154&DMDID=DMDLOG_0025 >

Linkit

von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift T. 27: 669–752, doi : 10.1007/ bf01171122 , = PPN266833020
von Neumann, John (1929), Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 160: 227–241 , < http: //gdz.sub.uni-goettingen/load/dms/load . img/?PPN=PPN243919689_0160&DMDID=DMDLOG_0019 > .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)