Metamatematiikka
Metamatematiikka on matemaattisen logiikan haara , joka tutkii matematiikan perusteita , matemaattisten todisteiden rakennetta ja matemaattisia teorioita muodollisin menetelmin . Termi metamatematiikka tarkoittaa kirjaimellisesti "matematiikan ulkopuolella".
Sanan laajassa merkityksessä metamatematiikka on matematiikan metateoria, joka ei rajoita käytettyjen metateoreettisten menetelmien luonnetta, määrittelytapaa ja siinä tutkitun ”matematiikan” määrää.
Perustiedot
Metamatematiikka pitää formalisoitua teoriaa joukkona tiettyjä äärellisiä symbolijonoja, joita kutsutaan kaavoiksi ja termeiksi ja joihin lisätään joukko näille sarjoille suoritettuja operaatioita. Yksinkertaisten sääntöjen avulla saadut kaavat ja termit korvaavat merkityksellisen matemaattisen teorian lauseita ja funktioita. Kaavojen operaatiot vastaavat matemaattisen päättelyn peruspäättelyvaiheita. Sisältöteorian aksioomia vastaavat kaavat toimivat formalisoidun teorian aksioomeina. Kaavat, jotka voidaan päätellä aksioomista hyväksyttyjen operaatioiden avulla, vastaavat sisältöteorian lauseita. Kaavajoukko ja termijoukko, joita pidetään operaatioineen äärellisinä sarjoina, voivat puolestaan olla matemaattisen tutkimuksen kohteita.
Metamatematiikan kehitys
Matemaattisen logiikan kehityksen alkuvaiheessa käytettiin enimmäkseen yksinkertaisia menetelmiä, kaikki ei-äärelliset jätettiin pois. Tämän suunnan johtaja oli D. Hilbert , joka uskoi, että yksinkertaisten menetelmien avulla metamatematiikka pystyisi todistamaan matemaattisten perusteorioiden johdonmukaisuuden . K. Gödelin lauseet kuitenkin osoittivat, että Hilbertin ohjelma ei ole toteuttamiskelpoinen. Äärillisten menetelmien käyttö formalisoitujen teorioiden tutkimiseen on luonnollista johtuen niiden ilmeisestä äärellisyydestä. Mutta käytännössä todistusmenetelmien rajoittaminen perusmenetelmiin vaikeuttaa suuresti matemaattista tutkimusta. Siksi nykyaikainen metamatematiikka käyttää laajalti monimutkaisempia, ei-finiteisiä menetelmiä syvempään tunkeutumiseen formalisoitujen teorioiden olemukseen. Minkä tahansa formalisoidun teorian termijoukko on algebra, ja kaikkien kaavojen joukko on myös algebra. Vastaavien kaavojen luonnollisen tunnistamisen jälkeen kaikkien kaavojen joukosta tulee hila (rakenne), nimittäin Boolen algebra, pseudo-Boolen algebra, topologinen Boolen algebra jne. riippuen teoriassa käytetystä logiikasta. Nämä algebrat puolestaan liittyvät joukkojen kentän ja topologisen avaruuden käsitteeseen. Tästä näkökulmasta näyttää luonnolliselta käyttää metamatematiikassa algebran, hilateorian (rakenteet), joukkoteorian ja topologian menetelmiä. Myös Gödelin aritmetisointimenetelmä ja rekursiivisten funktioiden teoria ovat laajalti käytössä.
Gödelin lauseita voitiin pitää "loppuna", mutta todistaen finitismin, formalismin ja niihin liittyvän Hilbert-ohjelman rajoituksista sekä aksiomaattisesta menetelmästä yleensä, nämä lauseet toimivat samalla voimakkaana ärsykkeenä todistuskeinojen (erityisesti johdonmukaisuuden todisteiden) etsintä, joka on vahvempi kuin äärelliset, mutta myös tietyssä mielessä rakentava. Yksi näistä menetelmistä oli transfiniittisen induktio ensimmäiseen saavuttamattomaan rakentavaan transfiniittiin. Tämä polku mahdollisti todisteen aritmeettisen johdonmukaisuuden (G. Gentsen, V. Ackerman, P. S. Novikov, K. Schütte, P. Lorenzen ja muut). Toinen esimerkki on ultra-intuitionistinen matematiikan perustamisohjelma, joka mahdollisti absoluuttisen (ilman pelkistystä mihinkään muuhun järjestelmään) todisteen Zermelo-Fraenkel-aksioomien joukkoteoreettisen järjestelmän johdonmukaisuudesta .
Tavoitteet ja tavoitteet
Metamathematics tutkii seuraavia kysymyksiä:
- formalisoitujen teorioiden johdonmukaisuus ja täydellisyys ;
- aksiooman riippumattomuus;
- ratkaistavuusongelma;
- kysymykset joidenkin teorioiden määrittelystä ja upottamisesta toisiin;
- antaa tarkan määritelmän todisteen käsitteelle erilaisille formalisoiduille teorioille ja todistaa deduktiolauseet;
- tutkii muodollisten järjestelmien ja niiden eri mallien tulkintaongelmia;
- muodostaa erilaisia suhteita formalisoitujen teorioiden välille.
Metamatematiikan aihe ja menetelmä
Metamatematiikan aihe koostuu sellaisesta matematiikan abstraktiosta, jossa matemaattiset teoriat korvataan muodollisilla järjestelmillä, todisteilla - joillakin hyvin tunnettujen kaavojen sarjoilla, määritelmillä - "lyhennetyillä ilmaisuilla", jotka ovat "teoreettisesti valinnaisia, mutta typografisesti käteviä".
Hilbert keksi tällaisen abstraktion saadakseen tehokkaan tekniikan matematiikan metodologian ongelmien tutkimiseen. Samaan aikaan on ongelmia, jotka jäävät metamatemaattisen abstraktion ulkopuolelle. Niitä ovat kaikki "merkitykselliseen" matematiikkaan ja sen kehittämiseen liittyvät ongelmat sekä kaikki tilannelogiikkaan ja matemaattisten tehtävien ratkaisuun liittyvät ongelmat.
Menetelmä on matemaattinen logiikka .
Katso myös
Kirjallisuus
- Gastev Y. Metamathematics. - Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja .
- Hilbert D. Geometrian perusteet. - M. - L .: GITTL, 1948. - 491 s.
- Engeler E. Alkeismatematiikan metamatematiikka. - M .: Mir, 1987. - 128 s.
- Kleene S. K. Johdatus metamatematiikkaan / Per. englannista. - M . : Ulkomainen kirjallisuus, 1957. - 526 s.
- Curry H. B. Matemaattisen logiikan perusteet / per. englannista. - M. , 1969. - ch. 2-3 s.
- Gentsen G. Puhtaan lukuteorian johdonmukaisuus / per. hänen kanssaan .. - M. , 1967. - s. 77-153 s.
- Tarsky A. Johdatus deduktiivisten tieteiden logiikkaan ja metodologiaan / käännös. englannista. - M. , 1948.
Linkit
- Lakatos I. Todistukset ja vastaväitteet: Kuinka lauseet todistetaan.
- Godelin lauseet
- Metamathematics - artikkeli Great Soviet Encyclopediasta .
- Metateoria teorioiden hierarkia V. F. Turchinin mukaan
 Sanakirjat ja tietosanakirjat | |
|---|---|
| Bibliografisissa luetteloissa |